具有時(shí)滯的離散多智能體系統(tǒng)分組一致性研究

馬洋洋，李偉勛，杜向陽(yáng)，肖靜宇

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，伴隨著人工智能與通信技術(shù)的快速發(fā)展，多智能體系統(tǒng)因在一些新型領(lǐng)域，如智能交通、傳感器網(wǎng)絡(luò)、無(wú)人機(jī)、計(jì)算機(jī)互聯(lián)網(wǎng)、機(jī)器人等的潛在應(yīng)用而受到控制領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注與研究。一致性問(wèn)題作為多智能體系統(tǒng)分布式協(xié)同控制中的基本問(wèn)題，在各領(lǐng)域研究已較為成熟。為更好地滿足工程實(shí)踐的需求，數(shù)字控制系統(tǒng)的研究發(fā)展越來(lái)越深入，而離散系統(tǒng)理論作為數(shù)字控制系統(tǒng)的基本理論，也正在被越來(lái)越多的科研工作者所討論研究。

研究者們對(duì)離散多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題進(jìn)行了深度研究，如Vicsek等[1]設(shè)計(jì)了一種具有動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的粒子運(yùn)動(dòng)模型，并在較高群體密度且噪音較大的情況下，證明了所設(shè)計(jì)的動(dòng)力模型可以使所有粒子的運(yùn)動(dòng)方向達(dá)到一致。Olfati-Saber等[2]系統(tǒng)地構(gòu)建了多智能體系統(tǒng)的理論框架，并提出了離散時(shí)間一階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型。Tian等[3]在基于頻域分析的基礎(chǔ)上，通過(guò)結(jié)合應(yīng)用Greshgorin圓盤(pán)定理得到了離散時(shí)間一階多智能體系統(tǒng)在具有輸入時(shí)延和通信時(shí)延的情況下，達(dá)到漸近一致的充分條件。對(duì)于二階離散多智能體系統(tǒng)，Ren[4]基于有向固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，對(duì)二階離散多智能體系統(tǒng)進(jìn)行了分析研究，證明了二階線性多智能體系統(tǒng)在離散時(shí)間下，達(dá)到同步時(shí)可以趨于一個(gè)周期函數(shù)。Zhang等[5]證明了對(duì)于具有固定交換拓?fù)浜碗S機(jī)交換拓?fù)涞碾x散時(shí)間多智能體系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)固定交換拓?fù)涞膱D或交換拓?fù)涞膱D存在有向生成樹(shù)時(shí)，總存在縮放參數(shù)滿足一致條件。Xie等[6]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步解決了縮放標(biāo)度參數(shù)的選擇問(wèn)題。

在具體的實(shí)際生活應(yīng)用中，多個(gè)智能體的狀態(tài)常常會(huì)分組趨于不相同的狀態(tài)值。在文獻(xiàn)[7]中Yu等首次在論文中探討了在無(wú)向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中一階多智能體系統(tǒng)的組一致性問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]和[9]研究了在有向固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下二階多智能體的分組一致性問(wèn)題，并且就離散時(shí)間情況下，固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的二階多智能體分組一致性問(wèn)題，提出了分組多智能體的一致性與選擇控制參數(shù)和采樣周期的關(guān)系。文獻(xiàn)[10]研究了有向固定拓?fù)湎露A連續(xù)時(shí)間多智能體系統(tǒng)的2組一致跟蹤問(wèn)題，并將其結(jié)果推廣到多組的情況中，也得到多組一致成立的條件。Huang等[11]在基于有向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，研究了具有間歇通信的二階非線性多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨一致性問(wèn)題，給出了多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性追蹤的充分條件。以上文獻(xiàn)研究的內(nèi)容均有關(guān)多智能體系統(tǒng)能否達(dá)到一致性，并沒(méi)有討論多智能體系統(tǒng)的收斂速率，因此越來(lái)越多的研究者開(kāi)始將指數(shù)一致性作為衡量系統(tǒng)收斂速度的重要指標(biāo)。在文獻(xiàn)[12]中討論了連續(xù)時(shí)間多智能體系統(tǒng)的指數(shù)一致性問(wèn)題，文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步證明了連續(xù)時(shí)間多智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)-跟隨指數(shù)一致性問(wèn)題。Yang等[14]在系統(tǒng)是恒定耦合時(shí)延的情況下，研究了根據(jù)ADT信號(hào)進(jìn)行切換的拓?fù)湎律窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的局部指數(shù)同步，但實(shí)際應(yīng)用中具有較大的局限性。文獻(xiàn)[15]利用2類(lèi)時(shí)滯指數(shù)矩陣和迭代學(xué)習(xí)控制技術(shù)，研究了純時(shí)滯二階多智能體系統(tǒng)的一致性跟蹤問(wèn)題。Liang等[16]考慮了具有間歇通訊的時(shí)變時(shí)延一階離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨指數(shù)一致性。實(shí)際上，在一些復(fù)雜的實(shí)際系統(tǒng)中，多智能體系統(tǒng)本身可能還會(huì)存在通信時(shí)間上的延遲。

通過(guò)對(duì)上述文獻(xiàn)的分析，本文考慮了具有常時(shí)滯的二階離散時(shí)間多智能體分組系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨指數(shù)一致性問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種新的具有領(lǐng)導(dǎo)者的離散分組控制協(xié)議，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法，給出了在有向固定拓?fù)湎卤ＷC離散時(shí)間二階多智能體系統(tǒng)分組達(dá)到指數(shù)一致的充分條件。通過(guò)Matlab仿真實(shí)例驗(yàn)證所提出的控制協(xié)議的有效性。

1 問(wèn)題描述與預(yù)備知識(shí)

1.1 圖論知識(shí)

設(shè)圖G={V，E，A}是一個(gè)有向加權(quán)圖，V={v1，v2，…，vn+m，}是將n+m個(gè)智能體看作n+m個(gè)點(diǎn)后的集合，E?V×V是邊的集合，其中，eij=（vi，vj）∈E表示智能體i能從智能體j處獲取信息。在有向圖里，如果節(jié)點(diǎn)vi到節(jié)點(diǎn)vj存在1條有向路徑，則可以表示為（vi，vi1），（vi2，vi3），…，（vir，vj）。其中，vir∈V。如果在有向圖中，只有1個(gè)節(jié)點(diǎn)能通向其他節(jié)點(diǎn)的有向路徑，而并沒(méi)有任何其他節(jié)點(diǎn)指向該節(jié)點(diǎn)的有向路徑，那么此節(jié)點(diǎn)叫做根節(jié)點(diǎn)；如果除了根節(jié)點(diǎn)以外，其他所有節(jié)點(diǎn)有且僅有1個(gè)父節(jié)點(diǎn)，那么稱(chēng)此有向圖為有向樹(shù)；有向生成樹(shù)就是由連接該圖所有節(jié)點(diǎn)的有向邊組成的有向樹(shù)。如果1個(gè)有向圖具有向生成樹(shù)，那么其等價(jià)條件為存在1個(gè)節(jié)點(diǎn)具有能夠通往其他所有節(jié)點(diǎn)的有向路徑。A=[aij]∈R(n+m)×(n+m)是圖G的鄰接矩陣，其中aij為智能體i與智能體j之間的連接權(quán)重，當(dāng)i=j時(shí)，aij=0。Ni={vj∈V:（vi，vj）∈E}為智能體i的鄰居集。拓?fù)鋱DG的拉普拉斯矩陣L=[lij](n+m)×(n+m)，其中，當(dāng)i=j時(shí)當(dāng)i≠j時(shí)，lij=-aij。和分別為點(diǎn)i的入度和出度是相應(yīng)的度矩陣，則拉普拉斯矩陣滿足L=D-A。

1.2 模型構(gòu)建

在本文中，考慮n+m個(gè)跟隨者和2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)。首先將n+m+2個(gè)智能體分為2個(gè)子組，第1個(gè)子組G1為前n個(gè)跟隨者（V1={v1，…，vn}）和1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者1，第2個(gè)子組G2為后m個(gè)跟隨者（V2={vn+1，…，vn+m}）和1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者2，記S1={1，2，…，n}，S2={n+1，n+2，…，n+m}。令N1i={vj∈V1:（vi，vj）∈E}，N2i={vj∈V2:（vi，vj）∈E}，則Ni=N1i∪N2i。

考慮的二階離散多智能體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)描述如下，其中跟隨者和領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分別為

式中：xi∈Rn、vi∈Rn、ui∈Rn分別為第i個(gè)智能體的位置向量、速度向量和控制輸入；∈Rn、∈Rn則分別為領(lǐng)導(dǎo)者的位置向量和速度向量。本文只考慮智能體在一維空間的情況，多維空間的情況可以通過(guò)使用克羅內(nèi)積得到相應(yīng)的結(jié)果。

受文獻(xiàn)[10]中的控制協(xié)議的啟發(fā)，并且基于領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了如下的控制協(xié)議

式中：增益系數(shù)α＞0，β＞0；?i，j∈S1，aij≥0；?i，j∈S2，aij≥0，?（i，j）∈E0={（i，j）：i∈S1，j∈S2}∪{（i，j）：i∈S2，j∈S1}，aij∈R。

假設(shè)τ是一個(gè)整數(shù)時(shí)滯且滿足τ＞0。如果智能體i可以從領(lǐng)導(dǎo)者處獲得信息，則bi＞0，否則bi=0。

注1本文中2個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者之間不存在任何的信息交流，且每個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者只能與本組的跟隨者之間傳遞信息。

注2在信息交流中只有跟隨者之間的信息傳遞存在時(shí)滯，跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間的信息交流不存在時(shí)滯。該協(xié)議使各個(gè)智能體能與領(lǐng)導(dǎo)者之間的信息互相交流，且比智能體間不具有時(shí)滯通信情況下的協(xié)議更具普遍性，更貼近現(xiàn)實(shí)生活中的情況。

為定理的證明，本文給出以下的假設(shè)與引理。

假設(shè)1本文所研究的有向拓?fù)鋱D是包含有向生成樹(shù)的連通拓?fù)鋱D，并且生成樹(shù)的根節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)導(dǎo)者。

引理1[15]（Schur補(bǔ)）對(duì)于任意給定的矩陣

則有

引理2[15]對(duì)于任意的實(shí)向量x∈Rn和y∈Rn正定矩陣P∈Rn×n，都有下列不等式成立

將領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的位置狀態(tài)向量與速度狀態(tài)向量分別做誤差得到如下的誤差系統(tǒng)。

基于假設(shè)的條件下，根據(jù)控制協(xié)議（3）將系統(tǒng)（1）和（2）寫(xiě)成如下的誤差矩陣形式

式中：L1、L2分別為第1組和第2組的跟隨者拓?fù)鋱D的拉普拉斯矩陣。

定義1[13]如果具有收斂速率θ的誤差系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，即存在標(biāo)量θ＞0，ρ＞0，使得下式成立

2 主要結(jié)果

利用矩陣論和穩(wěn)定性分析來(lái)建立有向固定拓?fù)湎码x散多智能體實(shí)現(xiàn)分組一致的條件。以下的定理給出了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)分組一致性的充分條件。

定理1基于假設(shè)成立的情況中，對(duì)于給定的標(biāo)量θ＞0，τ＞0，如果存在矩陣X1＞0，Y1＞0，滿足下列式

則在控制協(xié)議（3）下，具有常時(shí)滯的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨的二階離散多智能體系統(tǒng)的分組指數(shù)一致性問(wèn)題是可解的。

證明令（k）=eθk（k），θ＞0，則得到新的誤差系統(tǒng)為

定義如下的Lyapunov-Krasovskii泛函

對(duì)V1（k）做差分得到

運(yùn)用引理2可以得到

對(duì)V2（k）做差分得到

對(duì)V3（k）做差分得到

由式（5）至式（7）可以得到

運(yùn)用引理1，可以得到Π＜0，當(dāng)且僅當(dāng)

如果式（10）成立，根據(jù)引理1可知式（4）也成立，則Π＜0成立，因此ΔV（k）≤0，顯然V（k）是遞減的，可以得到

則

即

因此根據(jù)定義1，可以得到誤差系統(tǒng)（5）是指數(shù)穩(wěn)定的，所以本文中的具有常時(shí)滯的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨二階離散多智能體系統(tǒng)可以達(dá)到分組指數(shù)一致性。

3 數(shù)值模擬

數(shù)值模擬采用一個(gè)Matlab數(shù)值仿真實(shí)例來(lái)說(shuō)明所設(shè)計(jì)的離散分布式控制協(xié)議的合理性。

例1在滿足以上提出的假設(shè)的條件下，給出智能體之間通訊交流的有向拓?fù)鋱D1，并給出拓?fù)鋱D中各個(gè)智能體的初始狀態(tài)，初始位置為[-20；45；-35；250；-25；-50；-45]，初始速度為[1；7；5；2；35；4；8]，取α=0.115，β=0.45，τ=1，智能體間通訊拓?fù)鋱D如圖1所示，根據(jù)Matlab軟件仿真后可以得到速度圖、位置圖、速度誤差圖、位置誤差圖，分別如圖2至圖5所示。

圖1 智能體間通訊拓?fù)鋱D

圖2 速度圖

圖5 位置誤差圖

從圖2和圖3中可以看出，每組智能體分別追蹤上了其相對(duì)應(yīng)的領(lǐng)導(dǎo)者；從圖4和圖5中得到各組智能體的速度誤差和位置誤差均可在200 s內(nèi)逐漸收斂到0，故該仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所構(gòu)建的控制協(xié)議的合理性。

圖3 位置圖

圖4 速度誤差圖

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于有向固定拓?fù)湎碌木哂谐r(shí)滯的二階離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)分組的領(lǐng)導(dǎo)-跟隨指數(shù)一致性問(wèn)題。針對(duì)二階離散時(shí)間領(lǐng)導(dǎo)-跟隨多智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種新的分布式分組控制協(xié)議。通過(guò)使用矩陣分析工具，將領(lǐng)導(dǎo)-跟隨指數(shù)一致性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性問(wèn)題。基于李雅普諾夫函數(shù)和線性矩陣不等式方法，得到了二階離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)在有向固定拓?fù)湎逻_(dá)到分組指數(shù)一致的充分條件，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的控制協(xié)議的合理性。