新型跟蹤微分器在航空發(fā)動(dòng)機(jī)磁懸浮軸承中的應(yīng)用

張和洪，謝晏清，王 娟，但志宏，林澤如，龍志強(qiáng)

（1.福州大學(xué)計(jì)算機(jī)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，福州 350108；2.大連海事大學(xué)輪機(jī)工程學(xué)院，遼寧大連 116026；3.中國(guó)航發(fā)四川燃?xì)鉁u輪研究院，四川 綿陽(yáng) 621703；4.福建省民益建設(shè)工程有限公司，福州 350018；5.國(guó)防科技大學(xué)智能科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073）

0 引言

磁懸浮是借助磁力來(lái)克服重力的一種涉及多學(xué)科領(lǐng)域的復(fù)雜技術(shù)，已應(yīng)用于航空航天、醫(yī)學(xué)、能源工業(yè)、軌道交通等重要領(lǐng)域。航空發(fā)動(dòng)機(jī)磁懸浮軸承技術(shù)中最核心的環(huán)節(jié)是將運(yùn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮于空中，使轉(zhuǎn)子和靜子之間不存在機(jī)械接觸，從而大幅提升航空發(fā)動(dòng)機(jī)性能。因此實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮是磁懸浮軸承應(yīng)用的核心技術(shù)之一。

Smirnov等指出磁懸浮軸承是包含非最小相位系統(tǒng)的具備強(qiáng)非線性和大量不確定性的系統(tǒng)。在磁懸浮軸承控制問(wèn)題上，Matsumura等總結(jié)了國(guó)內(nèi)外學(xué)者在基于數(shù)學(xué)模型或弱基于數(shù)學(xué)模型的研究探索與試驗(yàn)驗(yàn)證；Giap等提出模糊比例、積分、微分（Proportional Integral Derivative，PID）控制及滑模控制；Wu等提出反步控制；Sun等提出自抗擾控制及迭代學(xué)習(xí)控制等。為實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，金超武等指出控制器需要獲取位移傳感器實(shí)時(shí)的信號(hào)及速度信號(hào)。但由于航空發(fā)動(dòng)機(jī)工作溫度高且負(fù)荷變化大，使位移傳感器信號(hào)包含較大的隨機(jī)噪聲，且信號(hào)頻帶會(huì)隨工況改變，增加了控制器設(shè)計(jì)的難度。如何設(shè)計(jì)高效的微分器算法應(yīng)用于位移傳感器，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)有效的濾波與速度信號(hào)提取，特別是提高信號(hào)的相位品質(zhì)，成為實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮的關(guān)鍵問(wèn)題。理想微分器在物理上不可實(shí)現(xiàn)，Zhang總結(jié)了國(guó)內(nèi)外研究人員在微分器理論與應(yīng)用研究方面的成果，目前國(guó)內(nèi)外主流微分器算法包括以色列學(xué)者Levant及Utkin提出的滑模微分器算法與中國(guó)學(xué)者韓京清提出的跟蹤微分器算法。滑模微分器中由于切換函數(shù)的存在，不能保證系統(tǒng)變量在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并保持在滑模面上，而是在滑模面附近快速切換，產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。考慮到快速性，韓京清從最小時(shí)間問(wèn)題出發(fā)，引進(jìn)了快速跟蹤微分器算法，具有無(wú)超調(diào)、無(wú)顫振的特點(diǎn)，能獲取品質(zhì)良好的微分信號(hào)。然而該微分器的抗噪聲能力仍受到一定程度的限制，若輸入信號(hào)的信噪比較小，會(huì)產(chǎn)生較大的毛刺甚至產(chǎn)生淹沒(méi)現(xiàn)象，若提高算法濾波因子，則在改善信號(hào)光滑性的同時(shí)，產(chǎn)生較大的滯后。因而跟蹤微分器存在光滑性與相位滯后之間的矛盾。

由于跟蹤微分器具備全程快速、無(wú)顫振等優(yōu)勢(shì)，本文為彌補(bǔ)算法在濾波與微分信號(hào)提取時(shí)的相位滯后，引入相位調(diào)整因子對(duì)相位進(jìn)行實(shí)時(shí)有效地補(bǔ)償，在光滑性與相位滯后之間作適當(dāng)權(quán)衡，采用基于2階串聯(lián)型系統(tǒng)的跟蹤微分器解決位移傳感器信號(hào)處理問(wèn)題。

1 問(wèn)題提出

磁懸浮軸承是一個(gè)復(fù)雜的機(jī)電耦合系統(tǒng)，其性能優(yōu)劣很大程度上取決于核心反饋控制器的性能。磁懸浮軸承懸浮控制系統(tǒng)的原理如圖1所示。

假定在參考點(diǎn)上，當(dāng)外界存在向上或向下的擾動(dòng)作用于轉(zhuǎn)子時(shí)，轉(zhuǎn)子位置會(huì)偏離參考點(diǎn)。此時(shí)安裝在電磁鐵上的位移傳感器將實(shí)時(shí)檢測(cè)出轉(zhuǎn)子偏離參考點(diǎn)的位移以及相應(yīng)的狀態(tài)量，并作為反饋控制器的輸入，通過(guò)相應(yīng)的斬波電路等功率放大器將控制器的輸出轉(zhuǎn)化成控制電流，進(jìn)而在懸浮電磁鐵中產(chǎn)生相應(yīng)的磁力，最終驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子返回平衡位置。在磁懸浮軸承工程實(shí)踐中，位移（即間隙）及對(duì)應(yīng)的速度信號(hào)對(duì)于實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的懸浮至關(guān)重要。在通常情況下，速度信號(hào)可通過(guò)加速度計(jì)的積分獲得，但是在實(shí)際工程應(yīng)用中，加速度計(jì)存在2個(gè)主要問(wèn)題：（1）價(jià)格較貴的加速度計(jì)相比于位移傳感器而言，安裝工況惡劣，容易發(fā)生故障；（2）加速度計(jì)信號(hào)的積分對(duì)某些特殊的信號(hào)頻帶無(wú)法實(shí)現(xiàn)有效提取，特別是當(dāng)處于穩(wěn)定靜態(tài)懸浮時(shí)，信號(hào)中存在直流分量，在利用積分方法獲取速度信號(hào)時(shí)被放大。此外，在磁懸浮軸承工程應(yīng)用中，位移信號(hào)存在較大的隨機(jī)噪聲干擾，且隨著系統(tǒng)運(yùn)行工況的改變，位移信號(hào)的頻帶寬度會(huì)發(fā)生變化。因此為實(shí)現(xiàn)航空發(fā)動(dòng)機(jī)磁懸浮軸承的穩(wěn)定懸浮，亟需設(shè)計(jì)有效的跟蹤微分器算法（如圖1所示），通過(guò)直接處理位移傳感器采集信號(hào)獲取有效的濾波與速度信號(hào)，用于磁懸浮軸承的懸浮控制。有效的跟蹤濾波與微分信號(hào)主要表現(xiàn)在2方面：（1）跟蹤濾波和微分信號(hào)的跟蹤誤差滿足實(shí)際系統(tǒng)的要求；（2）與給定信號(hào)相比，跟蹤濾波與微分信號(hào)的相位滯后盡可能小。

圖1 磁懸浮軸承懸浮控制系統(tǒng)原理

2 新型跟蹤微分器算法構(gòu)造

考慮2階積分器串聯(lián)型系統(tǒng)有

式中：=[,]，表示系統(tǒng)（1）的2個(gè)狀態(tài)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為(0)=[(0),(0)]；為控制量的極值約束條件參數(shù)；為根據(jù)時(shí)間最優(yōu)控制理論得到的式（1）系統(tǒng)以原點(diǎn)為終點(diǎn)的時(shí)間最優(yōu)控制綜合函數(shù)

為bang-bang控制的開(kāi)關(guān)曲線方程，bang-bang控制是一種控制量在最大值和最小值之間切換的控制方式，在開(kāi)關(guān)曲線的上方=-，開(kāi)關(guān)曲線的下方=+，這樣選取的控制量可使給定初始狀態(tài)回到開(kāi)關(guān)曲線上，且在開(kāi)關(guān)曲線上至多跳變1次便可回到原點(diǎn)。開(kāi)關(guān)曲線及狀態(tài)轉(zhuǎn)移最優(yōu)軌跡線如圖2所示。

圖2 開(kāi)關(guān)曲線及狀態(tài)轉(zhuǎn)移最優(yōu)軌跡線

圖中

即為開(kāi)關(guān)曲線。從圖中可見(jiàn)，初始狀態(tài)的選擇不會(huì)影響系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的最終目的，初始狀態(tài)必然會(huì)轉(zhuǎn)移到開(kāi)關(guān)曲線上，而后順著開(kāi)關(guān)曲線快速回到原點(diǎn)。把式（3）中的改為-()（()為給定的輸入信號(hào)），得到最速跟蹤微分器

為了消除離散化后的最速跟蹤微分器在穩(wěn)態(tài)時(shí)出現(xiàn)的高頻顫振，韓京清利用等時(shí)區(qū)方法推導(dǎo)出狀態(tài)變量在開(kāi)關(guān)曲線附近來(lái)回跳變的線性區(qū)域以及該區(qū)域所對(duì)應(yīng)的邊界層函數(shù)。邊界層的存在使得狀態(tài)在轉(zhuǎn)移過(guò)程中能夠無(wú)顫振回到指定點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的控制量在有界區(qū)域內(nèi)按線性規(guī)律變化，而不是在2個(gè)極端的量（最大值和最小值）之間跳變，有利于克服由式（6）系統(tǒng)引發(fā)的高頻顫振現(xiàn)象。

采用歐拉折線法將式（1）系統(tǒng)離散化后，可得控制量受限的2階離散系統(tǒng)

式（7）離散系統(tǒng)到達(dá)原點(diǎn)的快速最優(yōu)控制綜合函數(shù)的確定方法為：先確定用控制序列（0），（1），…，（）能到達(dá)原點(diǎn)的初始點(diǎn)(0)的表達(dá)式，然后設(shè)法用初始點(diǎn)(0)來(lái)表示出初始時(shí)刻的控制量(0)，那么這個(gè)控制量(0)就是初始點(diǎn)(0)的最優(yōu)控制量，這個(gè)(0)的表達(dá)式就是最優(yōu)控制綜合函數(shù)。詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[18]。為便于理解，本文給出重要研究結(jié)論，對(duì)應(yīng)的邊界層方程為

式中：、、分別為邊界層A、B、C對(duì)應(yīng)的曲線方程。

邊界層內(nèi)部的2步可達(dá)區(qū)為

式中：（2）為2步可達(dá)區(qū)，一旦狀態(tài)落入該區(qū)域，在2步控制作用下將回到原點(diǎn)。

2步可達(dá)區(qū)及線性邊界如圖3所示。

圖3 2步可達(dá)區(qū)及線性邊界

式中：為濾波因子。

用()-()代替式（7）中的()，得到基于離散時(shí)間最優(yōu)控制算法的跟蹤微分器算法

通過(guò)大量仿真分析發(fā)現(xiàn)，采用最優(yōu)控制綜合函數(shù)式（12）構(gòu)造的跟蹤微分器算法式（13）在輸入信號(hào)的噪聲強(qiáng)度變化時(shí)，式（13）系統(tǒng)得到的濾波與微分信號(hào)存在較大的相位滯后問(wèn)題。為此，做出合理假設(shè)，認(rèn)為跟蹤信號(hào)與微分信號(hào)僅僅產(chǎn)生了時(shí)間上的滯后，而幅值沒(méi)有變化，那么根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)可以得到1組近似的數(shù)學(xué)關(guān)系。假設(shè)輸入信號(hào)()經(jīng)過(guò)跟蹤微分器算法后獲得了跟蹤信號(hào)(-Δ)以及微分信號(hào)(-Δ)，考慮到時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題得到的加速度，從而有近似的一元微分關(guān)系

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)選擇1個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)值Δ=·T ·時(shí)，可以改善相位與光滑性的矛盾，從而改進(jìn)了韓氏跟蹤微分器，得到1個(gè)合適的微分信號(hào)。T 為離散采樣周期，為調(diào)整系數(shù)，根據(jù)具體的信號(hào)可以取1個(gè)適當(dāng)值，從而在一定的范圍內(nèi)獲得比較好的濾波與微分信號(hào)。最終得到的算法為

3 仿真及試驗(yàn)測(cè)試

從時(shí)間域（即時(shí)域）和頻率域2個(gè)維度分析所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器算法式（15）在給定信號(hào)下的跟蹤濾波與微分提取的性能，同時(shí)對(duì)磁懸浮軸承懸浮控制系統(tǒng)中位移傳感器所獲取的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，分析其濾波與微分提取能力。

3.1 時(shí)域分析

所有仿真的系統(tǒng)狀態(tài)的初值都選擇為=(1),=0，系統(tǒng)采樣時(shí)間步長(zhǎng)=0.001 s，系統(tǒng)的給定輸入信號(hào)為()=((),)，其中()為給定的基信號(hào)，函數(shù)用于添加相應(yīng)強(qiáng)度高斯白噪聲，為隨機(jī)噪聲的強(qiáng)度。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)磁懸浮軸承中位移傳感器的噪聲強(qiáng)度為45～60 dB。當(dāng)輸入信 號(hào) 為()=(sin(4π),50)或 為()=(sin(2π)+cos(2π),45）時(shí)，從時(shí)域的角度對(duì)比基于的跟蹤微分器算法與本文所提出的改進(jìn)新型跟蹤微分器算法在不同給定輸入信號(hào)下的跟蹤濾波與微分提取性能。

當(dāng)輸入信號(hào)為()=(sin(4π),50)時(shí)，2種算法的快速因子=1000，濾波因子=25，對(duì)于改進(jìn)的新型跟蹤微分器算法的相位調(diào)整因子=37.5。跟蹤濾波與微分信號(hào)提取效果對(duì)比如圖4所示。

圖4 當(dāng)輸入信號(hào)為vn(t)=awgn(sin(4πt),50)時(shí)，跟蹤濾波和微分信號(hào)提取效果對(duì)比

當(dāng)輸入信號(hào)為（）=（sin（2π）+cos（2π）,45)時(shí)，2種算法的=1000，=50，=75。跟蹤濾波與微分信號(hào)提取對(duì)比效果如圖5所示。

圖5 當(dāng)輸入信號(hào)為vn(t)=awgn(sin( 2πt)+cos(2πt),45)時(shí)，跟蹤濾波與微分信號(hào)提取效果對(duì)比

通過(guò)以上對(duì)比分析可知，針對(duì)給定的輸入信號(hào)2種算法都能夠給出相應(yīng)的跟蹤濾波與微分信號(hào)。與基于的跟蹤微分器算法相比，本文提出的新型跟蹤微分器算法具備跟蹤更快速的動(dòng)態(tài)特性，且相位滯后現(xiàn)象得到有效改善，相位滯后約減小80個(gè)采樣周期。

3.2 頻域分析

采用掃頻測(cè)試的方法繪制基于本文所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器式（15）的Bode圖，利用Bode圖分析跟蹤微分器的頻域特性。頻域分析的目的是為了測(cè)試在理想狀態(tài)下跟蹤微分器的頻域特性，故這里輸入的正弦信號(hào)不摻雜隨機(jī)噪聲。因此，在仿真過(guò)程中取=1，考察選取不同快速因子對(duì)所設(shè)計(jì)的跟蹤微分器頻域特性的影響。其中=100、250、500、750，=0.001s。輸入信號(hào)為正弦信號(hào)()=sin(2π)，頻率的起始頻率為0.1 Hz，終止頻率為10 Hz，時(shí)間步長(zhǎng)為0.5 Hz。對(duì)每個(gè)頻率點(diǎn)，運(yùn)行20000個(gè)采樣時(shí)間，并記錄采樣區(qū)間[10000,15000]的數(shù)據(jù)。所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器濾波和微分的幅頻和相頻曲線仿真測(cè)試結(jié)果如圖6所示。

圖6 在正弦輸入信號(hào)條件下新型跟蹤微分器濾波和微分的幅頻和相頻曲線

從圖6（a）中可見(jiàn)，所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器的濾波幅頻特性由2條直線形成折線，當(dāng)頻率低于轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，幅頻特性是1條平行于橫軸的直線，縱坐標(biāo)為0，即幅值沒(méi)有發(fā)生變化；當(dāng)頻率高于轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，頻域特性是1條在轉(zhuǎn)折頻率處穿越橫軸的直線，其斜率為-40 dB decade，即幅值呈現(xiàn)衰減態(tài)勢(shì)，而該跟蹤微分器的濾波相頻特性有如下特點(diǎn)：在轉(zhuǎn)折頻率之前隨著頻率的提高，相移變化緩慢；但在轉(zhuǎn)折頻率附近，相移突然增大，穿過(guò)-90°而接近-180°；對(duì)于不同的速度因子，其幅頻特性和相頻特性呈現(xiàn)完全一致的變化規(guī)律，只是對(duì)轉(zhuǎn)折頻率做了相應(yīng)的平移，速度因子越大，則帶寬越大，即速度越快。分析圖6（a）可知，所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器的濾波頻域特性的最大特點(diǎn)是其通帶內(nèi)有較小的相移，而且不產(chǎn)生諧振，此外，該跟蹤微分器的高頻增益會(huì)隨著頻率的提高而減小，即有明顯的高頻噪聲抑制能力。因此，本文所提出的新型跟蹤微分器在通帶范圍內(nèi)可以保證過(guò)渡時(shí)間較短、不出現(xiàn)超調(diào)、對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)濾波。

從圖6（b）中可見(jiàn)，當(dāng)頻率低于轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，幅頻特性是1條不衰減的直線，其斜率為20 dB decade；當(dāng)頻率高于轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，幅頻特性是1條衰減的直線。而該跟蹤微分器的相頻特性表現(xiàn)為：在截止頻率之前幾乎保持超前90°相角，當(dāng)頻率接近轉(zhuǎn)折頻率時(shí)相移突然增大，穿過(guò)0°并很快接近-90°，此后一直保持在-90°附近。的變化對(duì)微分頻域特性的影響為：對(duì)于不同，其幅頻特性和相頻特性呈現(xiàn)完全一致的變化規(guī)律，只是對(duì)轉(zhuǎn)折頻率做了相應(yīng)的平移，越大，則帶寬越大，即速度越快。上述分析結(jié)果表明，在通帶內(nèi)，所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器具有品質(zhì)很好的微分特性，不僅能夠獲取微分信號(hào)，還可以濾除高頻噪聲，具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。

所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器的頻域分析結(jié)果表明，在通帶范圍內(nèi)該跟蹤微分器的濾波特性類似于2階線性低通濾波器，且具有線性系統(tǒng)無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)，即在通帶內(nèi)有較小相移的同時(shí)不產(chǎn)生諧振現(xiàn)象，因此，跟蹤微分器是解決線性系統(tǒng)中超調(diào)與快速性之間矛盾的一種途徑。此外，所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器的微分特性在通帶范圍內(nèi)類似于純微分器，而優(yōu)于純微分器的是該跟蹤微分器對(duì)高頻噪聲不敏感，且可以物理實(shí)現(xiàn)。

3.3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

在磁懸浮軸承懸浮控制系統(tǒng)中，間隙信號(hào)濾波與速度信號(hào)獲取對(duì)實(shí)現(xiàn)磁懸浮軸承的穩(wěn)定懸浮控制至關(guān)重要。針對(duì)電渦流位移傳感器采集信號(hào)，通過(guò)對(duì)比基于的跟蹤微分器算法與本文所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器算法的處理效果，驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)算法的有效性與優(yōu)勢(shì)。

在如圖1所示的磁懸浮軸承懸浮控制系統(tǒng)中位移傳感器的采樣頻率為1000 Hz，系統(tǒng)穩(wěn)定的懸浮間隙為8 mm，在試驗(yàn)過(guò)程中允許穩(wěn)定誤差為±0.5 mm。在測(cè)試過(guò)程中以磁懸浮軸承起浮階段為系統(tǒng)運(yùn)行工況采集位移傳感器數(shù)據(jù)。系統(tǒng)狀態(tài)的初值都選擇為=(1),=0，=0.001s。2種算法的=3000，=15；改進(jìn)后的新型跟蹤微分器算法的=20。位移傳感器信號(hào)跟蹤濾波和微分信號(hào)提取效果對(duì)比如圖7所示。

圖7 位移傳感器信號(hào)跟蹤濾波和微分信號(hào)提取效果對(duì)比

從圖中可見(jiàn)，磁懸浮軸承的懸浮間隙從12 mm起浮上升至穩(wěn)定懸浮所對(duì)應(yīng)的8 mm。對(duì)比基于的跟蹤微分器算法，本文所設(shè)計(jì)的新型跟蹤微分器算法能夠有效獲取濾波后的間隙信號(hào)與速度信號(hào)，且相位滯后現(xiàn)象得到有效抑制。

4 結(jié)論

（1）所提出的新型跟蹤微分器算法能夠快速獲取給定信號(hào)的跟蹤濾波與微分信號(hào)；

（2）相比于現(xiàn)有跟蹤微分器算法，新算法所獲取的信號(hào)在相位表現(xiàn)方面得到大幅度提升，平均相位滯后減小80～100個(gè)采樣周期；

（3）新算法為磁懸浮軸承傳感器信號(hào)處理問(wèn)題提供了一種有效的方法和新思路，為研制航空發(fā)動(dòng)機(jī)磁懸浮軸承技術(shù)提供了良好的技術(shù)保障。

接下來(lái)的工作包括但不限于：分析新型跟蹤微分器算法的收斂性，為實(shí)際工程應(yīng)用提供理論保證；分析新型跟蹤微分器算法在跟蹤濾波與微分信號(hào)提取方面的精度，為進(jìn)一步改進(jìn)算法提供新的思路；基于所引入的相位調(diào)整因子，設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)率，使得所設(shè)計(jì)的算法能夠隨著傳感器信號(hào)的改變而自動(dòng)調(diào)整相關(guān)參數(shù)，或者對(duì)給定信號(hào)通過(guò)插值或擬合等平滑處理后進(jìn)行微分信號(hào)提取，以期滿足實(shí)際系統(tǒng)對(duì)信號(hào)處理在光滑度和相位等方面的性能需求。