基于VaR約束的均值-絕對偏差投資組合優化模型及實證研究

武敏婷，孫 瀅，高岳林

（北方民族大學 信息與系統科學研究所，銀川 750021）

近年來,隨著人工智能技術的發展,把智能優化方法應用于投資組合問題已成為更廣闊的研究領域。劉俠,初紅霞等用粒子群算法解決證券投資組合問題。本文引入約束機制,提出帶有約束的多目標決策模型,并用帶有罰函數處理機制的粒子群算法求解證券組合模型最優解問題。

1 基于VaR約束的均值-絕對偏差(VaR-MAD)證券組合優化模型

設證券市場有n種證券,第i種證券的收益率為ri,證券組合的收益率為r=(r1,r2,…，rn)T,證券公司投資于每種證券的金額是任意的,又設在每種收益率水平上的投資者足夠多,證券公司投放于每種證券的權重為證券組合的權重向量為x=(x1,x2,…，xn)T,記第i種證券與第j種證券的協方差為σij,證券組合的標準差和回報率分別為σp和rp,E(rp)表示證券組合的期望收益率。

定義1:

稱為VaR約束,其中,c為常數。

式(1)表示證券組合收益率rp超過-VaR的概率不低于c,就證券組合而言,當n充分大時,由中心極限定理可認為其組合收益率近似地服從正態分布。因此,為討論方便，設證券組合的收益率服從正態分布。根據中心極限定理，在正態分布下，證券公司風險承受能力的VaR約束可以轉化為Φ-1(c)σp-VaR≤r0，其中Φ(·)為標準正態分布函數，r0為給定的一個常數。

定義2:

稱為絕對偏差，其中T為歷史數據的個數。

投資者往往在追求高收益的同時要求承受最低的風險，因此構成了該決策的多目標問題。在投資者追求低風險和高收益的前提下，可以得到證券組合投資的多目標規劃模型如下:

因此，基于VaR約束的多目標均值-絕對偏差模型為:

式中，r=(r1,r2,…，rn)T為證券組合中n種證券的期望收益率，x=(x1,x2,…，xn)T為投資權重，B=(σij)n×n是 n 種證券的協方差矩陣。

為求解方便，我們把多目標轉化為單目標，形式如下:

其中，λ，r0均為常數。λ可以反映投資者的風險偏好，λ越大，投資者越重視收益，屬于激進派;反之，投資者越重視風險，屬于保守派。

2 模型的求解

2.1 粒子群算法

粒子群優化算法是從鳥類飛行得到啟發而提出的優化算法，它將每個優化問題的解看作搜索空間中的一只鳥，在搜索空間中以一定的速度飛行，這個速度根據它本身的飛行經驗和同伴的飛行經驗來動態調整，第i個粒子在n維空間里的位置表示為矢量 X=(x1，x2，…，xn)，飛行速度表示為矢量V=(v1，v2，…，vn)。每個粒子都有一個適應值，自己到目前為止發現的最好位置(psb)，現在的位置Xip以及到目前為止整個群體的最好位置pgb。

PSO也是基于迭代的優化工具。對于第k次迭代，每個粒子是按照下列公式進行變化：

rand()是[0,1]之間的隨機數，c1和 c2被稱作學習因子，ω是慣性權重加權系數，如果ω較大，則算法的全局搜索能力較強；反之，局部搜索能力較強。

本文通過采用群體適應度方差和平均粒距判斷算法[9]是否出現早熟現象，如果算法陷入局部收斂，則通過對適應值較差的部分粒子進行變異，從而跳出局部最優解進行全局搜索。

2.2 模型的求解

對于多目標問題來說,本中用加權法將多目標轉化為單目標,結合罰函數處理機制又將其轉化為無約束問題,利用自適應粒子群算法進行求解,運用混合罰函數的自適應粒子群算法,具體的混合算法流程如下:

Step1:隨機初始化粒子群:群體規模為n,包括粒子的隨機位置與速度，并進行標準化處理，使它滿足約束條件

Step2:將粒子的psb設置為當前位置，pgb設置為初始種群中最佳粒子的位置；

Step3:計算粒子的適應值:適應度模型(4)的目標函數計算,其中Q為一充分大的正數，

用式(7)來評價每個粒子的適應度并進行排序,判斷算法收斂準則是否滿足,如果滿足,轉向Step9;否則,執行Step4;

Step4:對于粒子群中的所有粒子,執行如下操作:

(1)根據式(5)、(6)更新粒子的位置與速度；

(2)如果粒子適應度優于psb的適應度,psb設置為新位置；

表1 六種證券在八年的年收益率數據

表2 當固定λ變化時VaR-MAD模型的證券投資比重

表3 當固定λ變化時VaR-MAD模型的六種指標

表4 當固定r0變化時VaR-MAD模型證券投資比重

表5 當固定r0變化時VaR-MAD模型的六種指標

表6 當λ=0.6時MAD模型和VaR-MAD模型的投資比重

表7 當 λ=0.6時MAD模型和VaR-MAD模型的不同指標

(3)如果粒子適應度優于pgb的適應度,pgb設置為新位置；

Step5:計算群體適應度方差和平均粒距，并計算f(pgb)；

Step8:判斷算法收斂準則是否滿足，如果滿足,執行Step9,否則,轉向 Step4；

Step9:輸出pgb,算法運行結束。

3 實證分析

本文借鑒文獻[11]中的數據,如表1所示。假設給定的VaR=5%，c=95%，即Φ-1(c)=1.65，即該證券公司的風險承受能力為:在置信度為95%的情況下，最大損失不低于5%。

設六種不同證券的投資權重x=(x1,x2,x3,x4,x5,x6)T，我們將上面的數據帶入到本文中的模型(5)中進行求解，在MATLAB中用智能優化算法-自適應粒子群算法來實現,取學習因子c1=2,c2=2組合權重因子為μ=0.5，最大和最小慣性權重分別為ωend=0.9，ωini=0.4種群規模N=30，最大迭代次數Tmax=100。懲罰因子Q=1000,我們分情況討論，當 r0為一定值 0.2時，取λ=0、0.1,0.4,0.6,0.8;1當λ為一定值0.6時，取r0=0.2,0.4,0.6,0.8,十種情況分別運行20次,并對結果進行分析,運行結果如表2-表5。當λ取0.6時,又用粒子群算法求解MAD模型,運行結果與VaR-MAD模型比較(表6和表7)。

我們從表2～5四個表可以看出:當VaR約束閾值r0為一定值時，(1)隨著λ的增大，證券1、3和4的比重增大，而其余三種證券的比重減小;(2)λ反映投資者的風險偏好程度，隨著其值的增大，收益增大，風險增大，而收益的波動程度相對減小,風險的波動程度增大。當λ為一定值時，(3)隨著VaR約束閾值的增大,證券1、2和5的比重增大,而其余三種證券的比重減小;(4)VaR約束對收益的影響不是很大,主要作用是對風險的控制,在收益一定的情況下，使得風險達到最小。以上結論比較符合客觀實際。

由表6和表7，我們可以看出,本文中建立的VaR-MAD模型與MAD模型相比，前者使投資者在一定收益的水平下,風險得到了有效控制。

當r0=0.20時，我們得到VaR-MAD模型的有效前沿（見圖 1）：

4 結束語

本文通過增加約束對證券組合的收益和風險進行控制和優化，該方法既能控制證券公司的潛在風險損失，又能兼顧證券公司的長遠發展，提高證券公司投資決策的科學性。在實際操作過程中，決策者可根據對客觀實際情況的把握,證券公司的資本充足情況以及有關證券公司投資證券的法律、法規等，采用定性和定量相結合的分析方法,對組合證券的收益、風險和投資權重進行優化選擇，使決策更符合客觀現實。

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