基于四階累積量的MUSIC算法性能仿真分析

李丹寧，石和平，曹繼華，任 潔

（1.天津職業技術師范大學電子工程學院，天津 300222；2.天津職業技術師范大學汽車與交通學院，天津 300222）

陣列測向，又被稱為空間譜估計或到達角（direction of arrival，DOA）估計[1]，DOA估計主要是根據發送無線電信號，以及通過接收入射到陣列傳感器上的相位差信息，判斷在空中某一范圍內的各個目標信號源，從而估計相對傳感器陣列發射天線的方位角[2]。當前DOA估計的基礎理論和技術正逐步走向成熟，但需要深入研究的方向仍有不少。其中，在陣列信號處理進程中又以Schmidt[3]所提出的多重信號分類（MUSIC）子空間類算法最具代表意義，被譽為DOA空間譜估計中的里程碑。MUSIC算法需要對接收數據的協方差矩陣進行特征分解，并且需預知噪聲的特性和信源個數，這些條件在一定程度上限制了其實際應用。隨后，Porat等[4]提出了MUSIC-Like算法，也可稱為傳統的四階累積量的MUSIC算法。該方法利用四階累積量與子空間方法結合，進行陣列信號的測向研究。Dogan等[5]推導出了四階累積量抑制噪聲的原理。文獻[6-7]的研究則放寬了對信源數目的限制，驗證了四階累積量在實際陣列中所具備的特性。文獻[8-10]也表明四階累積量可以有效去除矩陣中的冗余元素。近些年來，科研人員對信號測向的研究層出不窮，同時四階累積量在DOA估計中也得到越來越多的應用[11-17]。本文基于四階累積量在陣列信號測向處理中的應用研究，根據文獻[4-6]建立陣列窄帶遠場信號的接收模型，介紹四階累積量的MUSIC算法[4]的基本原理，分析四階累積量矩陣的處理過程，并通過擴展陣列孔徑[18]，使接收陣元數據得到充分利用，同時測得來波方向≥陣元數的信號。在不同的參數下，對該算法進行仿真，分析不同參數背景下該方法的估計性能。

1 窄帶信號接收模型及算法原理

1.1 信號接收模型與MUSIC算法

假設在空間里有N個傳感器構成的均勻等距直線陣列，存在M個遠場窄帶獨立信源sl（t）（l=1，2，…，M）作用到該陣列上，該陣列的第i個接收數據的信號模型可以表示為

式中：ni（t）為第i個傳感器陣元上的高斯白噪聲，其均值為0，方差為σ2；ai（θl）則為第i個傳感器陣元對第l個入射信號的空間響應。ai（θl）的表達式為

式中：d為該均勻直線線陣陣元之間的間距；λ為中心頻率f0的遠場窄帶信號所對應的波長。

將N個傳感器陣元所接收的數據構成一組列向量，表示成矩陣形式為

式中：X（t）=[x1（t），x2（t），…，xN（t）]T為傳感器陣元接收到的N×1維的數據矢量；S（t）=[s1（t），s2（t），…，sM（t）]T則是M×1維的入射信號矢量；N（t）=[n1（t），n2（t），…，nN（t）]T為N×1的陣元上的噪聲矢量；A=[a（θ1），a（θ1），…，a（θM）]T為N×M維來波信號所對應的導向矢量陣列流形矩陣。

對于零均值的陣列信號入射源，其接收陣列的信號數據的協方差矩陣可表示為

式中：E為數學期望的符號；RS為陣列接收入射信號數據的協方差矩陣E[S（t）S（t）H]；I為N階的單位矩陣；H為共軛轉置操作。

傳統MUSIC算法[3]是對數據協方差矩陣進行特征分解，進而通過空間譜估計中譜峰搜索估測入射信號的來波角度。對式（4）中陣列的協方差矩陣進行特征分解有

式中：US為信號子空間；UN為噪聲子空間。

在實際DOA估計中是以最小化優化搜索實現的，故MUSIC算法的空間譜估計公式為

1.2 四階累積量

假設接收數據X（n）為N維零均值的復平穩隨機信號，那么該信號的四階累積量需滿足：

式中：cum為求累積量；*表示共軛符號。

顯然，四階累積量cum（k1，k2，k*3，k*4）隨著k1、k2、k3、k4的變化，共有N4個值。為了方便操作，可以將該信號的四階累積量的N4個值存入下面定義的N2×N2矩陣C4。

式中：CS為入射來波信號的四階累積量矩陣；B為陣列擴展的陣列流形矩陣，該擴展陣列的表達式為

式中：○×為Kronecker積。

B矩陣中的每一列可表示為

式中：列向量b（θ）為擴展的陣列流形，由上述的Kronecker的積性質可得；b（θ）為N2×1維矢量，相對于a（θ）而言，其維數實現了擴展N倍，則便可估測窄帶信源數≥陣元數的入射信號。

1.3 四階累積量MUSIC算法

四階累積量MUSIC算法[4]是通過用四階累積量矩陣C4來替代協方差矩陣RX，對矩陣C4進行特征分解，并結合MUSIC算法，進行譜峰搜索即可估測出來波方向，具體步驟如下：

步驟1將陣列接收的信號數據模型式（1），按照累積量矩陣的式（7），構造四階累積量矩陣C。

步驟2將矩陣C按式（5）進行特征分解，找到其相對應的特征值以及特征值所對應的特征矢量。

步驟3由矩陣C的特征值，判斷入射信號源的數目，求出四階信號子空間和噪聲子空間。

步驟4針對所得信號參數的范圍，結合MUSIC算法按式（6）進行譜峰搜索即可測出來波方向。

2 仿真分析

2.1 算法的比較

實驗基于四階累積量的MUSIC算法與傳統MUSIC算法進行仿真，針對窄帶遠場信號進一步分析了2種算法的估計性能。設置10個陣元數，選取入射到傳感器陣列的角度分別為-20°和20°，信號頻率取值分別為π/4和π/6，SNR=0 dB，陣元的間距d=0.5λ，設置的快拍數為1 024，此時的噪聲為高斯白噪聲。2種算法仿真效果對比如圖1所示。

圖1 2種算法仿真效果對比

從圖1可知，四階累積量的MUSIC算法[4]譜峰更尖銳，陣列測向的角度估計性能較好。相比較于MUSIC算法[3]，由于高斯噪聲三階及以上的累積量恒為0，故能夠更好地改善MUSIC算法的性能。

2.2 多信源數對四階累積量MUSIC的影響

仿真實驗取陣元數為4，信號源為6個獨立不相關的遠場窄帶信號。來波方向分別在-60°和60°之間均勻分布，信號頻率為π/6，信噪比均為0，傳感器陣元之間的間距取0.5λ，實驗快拍數為1 024，信號為高斯白噪聲。多信號源的DOA估計如圖2所示。

從圖2可知，此實驗中的陣元數目小于信源數，在該仿真實驗下，四階累積量MUSIC算法在多輸入信源條件下依然能很好地分辨出信號的波達方向。實驗結果表明，該算法沒有陣列孔徑的損失，并且通過陣列孔徑的擴展，放寬了對信源數目的要求。

圖2 多信源的DOA估計

2.3 不同陣元間距對四階累積量MUSIC的影響

仿真實驗設置選取10個陣元，陣元間距分別為0.1λ、0.5λ、0.8λ。來波角度分別是-20°和20°的獨立不相關的遠場窄帶信號，信號的頻率分別選取為π/4和π/6，SNR=10 dB，仿真實驗的快拍數為512，噪聲為高斯白噪聲。不同陣元間距的DOA估計如圖3所示。

圖3 不同陣元間距的DOA估計

從圖3可知，當傳感器陣元間距為0.5λ時，該算法的波達方向估計性能相對最好。當陣元間距為0.1 λ時，該算法可以估計出來波角度，但其旁瓣部分較大，性能較之陣元間距為0.5λ有所下降。當陣元間距為0.8λ時，空間譜出現混疊現象，但是旁瓣部分的譜峰較之陣元間距為0.1λ時明顯得到抑制，更好地突出了其有效抑制高斯噪聲的特性。因此，在實際空間測向中，選取合適的陣元間距可以使算法更好地估計入射角度。

2.4 快拍數對算法精度的影響

仿真實驗設置6個陣元，傳感器陣元之間的間距取0.5λ。來波角度分別為-20°和20°的獨立不相關的遠場窄帶信號，信號的頻率分別為π/4和π/6，SNR=10 dB，仿真實驗的快拍數分別為10、100、1 000，噪聲為高斯白噪聲。另外，根據選取的快拍數10～1 000，對每次信號角度的估計值進行500次蒙特卡羅仿真，DOA估計精度如圖4所示，歸一化成功概率隨快拍數變化情況如圖5所示。

圖4 不同快拍數的DOA估計

圖5 歸一化成功概率隨快拍數變化情況

從圖4可知，當快拍數=1 000時，本文分析的四階累積量MUSIC算法估計性能較好。快拍數=10時，其譜峰不是特別尖銳。從圖5可知，當快拍數為100時，歸一化成功概率出現轉折，在快拍數＞100后，隨著快拍數目越來越多，該算法的歸一化概率趨于穩定，達到估計的理論值，但其計算量也隨之增加，因此需要在實際的估計中選擇合適的快拍數。

2.5 信噪比對算法精度的影響

仿真實驗取陣元數為6，陣元間距為0.5λ。來波角度分別為-20°和20°的獨立不相關的窄帶信號，信號的頻率分別設置為π/4和π/6，SNR分別為-5 dB、10 dB、25 dB，快拍數為512，噪聲為高斯白噪聲。另外，信噪比設置為5個間隔單位，選取范圍為-5～25，并對每次選取的估計值進行500次蒙特卡羅仿真，DOA估計精度如圖6所示，歸一化成功概率隨信噪比變化情況如圖7所示。

圖6 不同信噪比的DOA估計

圖7 歸一化成功概率隨信噪比變化情況

從圖6和圖7可知，該算法在低信噪比SNR=-5 dB時，依然可以分辨出來波方向。而當信噪比≥0時，歸一化成功概率趨于理論估計值。隨著信噪比取值的增加，本文介紹的四階累積量結合MUSIC算法的陣列估計性能越來越好，并且譜峰搜索效果也很尖銳，這說明該算法DOA估計的角分辨率效果越好。但是，當信噪比達到一定值時，其估計性能會達到該算法的理論估計值。

3 結 語

本文介紹了一種結合四階累積量的DOA估計技術，即四階累積量MUSIC算法。該算法充分利用了擴展的陣列孔徑，有效地估計出多于陣元個數的入射信號源。通過對比MUSIC算法的估計性能，說明該算法可以更好地估計來波角度，提高了陣列處理方法的分辨效率。此外，本文在不同陣元間距、快拍數和信噪比條件下，對算法的估計性能進行了仿真分析。研究結果表明，在實際陣列設計中，為降低運算的復雜度，應選取合適的參數，以實現更高的DOA估計的空間分辨率。