二次型價值函數的X-Y精密運動平臺預測輪廓控制

王志強，張秀云

（1.天津職業技術師范大學汽車與交通學院，天津 300222；2.天津職業技術師范大學信息傳感與智能控制重點實驗室，天津 300222）

X-Y精密運動平臺作為數控機床復雜加工工藝和高精密制造的基礎，具有較大研究前景。各軸動態特性、運動慣性以及響應不及時等問題，極易引起高進給速度X-Y精密運動系統實際進給運動位置與理想曲線輪廓間產生較大誤差[1-2]。

傳統輪廓控制方法中單軸解耦輪廓控制可以看作是結合前饋和反饋的復合控制方法，文獻[3-4]分別提出零相位誤差跟蹤控制方法和摩擦力補償前饋控制方法，這2種方法的缺點在于對建模誤差和非建模擾動2類干擾很敏感，而且未對多軸之間的協調運動進行考量。為實現輪廓誤差的閉環控制，文獻[5-6]分別提出變增益交叉耦合輪廓控制和迭代學習交叉耦合輪廓控制。然而，這2種方法的缺點在于不適用于其他更精確的輪廓誤差估計方法，而且以上輪廓誤差控制方案屬于后補償算法，存在固有的滯后性，在高速、高精度數控領域不易滿足不斷發展的加工需求。

相比傳統輪廓控制方法，模型預測輪廓控制在多軸運動系統這種多輸入多輸出系統中更顯現出明顯的優勢：不僅能夠實現輪廓誤差的直接預測控制，還能實現多目標優化控制[7]。借鑒預測控制思想，文獻[8]提出模型預測輪廓誤差預補償策略，通過模型預測控制算法計算補償信號，并添加到原始參考位置作為新的系統輸入。文獻[9]提出預測輪廓誤差估計模型與在線迭代預補償控制相結合的輪廓控制策略，通過在線迭代計算生成最優的輪廓誤差補償，以上方法均屬于預補償控制。文獻[10]提出將內模原理和分層最優控制相結合的輪廓控制方法。文獻[11-12]分別提出基于離散時間模型和線性時變模型的預測輪廓控制。文獻[13]將預測輪廓控制應用于自動挖掘機系統的軌跡跟蹤中，并將價值函數最小化為凸優化問題。文獻[14]將廣義預測控制應用于翼型系統跟蹤設定軌跡中。文獻[15]提出非線性預測輪廓控制在局部運動規劃中的應用。文獻[16]提出一種穩定化增量模型預測控制算法，設計具有可測擾動前饋-時滯狀態反饋結構的模型預測控制器。文獻[17]提出多軸運動系統有限控制集模型預測輪廓控制方法，將輪廓誤差、跟蹤誤差、電機運行性能和電流幅值限制統一到一個價值函數中。以上方法的價值函數中都包含輪廓誤差、跟蹤誤差等多個變量，必須考慮至少2個權重系數，而目前的整定方法僅局限于經驗法或試湊法，存在依賴人工經驗和耗時較長的問題。

為解決此問題，本文提出一種基于二次型價值函數的X-Y運動平臺預測輪廓控制策略，建立X-Y運動平臺的統一數學建模；設計基于二次型價值函數的FCS-MPC控制器，同時為了實現權重系數矩陣的自整定，采用基于Lyapunov穩定性分析的離線求解算法，并將得到的權重系數矩陣應用于有限控制集預測輪廓控制器的在線滾動優化過程，進行價值函數尋優。

1 X-Y運動平臺數學建模

本文所選X-Y運動平臺由表貼式PMSM驅動，運動機構、PMSM和兩電平電壓源逆變器數學模型參考文獻[18]，同時為實現X-Y運動平臺統一建模，機械機構與PMSM關系為

式中：fi、ri、τi、pi、θi分別為驅動力、滾珠絲杠螺距、驅動轉矩、滑塊實際位置、轉子機械角度。

因此，等效動態模型為

式中：Jeqi=Ji+Miri2/4π2；Beqi=Bi+Ciri2/4π2。

輪廓誤差采用切線和圓形近似的方法，如圖1所示。

圖1 輪廓誤差模型圖

輪廓誤差的計算公式[18]為

通過式（3）可近似求得輪廓誤差的變化率為

速度期望值修正方法如圖2所示。

圖2 速度期望值修正方法

速度期望修正值計算方法為

式中：λθ為比例系數；ωi*和pi*分別為速度和位置的參考值。

因此，預測模型可表示為

式中：x（k+1）=[ωx（k+1）ωy（k+1）idx（k+1）iqx（k+1）·idy（k+1）iqy（k+1）ε（k+1）]T；u（k）=[udx（k）uqx（k）·ud（yk）uq（yk）]T；v（k）=[TL（xk）TL（yk）ω*eq（xk）ω*eq（yk）]T；

Ai=1-TsmiBeqi/Jeqi；Bi=KtiTsmi/Jeqi；Ci=1-TsiRsi/Lsi；Di=-Tsipiωi（k）；Ei=-Tsipiφfi/Lsi；Fi=TsmiriLi/2π；Mi=-Tsmi/Jeqi；Ni=Tsi/Lsi；本文中Tsi為電流采樣周期；Tsmi為轉速采樣周期且Tsmi=10Tsi。

2 預測輪廓控制策略

2.1 價值函數的定義

現有方法通常定義價值函數為

價值函數包含4項：a為λεε2（k+1）—輪廓誤差項，為了保證輪廓跟蹤性能；b為λe（ω*eq（k+1）-ω（k+1））T（ω*eq（k+1）-ω（k+1））—跟蹤誤差項，為了保證速度的跟蹤性能；c為λdidT（k+1）id（k+1）—id=0項，為了保證電流的跟蹤性能；d為λq（iq*（k+1）-iq（k+1））T（iq*（k+1）-iq（k+1））—q軸電流跟蹤誤差項，以確保轉矩的光滑性。

由式（7）可以看出，價值函數中需要同時整定4個權重系數λε、λe、λd、λq，整定過程依賴于人為主觀經驗，且隨數量級的增大，整定次數會隨之增加，算法的復雜度也會隨之增加。但盡管如此，得到的也只是權重系數的大致取值范圍，為解決此問題，本文重構二次型價值函數為

式中：權重系數矩陣W為7階正定對稱矩陣，E（k+1）=[ω*eqx-ω（xk+1）ω*eqy-ω（yk+1）idx*-id（xk+1）iqx*-iqx（k+1）idy*-idy（k+1）iqy*-iqy（k+1）ε（k+1）]T為7×1的誤差矩陣，輪廓誤差的參考值為0。

采用這樣的重構方法，能夠實現將權重系數的整定問題轉換成求解J（k）中W的問題，根據現代控制理論中Lyapunov穩定性的知識，若W正定，那么就能夠保證J（k）正定且單調遞減，從而保證E趨于0。

2.2 二次型價值函數的求解

當系統進入穩態后，有x（k+1）=x（k）=x*，則穩態模型為

將式（9）減去式（6），可得

那么

J（k）滿足Lyapunov函數形式，且J（k）＜J（k-1），即

將式（12）寫為

將式（13）左右兩邊同時乘以V（=W-1），有

式（14）可等效為以下線性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）形式

由于式（15）的解不是唯一的，因此需要定義一個最優解為

式中：f（V）為由V決定的函數，本文選取f（V）=SVST，S=[0 0 0 0 0 0 1]，即滿足輪廓誤差在價值函數評估備選矢量過程中能夠施加最大的影響。

同時，W還需要滿足以下2個約束條件：

（1）由于相對電氣動態性能來說，機械動態性能慢一個數量級，那么相對電流跟蹤誤差的權重系數來說，速度跟蹤誤差和輪廓誤差的權重系數就需要一個較高的值，因此需增加一個約束條件，即

式中：λ1、λ2、λ3、λ4、λ5、λ6、λ7分別為E（k+1）權重系數矩陣中ωx*-ωx（k+1）、ωy*-ωy（k+1）、idx*-idx（k+1）、iqx*-iqx（k+1）、idy*-idy（k+1）、iqy*-iqy（k+1）、ε（k+1）項對應的權重系數；K為比例系數，通過試湊法獲得。

（2）為實現輪廓誤差在價值函數評估備選矢量過程中施加盡可能大的影響，相對于跟蹤誤差，輪廓誤差的權重系數應盡可能大，因此需增加另一個約束條件，即

在雙軸運動控制系統中，權重系數通過Matlab中LMI優化方法離線求得，然后再將其應用于算法的在線滾動優化過程。

2.3 穩定性分析

定理 考慮到離散時間系統（6）和恒定參考狀態x*及其相對應的穩態控制輸入u*滿足式（9）。通過使用控制輸入u（k）使式（8）的價值函數J（k）最小化，以保證隨著k增大到無窮大，誤差E（k）變為0，假設加權矩陣W是通過式（16）選擇的[17]。

證明由式（11）至式（16）的論據可以證明，通過使用u能夠保證J（k）＜J（k-1），之后很容易得出通過使用最優的控制輸入u（k），能夠保證J（k）最小且J（k）＜J（k-1），因此在每個時間步長使用最優控制輸入即可得出

2.4 時間延遲補償和備選矢量的確定

實際應用中，由于計算時間和調制機制會導致時間延遲，可能會降低性能，因此需要對此進行補償。由式（6）可將預測矢量x（k+2）設為

價值函數修改為

根據最小化價值函數J（k）的原則，從8×8個電壓矢量中選取最優電壓矢量Vopt作用于逆變器。

為降低在線計算量，應當減少單臺逆變器的備選電壓矢量個數，備選電壓矢量選擇方法參考文獻[18]，這樣可將備選電壓矢量個數降低為4×4，能夠提高算法的實用性。

3 控制系統整體結構

現有提高輪廓加工精度的預測控制策略均需要進行權重系數整定，大多是采用經驗法或試湊法，既增加了控制難度，又耗費了大量的時間在反復試驗上。

針對此問題，本文結合模型預測輪廓控制在多軸運動系統這種多輸入多輸出系統中顯現出的明顯優勢，設計統一的整體控制架構，同時控制兩運動軸，然后為了實現權重系數矩陣的自整定，采用基于Lyapunov穩定性分析的離線求解算法，并將得到的權重系數矩陣應用于有限控制集預測輪廓控制器的在線滾動優化過程，進行價值函數尋優。同時，通過參考電壓矢量位置角確定每扇區對應的備選電壓矢量，增加擴展卡爾曼濾波（EKF）觀測器避免角度測量中的量化噪聲的影響[18]，并增加電流限制模塊（CL）[19]。X-Y運動平臺預測輪廓控制結構框圖如圖3所示。

圖3 X-Y運動平臺預測輪廓控制結構框圖

4 仿真研究

為驗證所提出的X-Y運動平臺預測輪廓控制策略的控制效果，通過Matlab軟件進行Simulink仿真。當系統輸入信號為折線運動軌跡時，并在0.1 s突加1 Nm負載，此時傳統控制策略和所提基于二次型價值函數的預測輪廓控制策略下對應的動、穩態性能對比圖如圖4所示。

圖4 跟蹤折線軌跡時傳統策略和改進策略下的動態性能和穩態性能對比波形圖

從圖4可以看出，采用2種控制策略時，穩態性能均能滿足要求，而且針對軌跡轉折點處的最大輪廓誤差，改進策略比傳統策略時要小。表1為采用傳統控制策略和所提基于二次型價值函數的預測輪廓控制策略的綜合對比。

表1 傳統控制策略與改進控制策略的綜合對比

由表1可知，改進控制策略下無需權重系數整定，且能夠保證各誤差項的收斂性，極大簡化了算法復雜度。

當系統輸入信號為圓弧運動軌跡時，并在0.1 s突加1 Nm負載。改進控制策略下，動、穩態性能圖如圖5所示。

圖5 跟蹤圓弧軌跡時的波形圖

從圖5可以看出，x、y軸的跟蹤效果較好，說明所提出的改進預測輪廓控制策略除了能夠跟蹤直線運動軌跡外，還能夠跟蹤圓弧運動軌跡。

5 結論

本文提出的改進控制策略具有以下優點：

（1）通過采用有限控制集模型預測控制，能夠使系統輪廓跟蹤精度得以提高。

（2）通過基于Lyapunov穩定性分析的離線求解算法，不僅能實現權重系數矩陣的自整定，保證各誤差項的收斂性，而且能夠減少權重系數整定所耗費的時間，避免依賴主觀因素的影響，減小控制難度。

（3）通過設計二次型價值函數，用矩陣求解問題代替原來的多個權重系數整定問題，同時此方法易于拓展到多臺電機的協同控制應用中。