機動飛行下機載磁懸浮轉子振動響應

張 越，周 瑾，金超武，張一博，周 揚

（南京航空航天大學機電學院，南京 210016）

0 引言

為了使航空器在未來滿足更快、更經濟、更可靠、更環保的使用需求，航空發動機正朝著高推重比、低油耗、經濟可承受等方向變革與發展。磁懸浮軸承具有無摩擦、無潤滑、壽命長等特點，將磁懸浮軸承應用于航空發動機，其優勢包括：（1）減輕發動機質量；（2）提高發動機效率；（3）提升發動機安全性；（4）提升軸承工作溫度和DN（軸承內徑×軸的轉速）值；（5）可主動控制及在線監測；（6）降低運營成本。

自20世紀80年代起，美、歐相繼推出各類研發計劃，旨在探究磁懸浮軸承在航空發動機上應用的可能性。1988年，美國制定了為期15年的高性能渦輪發動機綜合技術（Integrated High Performance Turbine Technology，IHPTET）計劃，其中1項主要內容是研究采用磁懸浮軸承支承的多電發動機，并完成了對內置式起動機/發電機、高溫徑向磁懸浮軸承、軸承保護的技術驗證工作。1998年，英、法、德等歐共體5國共同制定了航空發動機用主動磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearings in Aircraft Turbo-machinery，AMBIT）計劃，專門研究用以支承多電發動機的高溫磁懸浮軸承，并計劃將其率先應用于民用航空發動機上。作為IHPTET的后續研究計劃，美國國防部等部門于2003年共同發起了通用經濟可承受先進渦輪發動機（Versatile Affordable Advanced Turbine Engine，VAATE）計劃，考慮到磁懸浮軸承可為航空發動機狀態監測、振動控制以及整體起動發電機等問題提供有效的解決方案，因此對于磁懸浮軸承的研究是VAATE計劃的重要組成部分，并在智能發動機領域開展磁懸浮軸承的技術驗證工作。

飛機機動飛行會改變作用在航空發動機上的載荷，進而影響磁懸浮軸承轉子系統的性能，為了使磁懸浮軸承在發動機上得到應用，需要研究機動飛行對機載磁懸浮轉子的影響。祝長生對航空發動機磁懸浮轉子系統的動力學特性進行了試驗研究，發現磁懸浮轉子系統的振幅隨基礎振動幅度的增大而迅速增大；Xu等和姜豪等分別探究了磁懸浮剛性轉子在基礎正弦、沖擊激勵和基礎傾斜工況下的振動響應規律；Jarroux等探究了強基礎激勵下磁懸浮轉子的穩定性和動力學特性；Soni等提出了一種4元素控制方法，有效抑制了由基礎運動引起的磁懸浮轉子振動；黃春新以懸掛在機翼上的磁懸浮Jeffcott轉子為對象，研究了飛機基本飛行動作下轉子的振動特性；張鵬等分析了俯仰角速度、滾轉角速度等機動參數對磁懸浮剛性轉子穩定性的影響。

本文利用3個參考坐標系來表征大地、飛機、磁懸浮轉子之間的關系，建立了機動飛行下磁懸浮柔性轉子模型，通過對1個單盤轉子進行數值仿真分析，探究了機動飛行對磁懸浮轉子振動響應的影響。

1 轉子建模假設與參考坐標系

為了便于機動飛行下機載磁懸浮轉子建模，在不影響分析結果的前提下，作如下假設：

（1）磁懸浮軸承支承的轉子與飛機機身軸線同軸，轉子位于飛機的質心處，飛機的機動飛行即為磁懸浮轉子的基礎運動；

（2）轉子簡化為1個單盤柔性轉子，由剛性圓盤、彈性軸段、不平衡質量組成，不平衡質量分布于剛性圓盤上，不考慮轉子的軸向運動和扭振；

（3）轉子的轉速為定值，不考慮轉子變轉速帶來的影響。

為了建立磁懸浮柔性轉子的運動微分方程，需要得到轉子相對于大地的運動，可以建立3個參考坐標系進行分析，基礎運動下磁懸浮軸承轉子如圖1所示。

圖1 基礎運動下磁懸浮軸承轉子

3個坐標系分別為：

（1）固連于大地的慣性坐標系（--），原點為；

（2）固連于飛機的非慣性坐標系（--），其原點為左磁懸浮軸承的中心，該坐標系隨著飛機運動，用于描述飛機相對于大地的運動，如圖2所示；

圖2 飛機坐標系

（3）固連于轉子的非慣性坐標系（--），原點為圓盤的幾何中心，隨著轉子旋轉，用于描述轉子相對于基礎的運動。

把飛機視作剛體，其在空中的平動機動飛行可以用、、描述，即坐標系相對于的平動即為原點相對于的平動。飛機在空中的轉動機動飛行可以用、、描述，坐標系相對于的轉動可以看作依次繞、、軸旋轉、、，則相對于的瞬時角速度為

同理，坐標系可以看作通過依次繞、、軸旋轉、、得到，相對于的瞬時角速度為

2 機載磁懸浮柔性轉子系統動力學模型

2.1 機載柔性轉子運動微分方程

通過坐標系的變換可以得到轉子上任一點的絕對速度與絕對角速度。彈性軸段采用鐵木辛柯梁單元進行建模，剛性圓盤視為集中質量，不考慮勢能。分別計算剛性圓盤、彈性軸段單元和不平衡質量的動能和勢能，運動微分方程可以由拉格朗日方程得到

式中：q為有限單元的廣義坐標；和分別為單元的動能和勢能；F為單元受到的廣義力。

通過對所有單元的運動微分方程進行合并組裝，轉子的運動微分方程為

式中：為轉子的廣義坐標；、和分別為轉子的質量矩陣、結構剛度矩陣和陀螺矩陣；為與基礎轉動ω有關的附加阻尼矩陣；、K 、K 、K 、K 分別為與基礎轉動ω、ω、ω有關的附加剛度矩陣；為轉子受到的不平衡力矩陣；為磁懸浮軸承支承力；為飛機機動飛行運動引起的外力矩陣，其與機動飛行的6個參數都有關。

由式（4）可知，機動飛行運動會對轉子系統產生附加剛度和附加阻尼，并施加外力擾動，影響轉子的穩定性和振動響應。

2.2 磁懸浮軸承模型

磁懸浮軸承利用可控電磁力支承轉子，其系統基本工作原理如圖3所示。從圖中可見，位移傳感器實時檢測轉子位移并與參考位置作差，控制器對誤差信號進行處理，產生控制電壓，再經過功率放大器產生控制電流，驅動線圈產生相應的電磁力，通過不斷調節，使轉子懸浮于指定的參考位置。

圖3 磁懸浮軸承系統工作原理

本文采用8極C型磁極磁懸浮軸承，如圖4所示。2對磁極分別產生、2個方向的電磁力，、分別與、方向有45°夾角。同一對磁極上的線圈采用偏置電流疊加控制電流的差動驅動方式。以方向為例，當轉子偏離軸承中心時，產生的電磁軸承力為

圖4 8極C型磁極磁懸浮軸承結構

式中：為真空磁導率；為單個磁極面積；為1對磁極上的線圈總匝數；為轉子位于軸承中心時的單邊氣隙；為線圈偏置電流；為線圈控制電流；為1對磁極夾角的一半。

在轉子參考位置處對式（5）進行泰勒展開，略去高階小量后得到電磁力的線性化公式

當磁懸浮軸承使用比例-微分（Proportional Derivative，PD）控制器時，功率放大器和位移傳感器視為增益，i 為

式中：為控制器比例系數；為控制器微分系數；為功率放大器增益；為位移傳感器增益。

把式（7）帶入式（6）得

從式（8）中可見，使用PD控制的磁懸浮軸承可以為轉子提供支承剛度和阻尼。同理可得磁懸浮軸承在方向產生的電磁軸承力F，則磁懸浮軸承在、方向的軸承力為

3 飛機機動飛行過程

飛機的機動飛行可以分為水平面內、垂直面內和3維空間的運動。水平面內的機動飛行包括轉彎、盤旋等；垂直面內的機動飛行包括俯沖、拉升等；3維空間內的機動飛行為前2種運動的復合運動形式，常見的有橫滾、筋斗、戰斗轉彎等。本文選取飛機在水平面的轉彎和垂直面的俯沖拉升2種典型的機動飛行進行分析。

3.1 轉彎機動飛行

飛機的轉彎機動飛行過程是偏航、滾轉、勻速前進運動的結合。以向右轉彎為例（如圖5所示），由于是水平機動，飛機俯仰角為=0。轉彎可簡化為5個階段：（1）飛機正常直線平飛巡航；（2）開始轉彎，機身沿軸線向右滾轉至預定角度，同時開始向右偏航；（3）飛機保持固定滾轉角與偏航角速度右轉彎；（4）開始退出轉彎狀態，機身反方向滾轉至角度為0，同時偏航角速度逐漸降至0；（5）飛機回到直線平飛狀態。

圖5 飛機右轉彎機動飛行過程

圖6 飛機轉彎過程受力

在轉彎過程中，飛機保持恒定的平飛速度，盤旋半徑為，在轉彎階段（3）時，飛機受力如圖6所示，飛機升力與重力之間的關系為

3.2 俯沖拉升機動飛行

飛機在做俯沖拉升運動時不產生偏航或滾轉，即=0、=0，如圖7所示。俯沖拉升運動可以分為7個階段：（1）飛機正常直線平飛巡航；（2）向下加速俯沖，俯仰角速度為負；（3）繼續向下俯沖，但速度放緩，俯仰角速度為正；（4）飛機保持固定俯仰角速度俯沖，經過最低點后開始拉升；（5）飛機拉升，俯仰角速度為正；（6）繼續拉升，俯仰角速度為負；（7）飛機結束俯沖拉升運動，回到水平直線飛行狀態。

圖7 飛機俯沖拉升機動飛行過程

飛機拉升過程受力如圖8所示，飛機俯沖拉升飛行運動參數為

4 機動飛行下磁懸浮轉子振動響應

4.1 磁懸浮轉子系統參數

對機動飛行下磁懸浮轉子振動響應進行數值分析，使用的轉子模型是1個單盤柔性轉子，工作轉速為9000 r/min，不平衡質量位于剛性圓盤上，不平衡量為300 g·mm。轉子由2個使用PD控制的徑向磁懸浮軸承支承，具體參數見表1。轉子在正常工作時懸浮于空中，當振幅過大時，可能會與磁懸浮軸承產生碰撞，引起轉子失穩，所以在響應分析過程中，重點考察磁懸浮軸承處轉子的振動。

圖8 飛機拉升過程受力

表1 磁懸浮軸承系統參數

4.2 飛機轉彎時磁懸浮轉子振動響應

假設飛機水平巡航的速度=150 m/s，轉彎半徑=2000 m，時間歷程=1 s，=2 s，=4 s，=5 s，=6 s。在右轉彎過程中偏航角速度?為

在飛機右轉彎機動飛行過程中轉子振動響應如圖9所示。從圖中可見，轉彎過程引起了轉子在水平方向和垂直方向的偏心，使得轉子的最大振幅變大，若轉彎半徑過小或轉彎速度過大，使偏心進一步增大，嚴重時會與磁懸浮軸承碰摩，引發事故。

圖9 右轉彎機動飛行過程中轉子振動響應

轉彎各階段具體的轉子軸心軌跡如圖10所示。從圖中可見，在第0～1 s時，飛機穩定向前水平飛行，是1個穩態過程，轉子只受不平衡力激勵作用，轉子軸心軌跡為圓，振幅為14.5μm，進動中心在磁懸浮軸承中心；在第1～2 s時，飛機開始滾轉和偏航，滾轉角和偏航速度不斷增大，由基礎運動引起的附加載荷使得轉子進動中心不斷向和正方向移動，即進動中心偏心不斷增大；在第2～4 s時，飛機滾轉角不變，偏航角速度不變，轉子進動中心保持在最大偏心處，此階段轉子的振動達到最大30.2μm；在第4～5 s時可以視作第1～2 s時的逆過程，飛機滾轉角逐漸減小至0，偏航角速度同步減小至0，轉子進動中心逐漸回到磁懸浮軸承中心；在第5～6 s時飛機回到水平直飛狀態，軸心軌跡與第0～1 s時的相同。

圖10 右轉彎機動飛行過程中轉子軸心軌跡

以上分析中磁懸浮軸承使用PD控制，實際應用中會使用比例-積分-微分（Proportional Integral Derivative，PID）控制。當使用PID控制時，飛機在右轉彎過程中轉子振動響應如圖11所示。從圖中可見，在整個過程中轉子振動沒有出現較大的變化，即飛機右轉彎工況對轉子振動幾乎沒有影響。這是因為在右轉彎過程中，飛機運動給磁懸浮轉子帶來的附加載荷可以看作是頻率極低的擾動，而磁懸浮軸承控制器中的積分環節對低頻信號跟蹤能力強，系統穩態誤差幾乎為0，轉子可以保持懸浮于軸承中心。但是相應地，磁懸浮軸承需要提供更大的控制電流以產生更大的電磁力來抵抗機動飛行的影響，當機動飛行過于劇烈時，控制電流可能飽和，引起轉子失穩。

圖11 在右轉彎機動飛行過程中轉子振動響應（PID控制）

4.3 飛機俯沖拉升時磁懸浮轉子振動響應

設飛機水平巡航的速度=150 m/s，在俯沖拉升過程中飛機飛行半徑=2000 m，時間歷程=1 s，=2.4 s，=3 s，=4 s，=4.6 s，=6 s，=7 s。飛機在俯沖拉升運動過程中的俯仰角速度?為

在飛機俯沖拉升機動飛行過程中轉子振動響應如圖12所示。從圖中可見，由于俯沖拉升過程是在垂直面內進行的，對方向的振動影響較大，隨著俯沖拉升過程的進行，轉子進動中心位置也在不斷變化。俯沖拉升過程各階段的轉子軸心軌跡如圖13所示。從圖中可見，在第0～1.0 s時，轉子只受不平衡力激勵作用，轉子振動響應為不平衡響應，軸心軌跡為圓，振幅為14.5μm；在第1～2.4 s時，飛機開始向下俯沖，俯仰角速度由0先減小再增大，在第2.4 s時回到0，相應地，轉子進動中心在方向的偏離先增大再減小，最大振動為25μm，受陀螺力矩耦合作用，在方向上也會有同樣現象，但由于陀螺力矩較小，偏心很小；在第2.4～3.0 s時，飛機俯仰角速度為正且不斷增大，轉子進動中心繼續朝著負方向變化；在第3.0～4.0 s時，飛機由俯沖向拉升過渡，在該過程中俯仰角速度保持不變，轉子進入穩定狀態，最大振動為25μm；之后的拉升過程皆為對應俯沖過程的逆過程，在轉子響應上也具有相似性。與右轉彎機動飛行類似，當改用PID控制后，磁懸浮軸承會以增大控制電流的方式減小飛機俯沖拉升帶來的影響。

圖12 在俯沖拉升機動飛行過程中轉子振動響應

圖13 俯沖拉升機動飛行各階段轉子軸心軌跡

5 結論

（1）通過數值仿真可知，當磁懸浮軸承采用PD控制時，在飛機轉彎和俯沖拉升運動過程中，轉子進動中心會偏離磁懸浮軸承中心，轉子振動增大；

（2）當采用PID控制時，磁懸浮軸承可以以增大控制電流為代價減小轉彎和俯沖拉升給轉子帶來的影響。

（3）在設計機載磁懸浮轉子系統時，要充分考慮機動飛行帶來的影響，避免振動過大使得轉子與磁懸浮軸承發生碰摩，同時要避免磁懸浮軸承線圈電流飽和。

未來將進行磁懸浮軸承控制方法及控制參數對轉子振動響應影響的研究，發揮磁懸浮軸承主動振動控制的優勢，為磁懸浮軸承在航空發動機上的實際應用打下基礎。