度量空間上B*-隱式收縮條件和唯一公共不動點*

樸勇杰

延邊大學理學院數學系，吉林 延吉 133002

令R+是非負實數集。2008年，Akram等[1]引進了一個滿足以下條件的函數α：(R+)3→R+的集合的函數類A

（i）α在(R+)3是連續的；

（ii）存在實數k∈[0，1)使得對任意a，b∈[0，∞)，當a≤α(a，b，b)或a≤α(b，a，b)或a≤α(b，b，a)時有a≤kb.

同時，稱實數空間X上的自映射T是A-收縮，是指存在α∈A使得對任意x，y∈X，有

他們利用這一新的收縮條件得到了若干重要的結果，所得結果推廣和改進了Banach 收縮原理[2]，Kannan 不動點定理[3]及若干其他不動點定理，而Saha 等[4]于2012 年利用A-收縮把文獻［1］的結果推廣到積分型結果。文獻［1］中指出A-收縮推廣和改進了M-收縮[5]，K-收縮[2]，B-收縮[6]，R-收縮[7]及其他若干收縮。顯然，A-收縮是如下收縮的推廣

為了解決此問題，文獻［12］作者在復值度量空間上引進一復值函數類B，并利用該函數類討論了若干不動點和公共不動點問題，所得結果推廣和改進了Chatterjea-型不動點定理和變形結果以及一些其他結果。但是B的定義中一個條件類似于α（ii），要求k∈[0，1). 當k∈[0，1)時利用柯西原理[13]判定序列的柯西性，而k= 1時由于復值度量空間上的偏序關系不是全序[9，12]，所以在k= 1的條件下復值度量空間上判定序列的柯西性是不容易的。于是在本文，將在實空間上定義B的推廣概念并在k= 1 的條件下得到具有兩個度量的集合上映射族的唯一公共不動點存在定理，并給出兩個實例驗證所得結論的正確性。

1 基本概念

2 唯一公共不動點

定理1設(X，d)和(X，δ)是兩個度量空間，S，T：X→X是兩個映射。假設

（i）對任意x，y∈X，d(x，y) ≤δ(x，y)；

（ii）(X，d)是完備的；

因此由定義1的條件（ii）得δ(z，Sz) = 0，從而Tz=z=Sz.

如果w也是T和S的公共不動點，則

結合式（13）知式（1）成立，因此β，T，S滿足定理1的所有條件，于是T和S有唯一公共不動點0.

注記1 如果定理1 中的(X，d)的完備性用(X，δ)的完備性代替，則條件（i）和（iii）是多余的。事實上，在定理1 中僅利用（iv）證明了{xn}在(X，δ)上是柯西的，因此存在z∈X使得{xn}在(X，δ)收斂于z. 根據式（1），

因此根據定義1的條件（ii）得Tz=z. 再由式（1）得

從而由定義1的條件（ii）得δ(z，Sz) = 0，于是Tz=z=Sz.

注記2 根據定理1和例1可知當定理1 中的β取為例1的函數時得到滿足線性收縮條件的公共不動點定理，特別當a= 0，b=c或a=b=c時分別得到Chatterjea-型公共不動點定理或其變形結果。于是定理1推廣和改進了很多已知的（公共）不動點定理。

“這真離奇。一個偷香竊玉的男人，找到真愛卻又遭到拋棄而最終厭倦了女人。這個情場的浪子回頭又太遲了。他遇到了一個女浪子。我想現實生活中不會有這樣的男人。”

下列結果是定理1在非連續條件下的表現形式。

定理2設(X，d)和(X，δ)是兩個度量空間，S，T：X→X是兩個映射。假設

（i）對任意x，y∈X，d(x，y) ≤δ(x，y)；

（ii）(X，d)是完備的；

（iii）對任意x，y∈X，

從而根據定義1的條件（ii）得d(z，Sz) = 0，于是Tz=z=Sz. 公共不動點的唯一性的證明類似于定理1。

下列結果是定理1在兩個度量空間的非完備條件及兩個映射之一僅在一個空間的某一點處連續條件下的表現形式。

（i）對任意x，y∈X，d(x，y) ≤δ(x，y)；

（ii）存在一個點x0∈X及由滿足條件x2n+1=Tx2n和x2n+2=Sx2n+1的序列{xn}的子序列{xni}在(X，d)上收斂于某點z∈X；

（iii）T或S在(X，d)的點z上連續；

（iv）對任意x，y∈X，

如果β具有P-性質，則S，T有唯一公共不動點。

（i）對任意x，y∈X，d(x，y) ≤δ(x，y)；

（ii）(X，d)是完備的；

于是根據定義1的條件（ii）得

利用式（20）并采用定理1 的證明路線可以證明{xn}在(X，d)上是柯西的。于是根據假設（ii）存在z∈X使得

固定n= 1，2，…，且任取i∈N使得i＞n，則根據式（20）得