機床結構對流換熱系數的參數化建模方法＊

毛曉博 史建猛 雷 聲 毛寬民

（①中航西安飛機工業集團股份有限公司，陜西西安 710089；②中南民族大學計算機科學學院，湖北武漢 430074；③華中科技大學機械科學與工程學院，湖北武漢 430074）

調查表明數控機床在精密加工過程中熱誤差能夠占到總誤差的40%～70%[1]，高端數控機床的精密加工熱誤差甚至達到了70%以上[2]。熱分析是研究控制數控機床熱誤差的重要方法之一，但熱分析中的關鍵參數對流換熱系數(convective heat transfer coefficient,CHTC)卻因受到流體物理性質、換熱部件表面位置、形貌、流體與換熱部件表面溫差和流速等因素的影響，計算極其困難，且CHTC的準確性對數控機床結構熱分析的結果影響很大。

曹祎等[3]將飛機外部CHTC視為恒定數值的參考溫度法進行改進，考慮到飛機結構影響，提出了一種求解飛機機體各區域外部CHTC仿真計算方法，并與傳熱公式法對比，驗證了仿真方法的有效性。Li Y等[4]基于逆熱傳導理論，對CHTC計算進行優化，在ANSYS中對主軸溫度場進行了模擬與熱誤差分析，通過仿真結果與實驗數據的對比，驗證了熱對流系數優化的正確性和有效性。片錦香等[5]采用蜂群算法對機床主軸零件表面與空氣的換熱系數進行優化計算，通過迭代尋找最優解，得到的主軸CHTC精度更加準確。陽紅等[6]構建RBF神經網絡算法計算主軸的CHTC，將實驗數據引入RBF網絡中，增加了算法的可靠性與準確性。

上述方法在計算中均忽略了環境溫度對CHTC的影響，甚至大多數在熱分析中采用恒定的CHTC數值。機床在達到熱穩定前，機床運行產生的熱量會使機床結構的溫度逐漸升高，機床結構換熱表面的溫度與環境的溫差會隨之增大，而CHTC是一個與溫差相關的物理量，因此隨著機床結構溫度的升高，其與外界環境的CHTC會因其與環境溫度的溫差變化而變化[7]。因此在熱分析中采用固定不變的CHTC必然增加分析誤差。基于傳熱學理論，結合實驗數據采用多元線性回歸分析，提出一種考慮環境溫度與溫差變化的CHTC參數化計算方法，提升了CHTC計算精度及機床結構熱分析的準確性與便捷性，為減小機床熱誤差研究提供一種高效準確的方法。

1 對流換熱系數的參數化模型

結合牛頓冷卻定律與流體流過機床結構表面的傳熱理論，將影響對流換熱過程的物理量進行歸納分析，建立CHTC影響變量的參數化模型，如式（1）所示。

式中：f為CHTC與影響變量之間的函數映射關系；f1表示非自然對流狀況下的函數關系式；f2表示自然對流時溫差引起的升浮力下的函數關系式；其他參數表示的意義及單位如所示。

式（1）中8個物理量，包含長度量綱L、質量量綱M、時間量綱T和溫度量綱θ共4個基本量綱。將這8個物理量的單位轉化成4個基本量綱表示的形式，如表1所示。關系式，有n=7，r=4。即有

表1 CHTC參數化模型中基本量綱表示

根據π定理，物理方程量綱一致時，可用一組量綱為1數群的零函數表示。式（1）中f1的函數

式中：φ1、φ2和φ3為3個無量綱參數；a、b、c、d為引入的指數參數。

將φ1按照量綱展開，參數a1=0、b1=-1、c1=0和d1=1，代入式（2）得到

同理得到

式（1）中f2表示的關系式，同理有

2 考慮溫差變化的對流換熱系數計算

2.1 對流換熱系數的計算原理

結合機床結構傳熱過程的有限元分析和實驗數據，提出如圖1考慮環境溫度與溫差變化的CHTC計算方法。

圖1 環境溫度與溫差變化的CHTC計算原理

（1）傳熱過程及熱態特性參數分析。測量一個較小時間段內溫差Δt′和相應的溫度數據，根據相似準則求得初始CHTC。

（2）CHTC的迭代修正計算。采用初始CHTC進行熱分析，將熱分析結果與實驗測量值判斷，進行迭代修正。算法修正采用文獻[6]和文獻[8]等中給出的，在機床有限元溫度場仿真計算中，CHTC的參數取值一般是理論計算值的3～10倍。故將CHTC理論計算值的整數倍作為△h數據庫中的數值。迭代修正時，為防止迭代中出現加減整數倍△h仍不能滿足判斷條件時，在循環計算中添加對當前整數倍△h做出減半甚至做1/4處理的命令，直到滿足判斷條件為止。

（3）考慮環境溫度與溫差變化的CHTC修正計算。根據環境溫度預估機床的總溫差，以1℃為等差間隔分成多個溫度逐漸升高的子溫差區間，采用修正計算方法求得各子溫差區間對應的CHTCs，在熱分析中給出動態加載方法，從而消除溫差變化對CHTC計算的影響，進一步提高溫度場模型的精確度。

2.2 對流換熱系數計算流程分析

（1）引入實驗數據，選取初始一小時間段內調用經驗公式計算初始CHTC。

（2）采用步驟1計算的CHTC得到的仿真溫度場與實驗測量值對比，根據判斷條件進行循環修正，提高CHTC的精度。

（3）對預估總溫差進行多溫度子區間的劃分，在多溫度區間下對多個CHTC的循環修正計算。

3 基于實驗數據的對流換熱系數的參數辨識方法

3.1 機床部件的熱測試實驗

熱測試實驗對象為沈陽機床集團生產的TC500立式鉆攻中心的X軸滾珠絲杠進給系統（含工作臺）。熱實驗工況設計如下：滾珠絲杠進給系統工作臺在X軸方向上做往復運動。運動行程L=400 mm，滾珠絲杠進給系統的進給速度vg=4 m/min。電機的轉速n=267 r/min，工作臺運行時間為機床達到熱穩定狀況的4 h。

熱實驗中溫度測點的選擇及有限元模型如圖2和圖3所示。

圖2 幾何模型及溫度測點

圖3 實驗對象的有限元模型

采用PT-100三線制熱電阻溫度傳感器、Agilent 34970A溫度采集儀等搭建的實驗測試平臺如圖4所示。

圖4 熱態熱性實驗測試平臺

3.2 熱載荷及結合面熱阻

滾珠絲杠螺母產生的熱量按照絲杠螺母與絲杠兩端軸承的距離，根據熱傳導理論，分別傳遞到滾珠絲杠兩端的軸承上進行間接加載。熱分析中結合部間接觸熱阻及結合面傳熱，如表2所示。根據機床結構傳熱過程中的生熱模型，得到滾珠絲杠進給系統各生熱位置的熱流密度如表3所示。

表2 生熱部位的熱流密度

表3 結合面傳熱系數[9]

3.3 熱分析中邊界條件的動態加載

CHTC與環境溫度和溫差有很大的關聯。溫差發生變化，CHTC也會隨之發生變化，即對流換熱系數h會隨著Δt的變化而變化。采用有限元軟件ABAQUS將迭代修正計算的多個CHTCs分別施加到對應子溫度區間，形成動態邊界條件的參數加載，如圖5所示。

圖5 動態邊界條件加載的實現

4 對流換熱系數的參數化計算方法

基于相似準則，采用有限元迭代計算可求得機床結構的對流換熱系數，但這種方法對于復雜結構的多個CHTC計算效率極低。結合實驗數據，對上述方法進一步改進，提出對流換熱系數的參數化計算方法。

4.1 對流換熱系數的參數化方程

在數控機床中，最常見的換熱表面形狀為矩形板，故以數控機床中使用最多的平板類換熱表面為例，根據線性回歸模型，建立其自然CHTC與環境溫度t、溫差Δt及換熱表面特征尺寸l之間的線性回歸方程為

結合滾珠絲杠進給系統熱實驗數據，利用線性回歸求得式（6）中的系數。得到對流換熱系數hp與t、Δt、和l的參數化方程為

計算中擬合優度為0.956 8，統計量為22.152 8，顯著性為0.015 0，剩余方差為0.500 9，說明方程具有可靠性。

在機床中，除過大多數水平板狀換熱特征尺寸外，圓柱形的換熱部件也不少，同理結合橫圓柱的自然對流換熱與實驗數據，利用回歸分析，可得到橫圓柱形狀的對面換熱系數hc與t、Δt、和l的方程為

計 算中 擬 合 優 度為0.991 7，統 計 量F為119.253 4，顯著性p=0.001 3，剩余方差為0.096 4，說明擬合結果準確。

式（7）、（8）分別以機床床鞍側面和絲杠聯軸器為例，且大量的實驗數據是在機床部件與空氣的自然對流換熱過程中測量。

將數控機床中換熱部件的類型及特征尺寸l的計算方法歸納如表4所示。后續計算機床熱分析中平板類與圓柱類部件的自然對流換熱系數時，確認了t、Δt、和l后，即可采用式（7）和式（8）進行快速地計算，可以看出參數化計算方法對CHTC的計算效率有著極大的提升。

表4 機床換熱部件特征尺寸計算方法[7]

4.2 參數化建模計算方法的驗證

4.2.1 溫度場對比分析

采用3.1節的滾珠絲杠進給系統對文中提出的參數化方法進行實驗驗證。采用傳統相似準則法計算的CHTC進行熱分析，得到滾珠絲杠進給系統床鞍與工作臺的溫度場如圖6所示；采用參數化方法計算的到CHTC進行熱分析，得到的溫度場如圖7所示。

圖6 相似準則法計算CHTC熱分析結果

圖7 參數化方法計算CHTC熱分析結果

4.2.2 結果分析與討論

在9個溫度測點中，T1～T4布置在滑塊上，現從兩個滑塊中分別選擇T1和T4，然后將他們與其余5個溫度傳感器測點位置在傳統相似準則法求得的溫度、CHTC參數化計算方法求得的溫度及實驗測量的溫度數據進行對比，并給出兩種仿真分析結果相對實驗數據的仿真誤差，如表5所示。

表5 CHTC參數化計算方法與相似準則法的誤差分析

從表5中可以看出，參數化計算方法的仿真誤差相比傳統相似準則法有提高，誤差提高幅度最大有8.09%，最小為1.23%，且溫升差距越大，迭代方法提高精度越明顯。同時參數化計算方法仿真求得的溫度數據與實驗測值非常接近，說明參數化計算方法具有效性。

5 結語

通過上述分析，驗證了文中提出的CHTC參數化計算方法的有效性，并且可得到如下結論：

（1）引入實驗數據，通過迭代修正增加了CHTC計算的可靠性與計算精度。

（2）引入溫度分區間，在CHTC計算中提出分段修正的計算方法。能夠減小機床結構在達到熱穩定前，由于環境溫度與自身溫差的變化對熱分析結果的影響。

（3）相比式（1）中的8個未知物理量，CHTC的參數化計算方法更加方便快捷，極大地提升了CHTC和機床結構熱分析的計算效率。