GeoGebra輔助棱錐的外接球教學案例

徐 敏

(江西省蓮花中學，江西 萍鄉 337100)

一、引 言

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》的頒布實施，明確提出了鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決問題GeoGebra動態軟件在演示中不僅有“形”的動態變化，且有對應的“數”的變化，數形結合思想是高中的重要的思想方式.GeoGebra軟件兼備幾何、代數、概率與統計、微積分、動畫動態展示等功能，是適合師生自主探究，互動交流的動態軟件.GeoGebra在數學教學中的應用越來越廣泛.

基于高中數學核心素養下，對GeoGebra動態幾何軟件與高中數學相關知識融合的課堂教學案例的研究，構建現代教育技術與高中數學的紐帶，為課堂教學提供豐富多樣的呈現方式.以GeoGebra輔助多面體外接球教學案例，讓學生直觀地感受高中數學六大核心素養中的直觀想象、數學抽象、數據分析的能力，感受現代科學技術與高中數學的融合帶來的課堂教學成果和獨特優勢，讓學生做到學以致用.本文以GeoGebra輔助教學，主要探討解決棱錐外接球常見的兩種方法，即補形法和一般方法(確定球心法)的教學案例，展現GeoGebra動態軟件在數學教學中的應用和解決多面體外接球優勢.

二、基本性質

圓的性質：圓的任何一條弦的中垂線經過圓心；

球的性質：經過球的任何一個截面的圓心作該截面的垂線經過球心

三、典例分析

方法一：補形法

特征：存在棱錐一條棱垂直于該棱錐的一個面時，此時使用補形法，一般補形為直棱柱，這樣棱錐外界球轉化為直棱柱的外接球問題

這是一道關于三棱錐外接球問題，考查了學生的抽象思維能力和空間想象能力，傳統教學無法給學生展示動態過程，使得教學不夠生動具體，教師講完這道題后，學生可能對這道題還是一頭霧水，不能夠理解，也無法想象出具體的情形，教學效果很弱.下面我們采取GeoGebra的3D繪圖區來分析這道題，試圖解決傳統教學上的薄弱問題，同時激發學生學習數學的熱情和好奇心，激發他們的學習興趣.

GeoGebra輔助解題步驟如下：

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

1(2019全國卷Ⅰ)已知三棱錐-的四個頂點在球的球面上，==，△是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點，∠=90°，則球的體積為( )

分析研究可知，低水頭水閘消能效果一般都不很理想，消能率低，閘后水流流速仍然較大，對下游河床及兩岸容易形成沖刷，必須采取一定的工程措施才能達到良好的消能效果。通過對普通（單一）消力池、普通（單一）消力池和輔助消能工、復式消力池的消能分析研究，得出如下結論：

這道高考題同樣是一道三棱錐的外接球問題，使用傳統教學方式很難展示圖形效果，若借助GeoGebra動態軟件3D繪圖區繪制圖像，既能生動形象地解決這道題，又能在教學過程中構建學生的空間想象能力.

GeoGebra輔助解題步驟如下：

(1)

(2)

(3)

方法二：一般形式(確定球心法)

特征：不能使用補形法解決的棱錐的外接球問題，此時可以通過球的性質確定外接球的球心，得到外接球的半徑，從而在相應的直角三角形中計算出半徑的值

2已知三棱錐-中，△與△是邊長為2的等邊三角形，且二面角--為直二面角，則三棱錐-的外接球的表面積為( )

我們通過對題目條件分析可知不能使用補形法，現使用確定球心法來解決問題，GeoGebra軟件輔助教學過程如下：

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

2已知等腰直角三角形中，==2,，分別為,的中點，沿著將△折成直二面角(如圖13)，則四棱錐-的外接球的表面積為________

圖13

通過對題目條件分析可知不能使用補形法，現使用確定球心法來解決問題，GeoGebra軟件輔助教學過程如下：

(1)

(2)

(3)

四、結束語

通過以上幾個GeoGebra輔助教學典例，我們可以看出，使用GeoGebra動態軟件輔助數學課堂教學，能夠將抽象的知識用直觀的圖像表示出來，將抽象的圖像轉換為動態的直觀圖像，3D繪圖區可以讓學生多角度觀看立體幾何圖像，讓學生在理解上更加直觀通透，達到傳統教學無法達到的課堂效果，極大地提升了課堂教學效果和教學質量.