基于分位數(shù)回歸森林+POT的極端VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

蔡 超，董皓天，黃聰聰

(山東工商學(xué)院 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264005)

一、引言

金融市場(chǎng)的穩(wěn)健發(fā)展對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有促進(jìn)作用，金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的監(jiān)管一直受到相關(guān)部門的重點(diǎn)關(guān)注。隨著經(jīng)濟(jì)全球化的加速，金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)也越來(lái)越大，不可控因素也越來(lái)越多，比如1997年亞洲金融風(fēng)暴，2008年全球金融危機(jī)，2015年中國(guó)股市市值暴跌，這些極端性的風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的頻率在增加，導(dǎo)致的破壞性也在增加。如何精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)這些極端的金融風(fēng)險(xiǎn)，提前獲知風(fēng)險(xiǎn)發(fā)展的動(dòng)向，針對(duì)性的應(yīng)對(duì)危機(jī)的發(fā)生是目前金融部門的重點(diǎn)問題。

在微觀審慎監(jiān)管框架下，經(jīng)典的金融風(fēng)險(xiǎn)管理工具風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR, Value at Risk)自從提出之日起，就受到了學(xué)界與業(yè)界的廣泛關(guān)注。Jorion認(rèn)為VaR風(fēng)險(xiǎn)實(shí)質(zhì)為損失分布在某一置信水平下的分位數(shù)，可以通過優(yōu)化非對(duì)稱絕對(duì)損失函數(shù)得到[1]。基于此，在VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中，Koenker等提出的分位數(shù)回歸方法[2]起到了至關(guān)重要的作用。近年來(lái)，在非線性VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方面，也取得了一些研究進(jìn)展，主要有兩類。第一類，參數(shù)形式的測(cè)度方法，如Engle等建立了CAViaR模型，使用非線性函數(shù)設(shè)定，進(jìn)行非線性VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度[3]；葉五一等分別使用門限分位數(shù)回歸和動(dòng)態(tài)分位數(shù)回歸對(duì)VaR風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行測(cè)度[4-5]。第二類，非參數(shù)形式的測(cè)度方法，如Taylor、許啟發(fā)等使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸[6-7]，Shim、許啟發(fā)等使用支持向量分位數(shù)回歸[8-9]，Jiang、茍小菊等使用分位數(shù)回歸森林，對(duì)VaR風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行測(cè)度[10-11]。上述文獻(xiàn)表明，在VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方面非參數(shù)形式的分位數(shù)回歸方法優(yōu)于參數(shù)形式的方法。

雖然非參數(shù)分位數(shù)回歸方法在測(cè)度VaR風(fēng)險(xiǎn)方面取得了較好的效果，但是Schaumburg認(rèn)為由于極端尾部較少觀測(cè)值會(huì)對(duì)非參數(shù)分位數(shù)回歸的估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生影響，使用非參數(shù)分位數(shù)回歸方法并不能很好的測(cè)度極端VaR風(fēng)險(xiǎn)[12]。極值理論P(yáng)OT方法被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)尾部風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)，如顧正娣和秦學(xué)志等使用POT方法測(cè)度了極端金融風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)現(xiàn)其能夠?qū)崿F(xiàn)極端風(fēng)險(xiǎn)的有效測(cè)度[13-14]。本文結(jié)合QRF方法和POT方法的優(yōu)點(diǎn)構(gòu)建QRF+POT方法，一方面，利用集成模型比單一模型可以取得更好預(yù)測(cè)效果的優(yōu)勢(shì)，使用分位數(shù)回歸森林這一集成模型來(lái)測(cè)度VaR風(fēng)險(xiǎn)的非線性結(jié)構(gòu)；另一方面，使用POT方法來(lái)解決金融數(shù)據(jù)極端尾部觀測(cè)值有限的問題。QRF+POT方法的基本思想為：首先，通過QRF方法得到正常分位點(diǎn)處的分位數(shù)估計(jì)；其次，通過POT方法將正常分位點(diǎn)處的分位數(shù)轉(zhuǎn)化為極端分位點(diǎn)處的分位數(shù)，進(jìn)而測(cè)度極端VaR風(fēng)險(xiǎn)。本文以上證綜合指數(shù)、上證180指數(shù)、滬深300指數(shù)和深證成份指數(shù)的日收益率數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，使用QRF+POT方法測(cè)度了極端VaR風(fēng)險(xiǎn)，并與QRT+POT方法、許啟發(fā)等[15]提出的QRNN+POT方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明：與QRT+POT和QRNN+POT方法相比，在極端VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方面，QRF+POT方法的表現(xiàn)更優(yōu)，可以有效的描述收益率出現(xiàn)較大跌幅時(shí)的極端風(fēng)險(xiǎn)特征。

二、模型與方法

(一)VaR風(fēng)險(xiǎn)與分位數(shù)回歸

t時(shí)刻的收益率yt可以定義為:

yt=100×(lnpt-lnpt-1),

(1)

其中，pt為第t天的價(jià)格。

收益率yt的相反數(shù)可以視為損失，即Lt=-yt。在置信水平100×(1-τ)%下，VaR可表示為：

VaR1-τ(Lt)=-inf{x|P(yt≤x)≥τ}=-Qyt(τ),

(2)

其中，τ(0<τ<1)為分位點(diǎn)，inf為下確界，P(·)表示概率。由式(2)可知，在給定置信水平下，VaR為收益率yt的τ分位數(shù)的相反數(shù)。對(duì)下述公式進(jìn)行優(yōu)化即可獲得收益率yt的τ分位數(shù)：

作為一種非常古老的海洋動(dòng)物，早在寒武紀(jì)時(shí)期，鱟就已經(jīng)出現(xiàn)在地球上了，而且至今仍保持著“當(dāng)年”的形態(tài)，堪稱海洋世界里的“遠(yuǎn)古遺民”。為什么和它同時(shí)代的動(dòng)物大都滅絕了，唯獨(dú)鱟幸存下來(lái)了呢？

(3)

其中，損失函數(shù)ρτ(u)=u(τ-I(u<0))為分段線性函數(shù)，I(·)為示性函數(shù)。

(二)分位數(shù)回歸森林模型

(4)

假設(shè)生成K顆決策樹構(gòu)建隨機(jī)森林，則對(duì)于每個(gè)樣本xi，隨機(jī)森林的權(quán)重向量為各個(gè)決策樹的平均：

(5)

隨機(jī)森林使用決策樹的平均結(jié)果來(lái)估計(jì)條件均值E(Y|X=x)，即隨機(jī)森林的預(yù)測(cè)值是響應(yīng)變量的加權(quán)平均：

(6)

在展示了隨機(jī)森林如何估計(jì)自變量的條件均值之后，將上述方法推廣到整個(gè)條件分布，得到：

F(y|X=x)=P(yi≤y|X=x)=E(I(yi≤y)|X=x)。

(7)

條件分布的估計(jì)可以看成對(duì)于示性函數(shù)I(yi≤y)的加權(quán)平均。因而給出對(duì)于條件分布的估計(jì)為：

(8)

則τ條件分位數(shù)Qy(τ|X=x)為：

(9)

(三)POT極值方法

(10)

其中，0≤x

當(dāng)μ→yF時(shí)，F(xiàn)u(x)可以近似的表示為廣義的帕累托分布：

(11)

其中，ξ為形狀參數(shù)，σ為尺度參數(shù)。即：

Fμ(x)≈Gξ,σ(x)。

(12)

將式(12)代入式(10)可得：

1-F(x+μ)≈(1-F(μ))(1-Gξ,σ(x))。

(13)

設(shè)Nμ表示超出閾值的觀測(cè)值數(shù)量，n是觀測(cè)值總數(shù)，則(1-F(μ))=Nμ/n。對(duì)于式(13)，令y=x+μ，將式(11)代入式(13)，當(dāng)ξ≠0時(shí)，尾部概率為：

(14)

τ分位數(shù)即為式(14)F(y)=τ的逆函數(shù)

(15)

實(shí)際中，通常需要估計(jì)τ=0.01或τ=0.001的極端分位數(shù)來(lái)測(cè)度在99%或99.9%置信水平下的極端VaR風(fēng)險(xiǎn)。然而，金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的尾部數(shù)據(jù)通常較少，分位數(shù)回歸森林等傳統(tǒng)的估計(jì)方法并不能獲得較好的測(cè)度效果。因此將分位數(shù)回歸森林與POT方法相結(jié)合構(gòu)建QRF+POT方法估計(jì)極端分位點(diǎn)處的分位數(shù)，從而測(cè)度極端VaR風(fēng)險(xiǎn)。QRF+POT方法的具體步驟如下：

步驟1，運(yùn)用QRF方法，估計(jì)正常分位點(diǎn)τ1處的分位數(shù)Qyt(τ1)。

步驟2，Qyt(τ1)根據(jù)計(jì)算分位數(shù)殘差序列并對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：

(16)

步驟3，設(shè)極端分位點(diǎn)τ2(τ2<τ1)處的分位數(shù)為Qyt(τ2)，則：

(17)

由于Qyt(τ1)<0，式(17)中不等式符號(hào)發(fā)生改變。將式(16)代入式(17)可得：

(18)

將式(18)計(jì)算逆函數(shù)可以得到：

(19)

則極端分位數(shù)Qyt(τ2)和正常分位數(shù)Qyt(τ1)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

Qyt(τ2)=Qyt(τ1)×[Qzt(1-τ2)+1]。

(20)

式中Qzt(1-τ2)是將zt中大于0的值代入式(11)計(jì)算形狀參數(shù)ξ和尺度參數(shù)σ，再代入式(15)計(jì)算分位點(diǎn)(1-τ2)的分位數(shù)。

三、實(shí)證研究

(一)數(shù)據(jù)的選取和統(tǒng)計(jì)分析

本文以上證綜合指數(shù)、上證180指數(shù)、滬深300指數(shù)和深證成份指數(shù)的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，時(shí)間跨度從2009年1月5日到2020年12月24日，共計(jì)2913天的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)泰安數(shù)據(jù)庫(kù)。日收益率用式(1)計(jì)算獲得。表1給出了四支股票指數(shù)的日收益率的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表1可以看出，平均收益從高到低依次為滬深300指數(shù)、上證180指數(shù)、深證成份指數(shù)和上證綜合指數(shù)；其標(biāo)準(zhǔn)差從高到低依次為上證綜合指數(shù)、上證180指數(shù)、滬深300指數(shù)和深證成份指數(shù)，平均收益和標(biāo)準(zhǔn)差的表現(xiàn)符合“高風(fēng)險(xiǎn)-高收益”的規(guī)律。四支股票指數(shù)的偏度均小于0且峰度均大于3，尖峰厚尾特征明顯。J-B檢驗(yàn)和LM檢驗(yàn)的p值均為0，表明指數(shù)收益率數(shù)據(jù)均不服從正態(tài)分布，且存在ARCH效應(yīng)，具有異方差性特征。

表1 各股票指數(shù)日收益率的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

本文采用分位數(shù)回歸樹(QRT)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分位數(shù)回歸(QRNN)和分位數(shù)回歸森林3種非參數(shù)分位數(shù)回歸方法測(cè)度VaR風(fēng)險(xiǎn)。為評(píng)價(jià)這3種方法對(duì)VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的效果，首先，將日收益數(shù)據(jù)劃分為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)和樣本外數(shù)據(jù)，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)從2009年1月6日到2015年3月12日，共計(jì)1500天，樣本外數(shù)據(jù)從2015年3月13日到2020年12月24日，共計(jì)1412天；其次，使用樣本內(nèi)數(shù)據(jù)建立模型；最后，分別使用樣本內(nèi)數(shù)據(jù)和樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，比較3種方法的VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度效果。選取上述時(shí)間劃分樣本內(nèi)數(shù)據(jù)和樣本外數(shù)據(jù)的原因在于：2015年6月中國(guó)股市市值暴跌，跌幅達(dá)30%以上。因此，使用樣本外數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)3種方法能否識(shí)別并預(yù)測(cè)出極端金融風(fēng)險(xiǎn)。在測(cè)度VaR風(fēng)險(xiǎn)的過程中，響應(yīng)變量為yt，解釋變量為滯后五天的收益率yt-1，yt-2,yt-3,yt-4,yt-5,主要考慮到滯后期的收益率對(duì)當(dāng)期收益率的影響。

(二)正常VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

給定置信水平測(cè)度正常VaR風(fēng)險(xiǎn)，即估計(jì)時(shí)收益率分位數(shù)的相反數(shù)。為比較3種方法測(cè)度VaR風(fēng)險(xiǎn)的效果，對(duì)VaR進(jìn)行返回測(cè)試，主要方法為模型失敗率、似然比檢驗(yàn)法[17]和有條件覆蓋檢驗(yàn)法[18]，分別用符號(hào)F、P1和P2表示，結(jié)果如表2所示。

由表2可知，第一，在樣本內(nèi)和樣本外中，3種方法都獲得了較好的結(jié)果，表現(xiàn)為失敗率都接近理論水平，且檢驗(yàn)的P值都較大。這表明3種方法都是有效的。第二，與樣本外的結(jié)果相比，樣本內(nèi)的失敗率更接近理論水平，且檢驗(yàn)的P值更大，這表明樣本內(nèi)的結(jié)果都優(yōu)于樣本外。第三，無(wú)論在樣本內(nèi)還是樣本外，在大多數(shù)股票指數(shù)中，QRF方法VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的失敗率更接近理論水平，且檢驗(yàn)的P值均高于QRT和QRNN方法，這表明QRF方法這一集成模型比其他兩個(gè)單一模型具有更好的預(yù)測(cè)能力。

表2 95%置信水平下VaR返回測(cè)試結(jié)果

(三)極端VAR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

1.基于QRF模型的測(cè)度

給定置信水平1-τ=99%或1-τ=99.9%測(cè)度極端VaR風(fēng)險(xiǎn)，即計(jì)算τ=1%或τ=0.1%時(shí)收益率分位數(shù)的相反數(shù)。極端VaR返回測(cè)試的結(jié)果如表3所示(置信水平為99.9%的結(jié)果與99%的結(jié)果類似，因此文中只報(bào)告了置信水平為99%的結(jié)果)。由表3可知，第一，樣本內(nèi)的測(cè)度結(jié)果顯示，QRT、QRNN和QRF方法在VaR的測(cè)度上都取得了較好的效果，失敗率較為接近理論水平。第二，樣本外的測(cè)度結(jié)果顯示，各種方法的失敗率都遠(yuǎn)大于理論值，且檢驗(yàn)的P值都較小，這表明當(dāng)發(fā)生股市市值暴跌的極端事件時(shí)，較少的極端尾部數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致各種方法預(yù)測(cè)能力顯著下降，難以精確測(cè)度極端VaR風(fēng)險(xiǎn)。

表3 99%置信水平下極端VaR返回測(cè)試結(jié)果

2.基于QRF+POT方法的測(cè)度

表3的結(jié)果表明在極端風(fēng)險(xiǎn)突發(fā)的時(shí)期內(nèi)，無(wú)論是集成模型還是單一模型都不能準(zhǔn)確測(cè)度極端VaR風(fēng)險(xiǎn)。本節(jié)采用QRF+POT方法測(cè)度99%或99.9%置信水平下極端VaR風(fēng)險(xiǎn)，并與QRT+POT和QRNN+POT方法進(jìn)行對(duì)比。表4和表5分別報(bào)告了基于POT方法的99%和99.9%置信水平下極端VaR風(fēng)險(xiǎn)的返回測(cè)試結(jié)果。由表4和表5可以看出，第一，在樣本內(nèi)和樣本外，失敗率都在理論水平的左右，且檢驗(yàn)的P值都較大，這表明在極端VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方面，結(jié)合POT方法的非參數(shù)分位數(shù)回歸方法都優(yōu)于單一的非參數(shù)分位數(shù)回歸方法，也即結(jié)合POT方法處理極端尾部數(shù)據(jù)的能力有助于提高各種非參數(shù)分位數(shù)回歸方法測(cè)度極端風(fēng)險(xiǎn)的精度。第二，與QRT+POT和QRNN+POT方法相比，QRF+POT方法的失敗率更接近理論水平，且檢驗(yàn)的P值更大，這表明QRF+POT方法在極端金融風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度上優(yōu)于QRT+POT和QRNN+POT方法。

表4 基于POT方法的99%置信水平下極端VaR返回測(cè)試結(jié)果

表5 基于POT方法的99.9%置信水平下極端VaR返回測(cè)試結(jié)果果

四、結(jié)論與啟示

本文結(jié)合分位數(shù)回歸森林和極值理論兩個(gè)方面的優(yōu)勢(shì)，提出了測(cè)度極端VaR風(fēng)險(xiǎn)的新方法：QRF+POT。以上證綜合指數(shù)等四支股票指數(shù)為研究對(duì)象，實(shí)證比較了QRF、QRF+POT與其他方法在樣本內(nèi)和樣本外數(shù)據(jù)中的VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度效果，結(jié)果表明：第一，在正常VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中，不管是單一模型的分位數(shù)回歸方法還是集成模型的分位數(shù)回歸森林都能較為準(zhǔn)確的測(cè)度VaR風(fēng)險(xiǎn)，不過在樣本內(nèi)和樣本外的結(jié)果中，分位數(shù)回歸森林模型表現(xiàn)都優(yōu)于單一模型的分位數(shù)回歸方法。第二，在極端VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度中，無(wú)論是單一模型的分位數(shù)回歸方法還是集成模型的分位數(shù)回歸森林在樣本外都表現(xiàn)不佳，不能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確測(cè)度。第三，在樣本內(nèi)和樣本外，QRF+POT方法都能顯著提高極端VaR風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的精度，且優(yōu)于QRT+POT和QRNN+POT方法。

未來(lái)的研究中，一是考慮選取其他的極值理論方法，如EVT方法與分位數(shù)回歸森林相結(jié)合測(cè)度極端VaR風(fēng)險(xiǎn)；二是將隨機(jī)森林推廣到expectile回歸的框架下，構(gòu)建expectile回歸森林，用于ES風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度。