基于神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)的分數(shù)階Chameleon系統(tǒng)同步研究

陳嘉樂，趙小山

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

分數(shù)階微積分理論起源可以追溯到三個多世紀(jì)以前，由于當(dāng)時計算效率低下，導(dǎo)致其在很長一段時間內(nèi)只停留在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，沒有得到人們的重視。隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展與完善，人們發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分方程能夠更加精確地對實際物理系統(tǒng)建模，有助于準(zhǔn)確模擬各種系統(tǒng)的動力學(xué)特性，這使得分數(shù)階混沌系統(tǒng)備受關(guān)注。現(xiàn)今，人們已經(jīng)對混沌同步問題進行了廣泛的研究，研究人員提出了許多控制方法，如自適應(yīng)控制[1]、滑模控制（SMC）[2]、有限時間控制[3]等。

Chameleon系統(tǒng)于2017年被提出[4]，其具有一個非常有趣的性質(zhì)：根據(jù)系統(tǒng)中參數(shù)的取值，該系統(tǒng)可以沒有平衡點，也可以有一系列的平衡點，或者只有1個穩(wěn)定的平衡點。正是由于該性質(zhì)讓其擁有了Chameleon的名字，也引起了很多研究人員的關(guān)注與研究[5-6]，但現(xiàn)階段關(guān)于分數(shù)階Chameleon系統(tǒng)的研究還很少[7]。

由于模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)均具有良好的逼近能力，它們作為智能控制領(lǐng)域的代表，被推廣并應(yīng)用于分數(shù)階混沌系統(tǒng)的各類控制問題[8-9]。采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的框架實現(xiàn)對模糊系統(tǒng)的設(shè)計，結(jié)合二者各自的優(yōu)點，神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)（neural fuzzy network，NFN）成為一種強有力的控制方法。另一種有效的控制技術(shù)是SMC，其也被推廣到分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計中[10-11]。與整數(shù)階SMC相比，分數(shù)階SMC具有跟蹤速度快、魯棒性強等優(yōu)勢。綜合上述原因，本文研究了基于NFN和SMC的分數(shù)階超混沌Chameleon系統(tǒng)的同步問題。選取了分數(shù)階滑模函數(shù)，設(shè)計了控制器和參數(shù)自適應(yīng)律，得到了分數(shù)階超混沌Chameleon系統(tǒng)同步的充分條件。最后通過數(shù)值模擬驗證了控制效果的穩(wěn)定性和收斂性。

1 預(yù)備知識

定義1Caputo分數(shù)階微積分定義

式中：0＜α＜1；t0為初始時刻；Dαf（t）=Ct0Dtαf（t），以下使用的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)均為Caputo定義下的導(dǎo)數(shù)。

性質(zhì)1分數(shù)階微分滿足

引理1[12]假設(shè)x（t）∈R是連續(xù)可微函數(shù)，P∈Rn×n是一個正定矩陣，那么對于α∈（0，1），滿足不等式

特別地，當(dāng)x（t）∈R是一個連續(xù)可微函數(shù)時，可以得到

引理2[13]假設(shè)x（t）=0是非自治分數(shù)階系統(tǒng)Dαx（t）=F（x，t）的平衡點，并且存在1個連續(xù)的李雅普諾夫函數(shù)V（x（t），t）和K類函數(shù)χr（·）（r=1，2，3），對?x≠0，α∈（0，1），使得下列不等式成立

那么，上述分數(shù)階系統(tǒng)在原點是漸近穩(wěn)定的。

2 分數(shù)階超混沌Chameleon系統(tǒng)

Chameleon系統(tǒng)用四維分數(shù)階微分方程描述為

式中：x1、x2、x3、x4為系統(tǒng)狀態(tài)變量；a、b為2個常數(shù)參數(shù)，通過調(diào)整參數(shù)的值，可以改變系統(tǒng)的動力學(xué)行為。

（i）當(dāng)a=b=0時，系統(tǒng)有1條平衡線。

（ii）當(dāng)a＞b=0時，系統(tǒng)只有1個平衡點。

（iii）當(dāng)a＜b=0時，系統(tǒng)只有1個平衡點。

（iv）當(dāng)a=0≠b時，系統(tǒng)沒有平衡點。

選擇a=b=0，α=0.98時，分數(shù)階超混沌Chameleon系統(tǒng)的相軌跡如圖1所示。

圖1 分數(shù)階超混沌Chameleon系統(tǒng)的相軌跡

假設(shè)式（6）為驅(qū)動系統(tǒng)，則相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

式中：yi為系統(tǒng)狀態(tài)變量；Δfi（yi）為不確定項；di為外界干擾；ui為待設(shè)計的控制器。

同步誤差定義為ei=yi-xi，得到誤差系統(tǒng)為

上下文中出現(xiàn)的所有i=1，2，3，4。

3 自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)滑模同步

3.1 滑模控制器

分數(shù)階滑模面構(gòu)造為

式中：ki1和ki2為已知的正常數(shù)；2/3＜q＜1。

根據(jù)分數(shù)階SMC理論，當(dāng)狀態(tài)軌跡在滑動模式下運行時，必須滿足條件s（t）=0和Dαs（t）=0。得到

結(jié)合誤差系統(tǒng)（8）和式（10），可得理想中的等效控制器為

由于有關(guān)模型不確定性和外界干擾的信息部分未知或完全未知，故無法實現(xiàn)理想的控制器。因此，采用NFN來估計模型不確定性。

3.2 神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)

近年來，NFN成功應(yīng)用在信息處理和控制應(yīng)用等許多領(lǐng)域中[14-15]，該網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隸屬函數(shù)層、規(guī)則層、歸一化層和輸出層5層結(jié)構(gòu)組成[16]，神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

未知光滑非線性函數(shù)可以用NFN的萬能逼近定理近似如下[16]

式中：δ為近似誤差；W*為參數(shù)W的最佳值。

由于實際中無法獲得最優(yōu)NFN，因此使用NFN估計器來估計最優(yōu)NFN。NFN估計器定義為

假設(shè)1近似誤差δ和外界干擾d滿足以下條件

式中：λi1、λi2為未知的正參數(shù)。

然后，基于NFN的魯棒控制器可以構(gòu)造為

自適應(yīng)參數(shù)更新律可以構(gòu)造為

式中：系數(shù)k、ρ、μ皆為已知的正常數(shù)。

3.3 穩(wěn)定性分析

定理1考慮具有不確定性和外界干擾的分數(shù)階Chameleon系統(tǒng)，誤差系統(tǒng)如式（8）所示。滑模面、控制器和參數(shù)更新律分別設(shè)計為如系統(tǒng)（9）、（16）、（17）所示。則系統(tǒng)（6）和（7）取得自適應(yīng)神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)滑模（ANFNSMC）同步。

證明將式（12）與（16）代入誤差系統(tǒng)（8）得

選取以下Lyapunov函數(shù)

根據(jù)引理1對V（t）進行分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，可以得到

將等式（10）、控制器（16）和參數(shù)更新律（17）代入式（20）可得

將式（18）代入得

因此，根據(jù)引理2，誤差系統(tǒng)（8）的系統(tǒng)狀態(tài)收斂于滑模面。這表明誤差系統(tǒng)（8）可以被系統(tǒng)（16）中提出的控制器穩(wěn)定，進而使得驅(qū)動系統(tǒng)（6）與響應(yīng)系統(tǒng)（7）同步。

4 數(shù)值仿真

為了說明ANFNSMC對分數(shù)階Chameleon系統(tǒng)同步的有效性，通過Matlab數(shù)值模擬仿真，檢驗控制器（16）的控制效果。

令系統(tǒng)的初始狀態(tài)（x1（0），x2（0），x3（0），x4（0））=（0.3，0.5，0.5，0.2），（y1（0），y2（0），y3（0），y4（0））=（-0.2，0.4，0.3，0.5），并選擇參數(shù)（k11，k12，k13）=（3，5，2），（k21，k22，k23）=（3，5，3），（k31，k32，k33）=（3，5，5），（k41，k42，k43）=（3，5，4），μi1=0.1，μi2=0.2。不確定項和外界干擾項選為

并且對于NFN的每個輸入變量，使用高斯隸屬函數(shù)exp（-（x-ml）2/2nl2），l=（1，2，3，4，5），定義5個模糊規(guī)則。輸入隸屬函數(shù)如圖3所示。

圖3 輸入隸屬函數(shù)

所設(shè)計的控制器對分數(shù)階Chameleon系統(tǒng)的同步控制結(jié)果如圖4和圖5所示。其中，狀態(tài)變量同步時間歷程如圖4所示，圖4顯示了隨著時間的推移，4對變量的同步狀態(tài)。誤差系統(tǒng)時間歷程如圖5所示，圖5顯示了隨著時間的推移，誤差向量快速收斂為0的情況。所有的仿真結(jié)果都表明了ANFNSMC在分數(shù)階Chameleon系統(tǒng)同步中的有效性。

圖4 狀態(tài)變量同步時間歷程

圖5 誤差系統(tǒng)時間歷程

5 結(jié)語

本文根據(jù)ANFNSMC方法研究了具有不確定性和外部干擾的分數(shù)階超混沌Chameleon系統(tǒng)的同步問題。介紹了分數(shù)階超混沌Chameleon系統(tǒng)的動力學(xué)特性，給出同步誤差系統(tǒng)。設(shè)計出相應(yīng)的控制器與參數(shù)更新律，得到分數(shù)階超混沌Chameleon系統(tǒng)ANFNSMC同步的充分條件。通過數(shù)值仿真得到同步誤差系統(tǒng)在有限時間內(nèi)接近0，驗證了結(jié)論的可行性及控制器的收斂性與魯棒性。