布朗運(yùn)動(dòng)理論中的反常問(wèn)題及原因分析

高 宏

(北京市清華大學(xué)，北京 100084)

一、引 言

布朗運(yùn)動(dòng)是一種具有連續(xù)時(shí)間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的隨機(jī)過(guò)程，是刻畫布朗粒子不規(guī)則運(yùn)動(dòng)、光纖陀螺隨機(jī)游走誤差和股票價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)的重要數(shù)學(xué)工具，在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用1905年，愛(ài)因斯坦認(rèn)為布朗粒子的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)是由于受到大量液體分子的高速碰撞而引起的，并推導(dǎo)出了描述布朗粒子濃度分布規(guī)律的擴(kuò)散微分方程，從理論上證明了布朗粒子濃度分布函數(shù)(,)在時(shí)刻服從(0，)正態(tài)分布1923年，維納(Wiener)發(fā)表了關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的研究論文，假設(shè)一個(gè)布朗粒子在時(shí)刻的位移()也服從與濃度分布函數(shù)(,)相同的正態(tài)分布，并給出了反映布朗運(yùn)動(dòng)基本數(shù)量關(guān)系的布朗運(yùn)動(dòng)定義，為《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論的建立和發(fā)展奠定了研究方法和基本假設(shè)基礎(chǔ)，因此布朗運(yùn)動(dòng)也被稱為維納過(guò)程隨著布朗運(yùn)動(dòng)理論的廣泛應(yīng)用和現(xiàn)代物理學(xué)實(shí)驗(yàn)手段的不斷進(jìn)步，人們發(fā)現(xiàn)《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論出現(xiàn)了一系列與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符和邏輯上不能自洽等反常問(wèn)題本文介紹了布朗運(yùn)動(dòng)理論中出現(xiàn)的反常問(wèn)題，分析了產(chǎn)生反常問(wèn)題的原因

二、布朗運(yùn)動(dòng)定義及性質(zhì)

設(shè)()為一個(gè)布朗粒子在時(shí)刻的位移(圖1)，(0)=0，定義

(1)()為平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程；

(2)()～(0，)，其中>0為常數(shù)；

(3)()是的連續(xù)函數(shù)

則稱()是參數(shù)為的布朗運(yùn)動(dòng)，或維納過(guò)程

圖1 布朗粒子位移曲線

《隨機(jī)過(guò)程》教科書根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)定義，推導(dǎo)出了布朗運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)重要性質(zhì)：

(1)布朗粒子在時(shí)刻的位移()服從均值為零、方差為的正態(tài)分布；

(2)布朗粒子瞬時(shí)速度無(wú)窮大(不存在)，或布朗運(yùn)動(dòng)路徑處處不可導(dǎo)

三、反常問(wèn)題

庫(kù)恩在《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》一書中給出了反常問(wèn)題的定義：反常問(wèn)題是指能威脅到科學(xué)理論基礎(chǔ)，使科學(xué)理論的客觀真理性和邏輯完備性受到懷疑或被證偽，并引起科學(xué)危機(jī)和導(dǎo)致科學(xué)理論范式轉(zhuǎn)換的科學(xué)問(wèn)題反常問(wèn)題主要包括以下三個(gè)方面

(一)理論內(nèi)部邏輯上不能自洽

科學(xué)理論是具有一定邏輯結(jié)構(gòu)的理論系統(tǒng)，是由一系列概念、判斷和推理組成的邏輯演繹體系，必然要求理論內(nèi)部在邏輯上自洽一旦科學(xué)理論內(nèi)部出現(xiàn)自相矛盾的邏輯悖論，則表明該理論的邏輯完備性遭到破壞，在邏輯上被證偽數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)都是由于邏輯悖論的發(fā)現(xiàn)而直接導(dǎo)致的

設(shè)為布朗運(yùn)動(dòng)首中時(shí)(布朗粒子首次到達(dá)圖1中位置的時(shí)間)，則首中位置()=為常數(shù)

根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)定義()～(0，)的性質(zhì)，()的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

[()]=0

(1)

[()]=

(2)

但是，根據(jù)()=，可分別計(jì)算出()的數(shù)學(xué)期望和方差為

[()]=[]=

(3)

[()]=[]=0

(4)

顯然，根據(jù)首中位置()=計(jì)算出的數(shù)學(xué)期望和方差與布朗運(yùn)動(dòng)定義給出的數(shù)學(xué)期望和方差相互矛盾

(二)理論與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符

科學(xué)理論是反映人類對(duì)自然界本質(zhì)特征及規(guī)律的系統(tǒng)化知識(shí)體系，科學(xué)理論最本質(zhì)的特征是其客觀真理性，它要求科學(xué)理論必須要正確地反映客觀事物的本質(zhì)及其規(guī)律性如果科學(xué)理論中的可檢驗(yàn)結(jié)論與實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)結(jié)果不符，則表明該理論被實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)證偽

1位移正態(tài)分布性質(zhì)與客觀事實(shí)不符

《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論假設(shè)布朗粒子在時(shí)刻的位移()服從(0，)正態(tài)分布，則圖1所示的布朗粒子位移曲線應(yīng)具有如下兩個(gè)正態(tài)分布的重要特征：

對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)位移值出現(xiàn)的次數(shù)大致相等

集中性：絕大多數(shù)位移值聚集在均值(原點(diǎn))附近

但是，圖1所示的布朗粒子位移曲線既不存在正態(tài)分布的對(duì)稱性，也不滿足正態(tài)分布的集中性，因此，《隨機(jī)過(guò)程》布朗粒子位移服從正態(tài)分布的假設(shè)與客觀事實(shí)完全不符

2瞬時(shí)速度無(wú)窮大(處處不可導(dǎo))與物理學(xué)實(shí)驗(yàn)不符

《隨機(jī)過(guò)程》教科書根據(jù)“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”的假設(shè)，推導(dǎo)出了布朗粒子瞬時(shí)速度無(wú)窮大(不存在)或布朗運(yùn)動(dòng)路徑處處不可導(dǎo)的結(jié)論

2010年，美國(guó)得克薩斯大學(xué)的李統(tǒng)藏地利用激光光鑷技術(shù)首次實(shí)驗(yàn)測(cè)量到了布朗粒子的瞬時(shí)速度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，布朗粒子的瞬時(shí)速度是均值為零的不相關(guān)白噪聲，布朗粒子的瞬時(shí)速度(導(dǎo)數(shù))不僅存在，而且可觀測(cè)，直接顛覆了《隨機(jī)過(guò)程》教科書布朗粒子瞬時(shí)速度無(wú)窮大(不存在)和布朗運(yùn)動(dòng)路徑處處不可導(dǎo)的錯(cuò)誤結(jié)論，同時(shí)也證明了“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”的假設(shè)不能成立

事實(shí)上，根據(jù)愛(ài)因斯坦布朗運(yùn)動(dòng)理論中的“同一個(gè)布朗粒子在不同微小時(shí)間間隔中的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”假設(shè)，直接就可得出“布朗粒子瞬時(shí)速度為零均值不相關(guān)白噪聲”的結(jié)論

(三)應(yīng)用導(dǎo)致金融危機(jī)

1965年，美國(guó)第一位獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家薩繆爾森(Samuelson)，根據(jù)《隨機(jī)過(guò)程》布朗粒子位移服從正態(tài)分布的錯(cuò)誤假設(shè)，建立了描述股票價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)現(xiàn)象的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型

1970年，布萊克(Black)和斯科爾斯(Scholes)基于薩繆爾森的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，推導(dǎo)出了著名的B-S期權(quán)定價(jià)公式.由于B-S期權(quán)定價(jià)公式為股票、債券、貨幣、商品等金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)提供了數(shù)學(xué)工具，B-S期權(quán)定價(jià)公式迅速被廣泛應(yīng)用于金融市場(chǎng)，直接導(dǎo)致了“第二次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，使金融市場(chǎng)獲得了空前規(guī)模的發(fā)展.1997年，斯科爾斯因此獲得了第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，布萊克不幸英年早逝，沒(méi)有與斯科爾斯一起領(lǐng)獎(jiǎng).

由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型與實(shí)際股票價(jià)格波動(dòng)現(xiàn)象和運(yùn)行趨勢(shì)嚴(yán)重不符，導(dǎo)致-期權(quán)定價(jià)公式成為造成 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危機(jī)的罪魁禍?zhǔn)?/p>

被譽(yù)為“中國(guó)金融數(shù)學(xué)開(kāi)創(chuàng)者”、獲得2020未來(lái)科學(xué)大獎(jiǎng)“數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)獎(jiǎng)”的彭實(shí)戈院士，在《中國(guó)基礎(chǔ)研究發(fā)展報(bào)告(2019年)》第二章中國(guó)數(shù)學(xué)前沿進(jìn)展中明確指出：B-S 期權(quán)定價(jià)理論是造成以前歷次重大金融危機(jī)的關(guān)鍵性原因.

英國(guó)著名數(shù)學(xué)家斯圖爾特(Stewart)在《改變世界的17個(gè)方程》書中寫道：B-S期權(quán)定價(jià)公式改變了世界，它不僅創(chuàng)造了一個(gè)金額難以估計(jì)的產(chǎn)業(yè)，而且也造成了人類歷史上最大的金融體系崩潰.

暢銷書《黑天鵝》作者塔勒布(Taleb)在《金融時(shí)報(bào)》上發(fā)表了題為“破壞市場(chǎng)的偽科學(xué)”專欄文章，對(duì)金融數(shù)學(xué)進(jìn)行了嚴(yán)厲的批判：人們從一次又一次的金融危機(jī)中得出了“金融數(shù)學(xué)的有效性與占星術(shù)一樣不靠譜”和“金融數(shù)學(xué)通過(guò)創(chuàng)造風(fēng)險(xiǎn)來(lái)危害金融系統(tǒng)”的結(jié)論.塔勒布痛斥金融數(shù)學(xué)理論獲得諾貝爾獎(jiǎng)不僅是對(duì)科學(xué)的侮辱，而且一直使金融體系面臨崩潰的風(fēng)險(xiǎn).

四、原因分析

(一)物理概念錯(cuò)誤

愛(ài)因斯坦認(rèn)為布朗粒子的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)是由于受到大量液體分子的連續(xù)隨機(jī)碰撞造成的，并假設(shè)“同一布朗粒子在不同時(shí)間間隔中的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立”和“不同布朗粒子之間的運(yùn)動(dòng)互不相關(guān)”，推導(dǎo)出了布朗運(yùn)動(dòng)擴(kuò)散微分方程

式中(,)為布朗粒子的濃度分布函數(shù)，為擴(kuò)散系數(shù)

布朗運(yùn)動(dòng)擴(kuò)散方程的歸一化解析解為：

(6)

顯然，布朗粒子在擴(kuò)散過(guò)程中的濃度分布函數(shù)(,)服從正態(tài)分布，有

(,)～(0，)

(7)

式中=2

維納在研究單個(gè)布朗粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，將描述大量布朗粒子濃度分布規(guī)律的正態(tài)分布抽象為一個(gè)布朗粒子的位移變化規(guī)律，并定義布朗粒子在時(shí)刻的位移

()～(0，)

(8)

布朗運(yùn)動(dòng)定義是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界布朗運(yùn)動(dòng)基本數(shù)量關(guān)系的反映，也是建立布朗運(yùn)動(dòng)理論的邏輯起點(diǎn)(基本假設(shè)、基本原理或基本公理)維納將大量布朗粒子的濃度分布規(guī)律等同于單個(gè)布朗粒子的位移變化規(guī)律，導(dǎo)致建立布朗運(yùn)動(dòng)理論的邏輯基礎(chǔ)與客觀事實(shí)不符，因此從布朗運(yùn)動(dòng)定義出發(fā)推演出的布朗運(yùn)動(dòng)理論必然無(wú)法正確描述布朗運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象及規(guī)律

(二)數(shù)學(xué)抽象錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)抽象是指從現(xiàn)實(shí)世界中提取出研究對(duì)象的數(shù)量關(guān)系、空間形式及變化規(guī)律，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)模型，從而可用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫客觀世界的本質(zhì)屬性與內(nèi)在規(guī)律在特定的語(yǔ)境中，數(shù)學(xué)抽象有時(shí)是指“抽象的結(jié)果”，有時(shí)是指“抽象的過(guò)程”或“抽象的方法”

《牛頓力學(xué)》和《隨機(jī)過(guò)程》均以質(zhì)點(diǎn)作為研究對(duì)象《牛頓力學(xué)》將質(zhì)點(diǎn)位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為時(shí)間函數(shù)()，而《隨機(jī)過(guò)程》卻將質(zhì)點(diǎn)位移與時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量()

雖然《隨機(jī)過(guò)程》使用時(shí)間函數(shù)符號(hào)()來(lái)表示隨機(jī)變量，但隨機(jī)變量()并不是時(shí)間的函數(shù)，它實(shí)質(zhì)上是定義在樣本空間上的單值函數(shù)，是樣本點(diǎn)的函數(shù)

樣本空間映射的是隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合，因此隨機(jī)變量()在時(shí)刻有多個(gè)或無(wú)窮多個(gè)取值，而時(shí)間函數(shù)()在時(shí)刻只有唯一一個(gè)取值時(shí)間函數(shù)()和隨機(jī)變量()的區(qū)別及所描述的物理對(duì)象見(jiàn)表1

表1 時(shí)間函數(shù)和隨機(jī)變量的區(qū)別

從表1可以看出，時(shí)間函數(shù)和隨機(jī)變量是兩種內(nèi)涵與外延完全不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)于完全不同的物理對(duì)象時(shí)間函數(shù)用來(lái)描述單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化過(guò)程，隨機(jī)變量用來(lái)描述所有質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的空間位置分布狀態(tài)

事實(shí)上，根據(jù)隨機(jī)過(guò)程定義，一個(gè)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位移()是固定時(shí)的隨機(jī)過(guò)程(,),亦即樣本函數(shù)()或樣本軌道()，而樣本函數(shù)本身就是時(shí)間函數(shù)《隨機(jī)過(guò)程》教科書將質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位移()錯(cuò)誤地抽象為隨機(jī)變量，導(dǎo)致《隨機(jī)過(guò)程》研究對(duì)象無(wú)形中從單個(gè)質(zhì)點(diǎn)改變?yōu)橘|(zhì)點(diǎn)集合，建立的理論必然與客觀事實(shí)不符，無(wú)法正確描述單個(gè)布朗粒子運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象及規(guī)律

(三)邏輯錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)以邏輯推理的嚴(yán)密性著稱為了保證數(shù)學(xué)理論的確定性、無(wú)矛盾性和明確性，在運(yùn)用概念、做出判斷、進(jìn)行推理的數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，必須要遵循同一律、矛盾律、排中律和充足理由律這四個(gè)邏輯思維基本規(guī)律但是，《隨機(jī)過(guò)程》教科書中卻出現(xiàn)了一系列違反同一律和矛盾律的邏輯錯(cuò)誤

同一律是指在同一數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，所使用數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延必須要與其自身始終保持同一如果在同一數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，把兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)概念混為一個(gè)概念，就會(huì)違反同一律，犯“混淆概念”或“偷換概念”的邏輯錯(cuò)誤，必然會(huì)導(dǎo)致推導(dǎo)出的結(jié)論在邏輯上不能自洽

矛盾律是指在同一數(shù)學(xué)思維過(guò)程中，兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念不能反映同一對(duì)象如果用兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念描述同一對(duì)象，就會(huì)出現(xiàn)違反矛盾律的邏輯錯(cuò)誤，必然會(huì)導(dǎo)致邏輯矛盾或邏輯悖論的產(chǎn)生

以布朗運(yùn)動(dòng)定義為例，分析《隨機(jī)過(guò)程》教科書中的邏輯錯(cuò)誤(表2)定義是通過(guò)簡(jiǎn)明陳述來(lái)揭示概念內(nèi)涵或解釋命題的邏輯方法，布朗運(yùn)動(dòng)定義中的被定義項(xiàng)()為時(shí)間函數(shù)，但是布朗運(yùn)動(dòng)定義中的定義項(xiàng)卻用隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)這兩個(gè)定義域和值域完全不同的數(shù)學(xué)概念來(lái)描述同一個(gè)布朗粒子在同一時(shí)刻的位移，從而出現(xiàn)了違反同一律和矛盾律的邏輯錯(cuò)誤由于隨機(jī)變量和時(shí)間函數(shù)在同一時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望和方差完全不同，因此必然會(huì)導(dǎo)致《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論產(chǎn)生邏輯悖論，在邏輯上不能自洽

表2 布朗運(yùn)動(dòng)定義中邏輯錯(cuò)誤分析

《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論是以布朗運(yùn)動(dòng)定義作為其邏輯出發(fā)點(diǎn)(基本原理、基本公理或基本定律)，按照一定的邏輯規(guī)則推演出來(lái)的一系列邏輯結(jié)論布朗運(yùn)動(dòng)定義中的邏輯錯(cuò)誤，導(dǎo)致《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論的邏輯完備性在邏輯出發(fā)點(diǎn)就遭到顛覆式破壞

五、結(jié)論

本文對(duì)《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論中出現(xiàn)的“理論與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)不符”“邏輯上不能自洽”“應(yīng)用導(dǎo)致金融危機(jī)”等反常問(wèn)題進(jìn)行了介紹，詳細(xì)分析了導(dǎo)致《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論產(chǎn)生反常問(wèn)題的物理概念錯(cuò)誤、數(shù)學(xué)抽象錯(cuò)誤和邏輯錯(cuò)誤《隨機(jī)過(guò)程》布朗運(yùn)動(dòng)理論出現(xiàn)一系列的反常問(wèn)題，表明布朗運(yùn)動(dòng)理論的客觀真理性和邏輯完備性被證偽，預(yù)示著布朗運(yùn)動(dòng)理論將面臨庫(kù)恩在《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》書中所描寫的重大范式轉(zhuǎn)換，《隨機(jī)過(guò)程》教科書中原有的錯(cuò)誤方法和錯(cuò)誤理論將會(huì)被新方法和新理論所取代，為中國(guó)的隨機(jī)過(guò)程學(xué)科進(jìn)入世界一流前列提供了千載難逢的歷史性發(fā)展機(jī)遇