基于綜合分析力求精準定位 經歷多元表征旨在理法相融
——以“除數是小數的除法”教學為例

●曾鵬，鄒曉蘭，陳玉堅，唐國峰

“除數是小數的除法”是人教版五年級教材第三單元“小數除法”第三課時內容，在學習本單元之前，學生已經掌握了整數乘除法和小數乘法的計算方法。在本單元前2 個課時的學習中，學生已經學習了除數是整數的除法， 盡管學生前期學習乘除法的經驗比較豐富，但具體到本課的學習，沒有直接的經驗可以借鑒或遷移。在計算中，需要利用商不變的性質進行小數點的移動將除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法，也就是利用轉化的思想，將“未知”轉化為“已知”。

如何幫助學生有效調用已有的學習經驗？ 學生真實的困難是什么？學生能不能通過自身的努力，將小數轉變為具體的數量進行計算（轉化為元、米等），從而理解其中的算理，掌握算法？

基于以上的思考，課題組帶著疑問對課標進行了解讀，對人教版、北師大版、蘇教版三個版本的相同內容進行對比分析，對五年級1 個班級的學前情況進行了調研，以期為本課的精準施教提供依據。

一、綜合分析：明晰教學核心問題

（一）課標解讀，掌握學段的具體要求

“小數除法”是第三學段“數與代數”領域中的教學內容。 《義務教育數學課程標準（2022年版）》在第三學段“數與運算”中明確提出“數的運算重點在理解算理、掌握算法”。 盡管課標中提出的是學段目標不是課時目標， 但通過學段目標可知教學中的具體關注點：幫助學生理解算理，在明晰算理的基礎上掌握算法，形成必要的運算技能。

（二）多版本教材解讀，為教學提供辯證參考

1.三個版本教材教學內容編排的特點

圖1 人教版、北師大版、蘇教版教材內容

人教版教材依據情境提出問題： 這些絲繩可以編幾個“中國結”？提醒學生進行估算，體現發展學生估算意識的意圖。 在“想一想”中提示運用商不變的性質將小數除以小數轉化為整數除以整數的方法進行計算， 在此基礎上對豎式計算中小數點的移動進行“動態”提示，再讓學生進行豎式計算。

北師大版教材以一位小數除以一位小數的例題進行教學，強調多元表征：提示學生將元轉化為角進行計算，用商不變的性質轉化為整數的除法，用圈一圈和畫一畫的方式幫助學生進行操作，在多種表征的基礎上理解算理，再進行豎式計算。

蘇教版的例題用一個兩位小數除以一個一位小數，提示學生利用商不變的性質進行轉化，在“思路導航”中給予學生兩點提示：根據商不變的規律把除數轉化為整數的除法進行計算；被除數、除數的小數點向右移動一位。在明確算理的基礎上，讓學生進行豎式計算，注重讓學生說一說計算的過程。

2.三個版本教材比對分析對教學的啟示。

三個版本教材編排的方式各異（表1），人教版給予的提示最少，計算難度最大，有“動態”的小數點移動的方法指導，“留白”較多。北師大版本更注重多元表征，以小數據揭示小數除以小數的算理、計算方法，教材“突破手段”最多，難度最小，著重凸顯小數除法的算理，重視學生語言表征。蘇教版教材難度中等，注重對算理、算法的同步提示與引領，重視學生對計算過程的梳理與表達。 三個版本教材也有如下共性：一是注重在情境中引入數學問題；二是注重學生對算理的理解——利用商不變的性質進行轉化；三是注重對豎式計算的指導。

表1 三個版本教學例題、書本提示與練習的對比

經對三個版本教材的比對與分析，有如下的教學啟示：注重情境設置，讓計算教學不枯燥；注重對商不變性質的喚醒，讓學生計算有“據”；注重多元表征，讓學生在明晰算理的基礎上進行算法探究；注重學生語言表達能力的訓練，促進學生對知識的內化。

二、學情調研：為精準施教提供依據

為了掌握學生的學前情況，聚焦7.65÷0.85 的估算與筆算進行如下兩題的調查（圖2）。 對我校五年級的1 個班級50 人進行前測，并對學生完成的情況進行了統計與分析（圖3）。

圖2 前測卷

圖3 前測統計

從第一題的數據來看（圖3），估算有近一半人正確，還有50%的同學不會對這道題進行正確的估算。可以看出，在教學中注重學生估算能力的培養很有必要。 根據第2 題的數據可知（圖3），有8 名學生能正確計算出得數，豎式書寫正確，能說清楚計算的理由；19 人能正確計算出得數，能說清楚理由，但豎式計算的書寫不正確。 從答案來看，有27 人能得出正確的商。 有34 名學生能理解轉化的方法，會從商不變的性質進行轉化， 把小數除以小數轉化為整數除以整數進行計算。 還有16 名同學不會計算、不會列式、不能說清楚理由。 不會列豎式進行計算的有42 人，說明沒教學之前，學生對小數除以小數的豎式計算掌握難度大。 小數點的移動以及列豎式進行計算，應該是教學中著重關注的問題。

三、精準定位：為精準施教錨定方向

通過對課標、多版本教材綜合分析以及學情調研，綜合借鑒不同版本的優點，在具體實施中凸顯如下幾個方面。

第一，關注學生估算意識的培養，便于學生對計算方法的掌握與計算結果的檢查。

第二，引導學生自主探究，倡導多元表征，明晰算理。引導學生轉化為統一數量單位進行計算，利用商不變的性質等方式解答，重視學生對算理的個性化理解。

第三，重視對學生已有知識經驗的調用，幫助學生喚醒已有的知識儲備——商不變的性質。 將除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法， 重視學生對算法的探究、比較與歸納，讓學生在自主探究、交流合作、質疑反思的基礎上提煉算法。呈現動態的小數點移動的過程， 讓學生經歷從算理的理解到計算方法的過渡，掌握豎式計算的方法。

第四，滲透對“轉化”思想的理解。引導學生思考小數除以小數就是利用商不變的性質轉化為整數除以整數的計算方法，讓學生理解把不熟悉的轉化為熟悉的。 回顧與反思不同算法，理解小數除法的“通法”。

四、教學實踐：經歷多元表征，旨在理法相融

【片段一】復習導入，喚醒已有知識

師：同學們，這些題目你們會算嗎？

（多媒體先出示前3 個，再出示第4 個）

表2

生：1200÷400＝3。

生：120÷40＝3。

生：12÷4＝3。

師：這么快！ 發現有什么規律嗎？

生：從左往右看，被除數和除數同時除以10，商沒有變。

師：還記得這是什么規律嗎？

生：商不變的規律。

生：被除數、除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變。

師：看來大家對以前的知識掌握得很牢固。如果1.2÷0.4，你會算嗎？

生：1.2÷0.4＝3， 因為12 除以10 是1.2，4 除以10 是0.4，根據商不變的規律，商還是3。

【設計意圖】通過簡單的搶答游戲，激發學生的學習興趣；引導學生復習商不變的規律，自然地引入到新知的教學， 為小數除法遷移到整數除法作了鋪墊。

【片段二】入情入境，引導學生估算

師：中國結是中國特有的一種小工藝品，不僅顏色鮮艷、形態優美，而且寓意吉祥，代表著美好的愿望。 （多媒體出示：老奶奶有7.65 米絲繩，編一個要用0.85 米絲繩。這些絲繩可以編幾個“中國結”？）你會解答嗎？

生：知道老奶奶一共有7.65 米絲繩，編一個中國結要用0.85 米絲繩，問題是可以編幾個。 用絲繩總長除以中國結每個需要的長度就可以得到中國結的個數。

師：同學們，請你們估一估，大概能編幾個？

生：我覺得是7，把7.65 估成7，0.85 估成是1，約等于7。

生：我認為大于7。 如果把0.85 估成1，7.65 除以1 是7.65。 所以7.65 除以比1 小的數，商肯定大于7.65。 因此答案大于7。

生：我還知道不會超過10 個，如果是10 個，那么0.85×10=8.5，比總長7.65 還大，因此不會超過10。

【設計意圖】以情境融入問題，讓計算教學不枯燥；引導學生進行估測，為計算準確性、合理性以及商的檢驗提供必要的依據。

【片段三】自主探究，引導學生多元表征

師：大家通過估算鎖定了中國結個數的范圍。如果想知道到底是多少，怎么辦？

生：算出結果就知道。

師：很不錯的想法。 請大家在小組討論一下，能不能運用以前所學的知識進行解答？

生1：把7.65 變成765，把0.85 變成85，這樣得出的商是9。

師：請你說一說計算的理由？

生1：這是利用商的變化規律，把7.65 和0.85同時乘100，就變成765 除以85，結果是9。

師：除了用商不變的規律進行計算，還有其他的想法嗎？

生2：我們小組把7.65 米變成765 厘米，0.85 米變成85 厘米，這樣變成765 厘米除以85 厘米，等于9。

生3：我們小組想7.65 除以0.85 沒有學過，但都可以轉化為更小的單位進行計算。 7.65 是765 個百分之一，0.85 是85 個百分之一，765 除以85 是9，所以7.65 除以0.85 等于9。

師：確實，通過轉化，可以把“新知”的問題轉化為“舊知”進行解答。

【設計意圖】引導學生調用已有知識儲備與解決問題的經驗，將小數除法轉化為已學的知識進行解答，通過多元的表征形式，幫助學生理解小數除法的算理，為小數除法的豎式計算埋下伏筆，實現理法的自然過渡。

【片段四】交流辨析，掌握豎式計算方法

師：請同學們自己嘗試用豎式計算7.65÷0.85。

（學生自主嘗試豎式計算后匯報）

圖4

生1：前面我們小組討論的答案是9，但寫完商9 之后，商上面的小數點要對齊，所以我在7 上商0，小數點對齊，6 的上面也商0，答案就變成了0.09。

師：也就是說，你也明白答案應該是9；但考慮到小數點對齊， 所以就在前面添0， 點上小數點之后，就變成了0.09。 確實老師也能體會你的這種“矛盾”的心情，不急，請坐下。

生2：7.65 和0.85 利用商不變的規律同時擴大100 倍，就變成了765÷85，商就是9。

生3：我不同意，雖然你的商是9，但是在豎式計算中被除數還是7.65，除數還是0.85。怎么看出你是765÷85？

生4：7.65 和0.85 利用商不變的規律同時擴大100 倍，就變成了765÷85，商就是9。

生5： 但是你豎式計算中的被除數、 除數還是7.65 和0.85，也不是765÷85。

生6：7.65 和0.85 利用商不變的規律同時擴大100 倍，在豎式計算中，被除數的小數點與商的小數點先畫掉，再向右移動兩位，就變成了765÷85，商就是9。 大家請看右邊我利用商不變的規律寫出的算式。

【設計意圖】 小數除法豎式計算是學生的難點，與教學前測反應的結果一致。 讓學生充分“暴露”錯誤，讓學生在相互的發問、質疑、交流、辨析中逐漸把“錯誤”變成“資源”，從迷惑走向清晰。讓學生在豎式計算中展示算理的動態“鏈接”，實現算理、算法的融通，形成計算技能。

【片段五】回顧與反思，理法相融、拓展延伸

師：同學們，回顧這堂課的學習，我們是如何計算“一個數除以小數”的？

生1：一看除數的小數位數是幾位，把它轉化成整數。

生2： 二根據商不變的性質被除數也要移動相同的位數。

生3：最后按照除數是整數的除法進行計算。

師：很好，把未知轉化成已知，利用轉化的思想。如果老師把剛才最后一道練習題的被除數尾數4 改為5，有余數了怎么辦？

圖5

……

【設計意圖】本課的課尾，沒有讓學生說本節課的收獲，而是讓學生聚焦“轉化”理解算理，回顧豎式計算的方法實現理法的相融。 并相機拋出一道思考拓展題，讓學生的思維得以延續，架構了與后續學習知識間的連接橋梁。

本堂課，從綜合課標、多版本教材、學情的分析，為教學錨定了方向，力求為精準施教提供相對科學、有效的依據；在課程實施中注重學生經驗調用，多元表征、理法相融，培養學生的運算技能，實現了我們基于綜合分析的最初定位與設想。