深度學習視域下的初中數學問題設計策略研究

●王占娟，何江

問題是數學的心臟。 初中數學深度學習的教學設計重點就在于通過精心設計問題情境和學習任務，引發學生對數學本質、數學內在規律、聯系以及對數學現象背后蘊含的思想方法的深度思考，并能夠將所學知識遷移到新的情境中加以應用，實現情感、態度、價值觀的升華，最終促進學生數學核心素養的發展。在進行數學問題設計時，我們可遵循以下原則，并采取相應的策略。

一、目標性——問題設計層次化

美國心理學家蓋澤爾斯把數學問題大致分為了三類：顯現型問題、發現型問題、創造型問題，其中，顯現型問題是指問題的條件、答案、求解思路均是現成的，學生只需要照章辦事，按序求解就能得到與標準答案相同的結果，無須想象與創造；發現型問題是指問題雖有已知答案，但問題不是教師或教科書給定，而是由學生提出或發現的；創造性問題是人們從未提出過的，屬于原創性問題。

因此，在進行問題設計時，我們可以借助顯現型問題實現淺層知識的掌握與技能習得。同時，應更加重視設計發現型問題和創造型問題，以促進學生的深層次思考和高階思維能力的發展。

案例1 平行線中的幾何研究

（一）問題提出

已知AB∥CD，探究圖形1 中∠APC 和∠PAB、∠PCD 的關系，請用不同的方法證明你的結論。

圖1

（二）問題拓展

你能通過改變點的位置，構造出新的平行構圖嗎？

圖2

（三）問題推廣

1.已知AA1∥BA3，請你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的關系，并證明你的猜想；

2.如果增加拐點個數，將問題改為AA1∥BAn,請你猜想∠A1，∠A2…∠An,∠B1，∠B2…∠Bn的關系，并證明你的猜想；

圖3

（四）綜合創新

通過今天的探究學習，對你有何啟發？你能利用前面的一種或幾種基本圖形類比構造更有趣的圖形進行研究嗎？

【設計說明】

“問題提出”屬性顯現性問題，問題及求解方法都是相對固定的，思維難度較低，但在解決策略上比較多元，有一定的開放度，有利于培養學生思維的靈活性。

“問題拓展”和“問題推廣”屬于發現型問題，需要學生自己發現并提出問題，問題具有一定的挑戰性和開放性，同時，“問題推廣”中的兩個問題之間也體現了思維漸進的層次性， 引導學生進行由特殊到一般的深度思考。

“綜合創新”屬于創造型問題，問題開放度更大，需要學生自己創造新圖形，并嘗試解決。同時將問題設計從課堂延伸到課后，實現了時空的延展。

二、人本性——問題設計差異化

數學問題設計應堅持以生為本，即問題設計首先應基于學情，結合學生的實際學情，找準學生認知能力的起點、生長點和疑惑點，進行針對性設計。 同時，在問題設計時應尊重差異，針對不同學習能力的學生，注意問題的層次性，可以通過拆分設問把一個復雜問題拆解為若干個小問題，通過搭建腳手架，幫助學生拾階而上，以問題逐步驅動探究進程。

同時，在問題設計時，可通過調整問題的步長，來調整問題的開放度。比如，對于認知能力相對較強的學生，可以步長設置大一些，使問題更加開放，有更寬廣思考的空間，這樣的思考有利于提升學生的思維能力。而對于認知能力相對較弱的學生，可以適當縮小步距， 搭建更多的腳手架， 幫助學生拾階而上，有利于學生信心的建立，以及對問題的深刻理解。在設計問題時，還應盡量避免使用步距過小的封閉性問題，如“是不是”“會不會”“對不對”等，這樣的問題缺乏思維價值，不能引發學生的深度思考。而應使問題具有思維的遞進性，使學生在問題探究和問題解決中，思考由淺層走向深入，從現象走向本質。通過調整問題的開放程度、問題的腳手架等差異化設計，使不同學生通過不同層次的問題研究，都能學有所獲。

案例2 圖形的旋轉綜合探究

探究一：線段的旋轉——旋轉中心在線段外

（1）旋轉中心在線段外，線段BC 繞旋轉中心O逆時針旋轉30°，對應線段BC、EF 夾角為多少度？

（2）旋轉中心在線段外，線段BC 繞旋轉中心O逆時針旋轉100°，對應線段BC、EF 夾角為多少度？

圖4

探究二：三角形的旋轉

ΔABC 繞旋轉中心逆時針方向轉α 到ΔDEF 位置，對應線段AC、DF 所在直線夾角為多少度？

圖5

推廣：四邊形旋轉前后對應線段所在直線夾角是否也具有同樣的結論？n 邊形呢？任意由線段構成的圖形呢？

【設計說明】此例主要解決圖象旋轉前后對應線段所在直線的夾角有何規律，如果直接提出這樣一個問題，對于普通學生來說思維難度很大。 因此，可考慮將此問題進行拆分，從特殊情況入手研究，為學生搭建腳手架，讓學生能從具體數據入手進行探究，再實現從特殊到一般的推廣。 而對于思維能力較強的學生，也可適當減少腳手架，直接利用探究一中問題（3）和探究二，設計成兩個綜合性問題，加大思維難度，提高思維要求，對問題進行分層設計，體現差異化要求。

三、過程性——數學知識問題化

數學問題的設計，要重視知識的形成過程。問題設計的終極目標應指向核心素養的發展，然而數學核心素養的發展離不開經驗、能力與方法，而這些是不可能直接交給學生的，它們需要學生在經歷數學知識的形成過程中習得。因此，我們需要改變傳統數學教學中過于突出知識傳授， 把學生作為知識的被動接受者的理念，將數學知識問題化，即把數學知識轉化為一系列具有邏輯結構、思維遞進的數學問題，通過問題設計引導學生像數學家一樣思考，經歷數學知識的“再創造”過程，使學生在問題的引導下自主發現問題、提出問題、分析問題，并創造性地解決問題。 學生通過這種“過程與方法”的體驗，成為積極的信息加工者、新知的發現者和創造者， 最終在數學問題解決中完成學習理解、應用實踐和遷移創新，從而提升和發展學生的數學關鍵能力和必備品格。

案例3 一次函數與不等式綜合

基礎探究

問題1 函數y=2x-5 的圖象如圖，觀察圖象回答下列問題：

（1）x 取何值時，2x-5＝0；

（2）x 取哪些值時，2x-5＞0；

（3）x 取哪些值時，2x-5＜0；

（4）x 取哪些值時，2x-5＞1；

（5）x 取哪些值時，1＜2x-5＜3；

圖6

思考：

通過以上研究，你認為如何利用函數圖象求解方程和不等式？函數、方程、不等式具有怎樣的聯系？在圖像中如何體現？

進階探究

問題2 如圖， 如果在直角坐標系中增加直線l2：y2＝mx， 你能利用函數圖象解決以下問題嗎?如果不能，需要增加什么條件？

圖7

（1）2x-5＜mx（追問：你能對問題進行等價變形嗎？ ）

（2）-5＜2x-5＜mx

（3）mx＜2x-5＜mx+2

（4）你能提出關于不等式的新問題嗎?

【設計說明】本課例中通過兩組變式設問及反思設問，將函數、方程、不等式的關系融入圖形之中，使學生在觀察、分析、探究方程及不等式的集解的問題解決過程中，體會函數、方程、不等式三者的相互聯系及本質，體會數形結合思想的應用價值。

四、真實性——數學問題情境化

數學問題情境化，就是把數學問題融入日常生產生活實際背景中，利用具體化、形象化、生動化的問題情境和任務驅動，引發學生的思考，實現新知學習和問題解決。 真實問題更具綜合性、開放性，學生不僅要從實際問題中抽象出數學本質，同時要思考各部分之間的關聯，促進學生整體性、系統性思考，實現深度學習。

案例4 方程思想在生活中的應用

核心問題： 如何設計游學的交通及住宿出行方案？

問題1 宜賓線師生在和旅行社溝通過程中得知，宜賓線的全體師生如果單獨租用40 座的客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨租用50 座的客車可以少租2 輛，并且一輛車上還有10 個空余座位．你能根據以上信息，得到什么新的信息？ 你是如何得到的？

問題2 已知3 輛40 座客車和1 輛50 座客車共需租金4100 元，2 輛40 座客車和3 輛50 座客車共需租金5300 元．你又能得到什么信息？ 你是如何得到的？

問題3 如果學校希望每輛車沒有空位， 作為旅行社，你能為學校提供幾種方案？

問題4 如果作為學校負責人， 你會選擇哪一種方案？ 為什么？

問題5 由于人數眾多， 旅行社為學校聯系了三家酒店,經過商談，學校以46000 元的價格簽訂合同，住宿人數為440 人，住宿標準為豪華標間（2 人間）。

如果酒店價格及旅行社的利潤分別如下表，你作為旅行社負責人，將如何安排住宿方案？

圖8

【設計說明】本節課是一節大單元復習課，設計一個游學的生活情境，將方程、函數及不等式的相關知識融為一體，并且將此部分的典型問題全部融在一組具有情境邏輯關聯的問題之中，通過層層遞進式設問，使學生一直沉浸在一個具有挑戰性的真實問題解決之中。

五、整體性——數學問題結構化

在進行問題設計時，可將孤立、分散的小問題整合成具有邏輯關聯和綜合性、開放性的核心問題，使學生圍繞一個具有挑戰性的問題解答，深度參與思考和交流，在活動與體驗中感悟數學的本質與聯系，實現遷移與應用，這正是深度學習的主要特征。

教學中要用具有思維導向結構和一定邏輯聯系的結構化問題去推進教學，讓問題環環相扣，逐層遞減，使每個階段都有問題需要解決，并能通過問題解決啟發學生發現提出新問題。

我們可以采取圖9 的流程來設計結構化問題。

圖9 初中數學問題設計流程

即根據課標要求及教學內容確定本節課的核心問題，然后結合教學重難點，從核心問題中分解出幾個子問題，最后在每個子問題之下設計問題鏈，對每一個子問題進行深度研究。

例如，在設計概念課的問題鏈時，可以遵循這樣的設計思路：是什么——為什么——怎么做——為什么這么做——還可以怎么做——如何做得更簡單——他們之間有何聯系——還可以做怎樣的變化——對問題解決有何價值——對以后的學習有何啟發。

這些問題有一些是預設的問題，有些問題則要結合課堂生成進行追問，追問體現了一個老師的基本功底。 這樣的問題結構體現了從現象—策略—本質—關系—遷移的思維遞進，通過這樣的設問，自然能加深學生對數學本質的深刻理解、關系的深刻認識和思維的逐級進階。而這樣的問題，必然具備四大特征：啟發性、深刻性、層次性和關聯性。

案例5 探索日歷中的規律

探究一——熱身運動

（1）這是一張2019年10月的日歷，用一個2×2的套色方框隨機框出4 個數，觀察這四個數之間存在哪些關系。

（2）移動方框的位置，這些關系是否仍成立？

（3）你能用代數式表示這些規律嗎？

（學生獨立思考，分享發現，教師引導）

表1

探究二——基礎探究

如果將方框改為3×3 的套色方框，框出9 個數：

（1）原來的規律是否仍成立？

（2）你還有何新發現？

（3）請用代數式表示這些規律，并說明理由。

（學生獨立思考，再小組交流，上臺分享，教師引導）

深度思考：

1.在用字母表示時，設哪一個字母為a 更科學？為什么？

2.如果已知9 個數的和，如何確定這9 個數的位置？

3.這9 個數的和有何特征？ 需滿足什么條件？

4.日歷中最基本的規律是什么？

5.基于此規律，可以如何拓展研究？

【設計說明】 本課例中設計了兩個探究活動，將數學問題結構化， 在深度思考環節中， 用一組問題鏈，將日歷中的規律問題進行深度整合，并按照思維進階的方式進行設計，使學生能夠通過問題引領，透過現象看本質。

在日常教育教學過程中，要關注如何進行有高度、有層次、有邏輯的問題設計，真正實現學生對數學本質、關系的深度思考，促進思維水平的進階和認知結構的優化，真正實現數學深度學習，促進學生數學核心素養的發展。