小學(xué)數(shù)學(xué)推理意識形成中數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再生

文∣夏常明

邏輯推理是學(xué)生的核心素養(yǎng)之一，是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推理出其他命題的能力。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》將邏輯推理細(xì)分為推理意識、推理能力、邏輯推理素養(yǎng)，意在不同學(xué)段建立結(jié)構(gòu)性體系，凸顯推理的心理來源，細(xì)化推理的心理傾向性的萌生過程和推理能力的培養(yǎng)路徑。 推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，就是在判斷一個命題的真假時會自覺或者不自覺地使用的一種心理傾向性，建立在經(jīng)驗感悟之上，是推理能力的基礎(chǔ)。[1]推理意識有助于學(xué)生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度與理性思維，增強(qiáng)交流能力。小學(xué)數(shù)學(xué)推理意識的形成，需要學(xué)生在數(shù)值定向、模式識別、假設(shè)形成和模式抽象四個認(rèn)知過程中感受數(shù)學(xué)對象不同及數(shù)學(xué)信息之間的量性特征，掌握數(shù)學(xué)模式所內(nèi)含的因果關(guān)系。

史寧中教授指出，數(shù)學(xué)推理的本質(zhì)是思維過程和邏輯推理體現(xiàn)在所涉及命題內(nèi)涵之間的傳遞性,包括關(guān)系傳遞性和性質(zhì)傳遞性，并且用數(shù)學(xué)的語言和符號確切地表述這兩種傳遞性。[2]同時，學(xué)生在“經(jīng)歷和感悟了數(shù)學(xué)歸納推理和演繹推理后積淀下的思維模式”，即為數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。[3]數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生，指學(xué)習(xí)者經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識“量化模式”形成過程，以“量化模式”為操作感知對象，通過動手操作與交流反思等活動，在思維方式與量化模式及其體驗之間所建立的聯(lián)系。[4]推理意識形成中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生，就是學(xué)生在已有經(jīng)驗基礎(chǔ)上，通過歸納、類比、猜想或者發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步體驗數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程，在數(shù)學(xué)思維與邏輯推理之間建立深度理性聯(lián)系。只有形成推理意識，促進(jìn)經(jīng)驗再生，升華思維品質(zhì)，學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)才能得到發(fā)展。

一、數(shù)值定向中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生

數(shù)值定向是推理意識的起始階段，即對輸入信息的各個對象、形式結(jié)構(gòu)，各個對象的相同點(diǎn)或差異等進(jìn)行比較分析、編碼并抽取特征，達(dá)到對問題的初步理解。[5]數(shù)值定向過程是學(xué)生經(jīng)歷觀察分析,獲取個體數(shù)值信息并抽取屬性特征的推斷過程。觀察和分析是學(xué)生運(yùn)用相關(guān)工具，手腦結(jié)合，在數(shù)學(xué)思維活動參與下進(jìn)行的推斷活動。學(xué)生以特定的個體數(shù)值信息作為推理對象，通過直觀觀察與操作分析，獲取豐富的量化屬性特征，進(jìn)行信息分析編碼，尋找數(shù)值之間差異，抽取數(shù)值個性特征。為了促使學(xué)生自然萌發(fā)推理意識，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生深度挖掘日常生活中的推理素材，通過問題情境巧妙設(shè)問，并鼓勵學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的引領(lǐng)下參與數(shù)學(xué)觀察、 發(fā)現(xiàn)以及論證等過程，有效幫助學(xué)生獲取數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗。學(xué)生對于個體數(shù)值信息進(jìn)行獲取、編碼、加工和抽取的過程，也是數(shù)學(xué)經(jīng)驗不斷重組再生的過程。與此同時，數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再生，也為推理意識的生成奠定基礎(chǔ)。

學(xué)生3：規(guī)律是指循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)的周期現(xiàn)象，第一種思路不正確，只是滿足了其中一組特征，沒有出現(xiàn)更多的數(shù)來進(jìn)行驗證，況且項數(shù)只能是3的倍數(shù)，如果項數(shù)不是3的倍數(shù)，規(guī)律無法進(jìn)行下去。

二、模式識別中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生

模式識別是推理意識的生成階段，即通過對新信息與已有的知識庫中存貯的信息之間的匹配來達(dá)到。通過對特殊的考查而產(chǎn)生規(guī)則，建構(gòu)新的模式，抽取對象間的數(shù)量關(guān)系的意義并應(yīng)用新規(guī)則做出預(yù)測，確定下一個是什么。體會新信息和已有經(jīng)驗之間存在著聯(lián)系狀態(tài)是推理意識發(fā)展的重要基礎(chǔ)，也是有序開展推理的前提保證。從一般到特殊，從個性中發(fā)現(xiàn)共性，是數(shù)學(xué)推理的重要動力。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗，組合共同屬性，概括本質(zhì)特征，抽取數(shù)量關(guān)系建構(gòu)新模式過程，實現(xiàn)數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生。推理意識生成中，數(shù)學(xué)經(jīng)驗遵循內(nèi)在脈絡(luò)，建立結(jié)構(gòu)連續(xù)，溝通方法聯(lián)系，實現(xiàn)循環(huán)上升，再生思維邏輯線索。學(xué)生推理意識逐步生成過程是數(shù)學(xué)經(jīng)驗提高再生過程，同時也是學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)逐步提升過程。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)五年級上冊“多邊形的面積”時，有學(xué)生提出，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，三角形和梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，由已知圖形面積計算公式推導(dǎo)出未知圖形面積計算公式。有學(xué)生認(rèn)為，在長方形、平行四邊形、三角形和梯形面積公式推導(dǎo)過程中，無論是拼接，還是割補(bǔ)，都采用了轉(zhuǎn)化的策略。教師適時點(diǎn)撥學(xué)生：可以從梯形的面積計算公式推導(dǎo)出其他多邊形的面積計算公式嗎？

學(xué)生1提出，把平行四邊形看成上、下底相等的梯形，平行四邊形面積=底×高=(上底+下底)×高÷2。

學(xué)生2提出，把三角形看成上底是0的梯形，三角形面積=底×高÷2=(0+下底)×高÷2。

學(xué)生3提出，把長方形看成上下底邊相等且鄰邊互相垂直的梯形，長方形面積=長×寬=(上底+下底)×高÷2。

學(xué)生4提出，多邊形圖形的面積計算公式之間是相互關(guān)聯(lián)的，在一定條件下，長方形、平行四邊形、三角形和梯形面積計算公式可以整合成一個面積計算公式，多邊形面積=(上底+下底)×高÷2。

經(jīng)驗具有一定連續(xù)性和方向性，每一種經(jīng)驗都取之于以往經(jīng)驗，同時也以某種方式改變或重組以后經(jīng)驗。學(xué)生充分調(diào)動已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗，將長方形、平行四邊形、三角形與梯形面積計算公式進(jìn)行匹配，應(yīng)用抽取組合方式對多邊形面積計算公式進(jìn)行推理驗證，多維呈現(xiàn)問題解決成果。只有對多邊形本質(zhì)特征以及各種圖形之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)深刻把握，學(xué)生才會靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略解決問題，實現(xiàn)數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生。當(dāng)學(xué)生再生推導(dǎo)多邊形的面積公式時，都是采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)經(jīng)驗；學(xué)生再生不同多邊形的面積計算公式可以轉(zhuǎn)化為一個通用面積計算公式的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。學(xué)生從“組合”的視角溝通梯形與長方形、三角形、平行四邊形面積計算公式之間的意義聯(lián)系，感悟圖形面積計算公式之間的關(guān)聯(lián)，生成完善的推理意識。師生強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的體會運(yùn)用，注重數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生，為推理意識的發(fā)展做好了準(zhǔn)備。

三、假設(shè)形成中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生

假設(shè)形成是推理意識的發(fā)展階段，即對規(guī)則進(jìn)行調(diào)整修正，溝通差異，通過不斷反饋而找到猜想。猜想是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中依據(jù)已有知識經(jīng)驗和現(xiàn)有情境信息，運(yùn)用聯(lián)想和轉(zhuǎn)化方式，充分發(fā)揮想象和創(chuàng)造,對所要解決的問題提出初步設(shè)想。猜想建立在科學(xué)理論和客觀事實的邏輯推理上，對解決問題的方案提供了預(yù)測方向,為信息分析和運(yùn)用勾勒了清晰模式。學(xué)生不斷選擇、反思、完善，論證推理猜想過程，就是針對數(shù)學(xué)現(xiàn)實問題，科學(xué)地選取探究方法，優(yōu)化再生數(shù)學(xué)經(jīng)驗，從而實現(xiàn)推理意識發(fā)展過程。教師需要給學(xué)生提供調(diào)動已有知識經(jīng)驗進(jìn)行驗證的機(jī)會，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、尋找支持、證據(jù)反駁、修改觀點(diǎn)等推理過程，在猜想過程中掌握數(shù)學(xué)對象的模式關(guān)系。

在學(xué)完乘法分配律后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考除法中是否存在分配律。

學(xué)生1：36÷3+36÷9中，采用36÷3+36÷9計算，結(jié)果是16,采用36÷(3+9)計算，結(jié)果是3，除法中不存在分配律。

學(xué)生2：42÷7+14÷7=(42+14)÷7=56÷7=8中，無論42÷7+14÷7，還是(42+14)÷7，結(jié)果都是8，除法中存在分配律。

教師引導(dǎo)：同樣是除法算式，為什么出現(xiàn)不同的猜想？

學(xué)生3：除數(shù)不同，平均分的份數(shù)就不同，先分后合或先合后分，結(jié)果不同；除數(shù)相同，平均分的份數(shù)就相同，先分后合或先合后分，結(jié)果相同。

學(xué)生4：除法中要區(qū)分被除數(shù)和除數(shù)是否相同，以及先分后合還是先合后分，來靈活選擇分配律。

在除法里是否存在分配律的探究中，學(xué)生通過調(diào)動自身已有知識經(jīng)驗，敏銳地形成除法中存在兩種不同的猜想，為推理的開展指明了方向。除法分配律猜想的形成，拓展了分配律原有的范圍，將互為逆運(yùn)算關(guān)系的乘法與除法進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)運(yùn)算性質(zhì)有效傳遞。針對除法分配律真假兩個命題，學(xué)生不斷辯證理解算理。假設(shè)形成時，學(xué)生再討論除法中除數(shù)不同時，先合后分和先分后合結(jié)果完全不同的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。推理驗證時，學(xué)生再討論某種條件下除法與乘法可以相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。猜想可能正確、錯誤、零散、模糊，但也是推理意識發(fā)展必不可少環(huán)節(jié)。學(xué)生能夠在體驗推理猜想嚴(yán)密性中感受猜想可靠，再生數(shù)學(xué)經(jīng)驗，逐步發(fā)展推理意識。

四、模式抽象中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生

模式抽象是推理意識的完善階段，是把所有經(jīng)驗事例與想象事例當(dāng)作一個整體加以考查，舍棄那些不可重疊的可變部分，而保留那些可重疊的不變部分，以形成“全局性假設(shè)”的認(rèn)知過程。[6]隨著被感知的數(shù)學(xué)信息量增加，數(shù)學(xué)對象普適性規(guī)律逐漸顯現(xiàn)，從而形成以抽象結(jié)構(gòu)為特征的量化模式。如果學(xué)生學(xué)會應(yīng)用普適性規(guī)律對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行邏輯驗證，感受到推理的條理與嚴(yán)謹(jǐn)，有效呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模式，這表明學(xué)生在具體應(yīng)用中感受到邏輯推理的價值，真正形成了推理意識。學(xué)生主動將外在數(shù)學(xué)信息組成量化模式，再生全局性假設(shè)的模式抽象經(jīng)驗。在模式抽象和再生經(jīng)驗相輔相成過程中，推理意識得到全局性發(fā)展。

在教學(xué)蘇教版小學(xué)五年級下冊“2、3、5倍數(shù)的特征”時，師生探討2、3、5的倍數(shù)是否具有相同特征。

學(xué)生1：2和5的倍數(shù)根據(jù)個位上的數(shù)進(jìn)行判斷，3的倍數(shù)根據(jù)各數(shù)位上的數(shù)字之和進(jìn)行判斷，2、3、5的倍數(shù)特征不具有一致性。

教師引導(dǎo)：各數(shù)位上的數(shù)字之和指的是什么意義？

學(xué)生2：如281=200+80+1=2×100+8×10+1=2×(99+1)+8×(9+1)+1=2×99+2+8×9+8+1=(2×99+8×9)+(2+8+1)，(2+8+1)中的2、8、1是各數(shù)位上表示的數(shù)除以3之后的余數(shù)。各數(shù)位上的數(shù)字之和，其實指的是各數(shù)位上表示的數(shù)除以3之后的余數(shù)之和。

學(xué)生3：2和5的倍數(shù)也可以根據(jù)余數(shù)之和的方法來進(jìn)行判斷。如281=200+80+1=2×100+8×10+1=2×100+0+8×10+0+1=(2×100+8×10)+(0+0+1)，0、0、1是各數(shù)位上表示的數(shù)除以2或5之后的余數(shù)。

學(xué)生4：一個多位數(shù)除以2或5的余數(shù)都是0，采用余數(shù)之和方法計算時，0忽略不計，只需判斷個位上的數(shù)即可。2、3、5的倍數(shù)具有相同“看余數(shù)之和”特征。

2、5和3的倍數(shù)需分別根據(jù)個位上的數(shù)和各數(shù)位上的數(shù)字之和進(jìn)行判斷，是學(xué)生對倍數(shù)特征的感性認(rèn)識。這種感性認(rèn)識是局部的，只是根據(jù)倍數(shù)特征一致性關(guān)系的局部印象形成的，沒有在精確區(qū)分倍數(shù)結(jié)構(gòu)性特征基礎(chǔ)上進(jìn)行。學(xué)生根據(jù)“位值制”，依據(jù)運(yùn)算定律把多位數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化和改寫，經(jīng)歷了2、3、5的倍數(shù)特征需看各數(shù)位余數(shù)之和的推理過程，抽象了不同的倍數(shù)普適性數(shù)學(xué)模式，再生倍數(shù)特征本質(zhì)是各數(shù)位上表示的數(shù)除以這個數(shù)之后的“余數(shù)之和”數(shù)學(xué)經(jīng)驗，形成了關(guān)于倍數(shù)知識全局性認(rèn)識。

學(xué)生能夠在體驗?zāi)Ｊ匠橄髧?yán)密性中，合理運(yùn)用“位值制”原理，逐步完善推理意識。在這個過程中，學(xué)生再從具體表象中抽象出結(jié)構(gòu)模式的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，在思維深度上發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)推理意識的形成是一個長期過程，教師需要在實際教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)值定向、模式識別、假設(shè)形成和模式抽象四個認(rèn)知過程，依次再生觀察操作、組合概括、轉(zhuǎn)化假設(shè)和抽象結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)經(jīng)驗。學(xué)生在由已知向未知的推理過程中，形成科學(xué)的推理品質(zhì)，再生運(yùn)用推理解決問題的經(jīng)驗，發(fā)展邏輯推理核心素養(yǎng)。