轉(zhuǎn)變教學(xué)策略，突破幾何論證的“瓶頸”

任亞男

江蘇省如皋初級中學(xué) 226500

幾何是有關(guān)圖形和空間結(jié)構(gòu)的一項知識，與代數(shù)同屬于初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，幾何思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛.但是幾何卻也是很多初中學(xué)生的“噩夢”，很多同學(xué)對之望而卻步，看到幾何證明題就頭腦發(fā)懵，不知道突破口在哪里.在教學(xué)中教師也不難發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)不錯的同學(xué)，在開始學(xué)習(xí)幾何之后成績就開始直線滑坡，教師也束手無策，難以解決.如何幫助學(xué)生突破幾何證明題的難點，是筆者在教學(xué)中一直思考的問題.本文擬從教學(xué)策略的角度，談一談在日常教學(xué)中教師可以采取的教學(xué)策略，幫助學(xué)生一起突破幾何證明的“瓶頸”.

比較歸納知識，奠定論證基礎(chǔ)

幾何證明題的基礎(chǔ)是學(xué)生對幾何的基礎(chǔ)知識掌握要全面，運(yùn)用知識要靈活，理解知識與知識之間的邏輯聯(lián)系，才能在證明時游刃有余.因此在教學(xué)上，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生梳理知識體系，進(jìn)行知識歸納，為幾何證明題奠定知識基礎(chǔ).

1.構(gòu)建知識體系

幾何知識比較繁雜，教師在教學(xué)中要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生梳理知識，構(gòu)建較為完整的知識體系，在證明時可以活學(xué)活用.

案例1復(fù)習(xí)梯形.

在教學(xué)設(shè)計時可以通過設(shè)計問題串的方式幫助學(xué)生完善知識結(jié)構(gòu).

（1）什么樣的四邊形是梯形？

（2）怎樣讓這個梯形變成等腰梯形？有幾種變法？

（3）怎樣的梯形是直角梯形？

（4）在等腰梯形ABCD中，AD與BC平行，你能得出什么結(jié)論呢？連接對角線AC，BD，你又能得出什么結(jié)論？

（5）若過點D作AC的平行線，與BC的延長線相交于點E，DE與BD是什么關(guān)系呢？

在引導(dǎo)學(xué)生回答問題的過程中，教師進(jìn)行板書梳理知識，在板書中呈現(xiàn)知識體系（如圖1所示），也可以通過圖形來表示概念之間的關(guān)系（如圖2所示）.總之，教師進(jìn)行示范引導(dǎo)如何歸納知識，在此基礎(chǔ)上也可以由學(xué)生完成，教師進(jìn)行指導(dǎo)，有了完整的知識體系，學(xué)生的證明才有了基礎(chǔ).

圖1

圖2

2.性質(zhì)判定和結(jié)論比較

幾何證明中涉及性質(zhì)判定和證明的重要結(jié)論，這些對學(xué)生來說容易混淆不清，影響證明題的解決.在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行性質(zhì)和判定的比較，如平行四邊形的性質(zhì)和判定，看似差不多的表述，實則是兩個角度的正反運(yùn)用，教師要注意進(jìn)行比較和區(qū)分，幫助學(xué)生確定其使用的情境和因果關(guān)系的區(qū)別，在使用時學(xué)生才能快速做出甄別.

幾何證明中的重要結(jié)論也是證明過程中需要使用的重要知識，是解決新的問題的橋梁，因此既要進(jìn)行歸納，又要區(qū)別比較.圖3涉及的幾種圖形既有聯(lián)系又有區(qū)別，通過比較之后學(xué)生會更加扎實地掌握結(jié)論，在進(jìn)行幾何證明時判斷將更加快速，反應(yīng)更加迅捷.

圖3

在教學(xué)中通過對知識的歸納和比較，不僅幫助學(xué)生梳理了知識，還能培養(yǎng)學(xué)生歸納比較和推理分析的能力，逐漸形成幾何思想，為解決幾何證明題助力.

加強(qiáng)變式練習(xí)，提升論證能力

幾何證明題的難點之一就在于圖形的千變?nèi)f化，學(xué)生難以從中找到規(guī)律，因此我們可以加強(qiáng)變式訓(xùn)練，拓展學(xué)生思維的發(fā)散性和邏輯性，使學(xué)生能夠適應(yīng)幾何證明題的千變?nèi)f化.比如可以嘗試將一道題的結(jié)論和條件不換，或者改變結(jié)論，增減條件等等，讓學(xué)生感受雖然看似變化的試題，實則運(yùn)用的推理方法有其共同點，突破學(xué)生的心理障礙.

1.變條件

案例2復(fù)習(xí)梯形.

原題：如圖4所示，在等腰梯形ABCD中，AD與BC平行，如果∠B為60°，求∠A，∠C和∠D的度數(shù).

圖4

變式1：如圖4所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AD與BC平行，如果∠B為60°，BC=12，AB=6，那么AD的長度為多少？

變式2：如圖5所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AD與BC平行，如果對角線AC與BD垂直，BC=12，AD=6，求出梯形ABCD的面積.

圖5

本例中首先通過原題復(fù)習(xí)了梯形的邊和角的相關(guān)性質(zhì)，通過添加條件引出變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了三角形、四邊形的相關(guān)知識點，再通過梯形的輔助線，將梯形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而復(fù)習(xí)了梯形的周長、面積等知識點.通過這樣的變式訓(xùn)練，在一道題的基礎(chǔ)上復(fù)習(xí)了梯形及其相關(guān)的一系列知識，復(fù)習(xí)全面，而且學(xué)生通過這樣的變式訓(xùn)練，對知識點之間和圖形之間的關(guān)系有了比較清晰的認(rèn)識，理清了幾何證明題的邏輯關(guān)系.

2.變結(jié)論

案例3復(fù)習(xí)等腰梯形的判定.

如圖6所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，直線l過線段AC上的一點Q，與線段AB相交于點D，CE與AB平行，與直線l相交于點E，直線l的旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)α滿足什么條件，四邊形EDBC是等腰梯形？α滿足什么條件，四邊形EDBC是直角梯形？

圖6

本例通過設(shè)置不同的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生分析條件的改變，通過動態(tài)的展示幫助學(xué)生理解在條件改變的情況下，結(jié)論也隨之改變，有效復(fù)習(xí)了不同梯形的判定方法，提升了學(xué)生幾何推理能力.

3.變圖形

幾何論證題的圖形千變?nèi)f化，但是不同的圖形之間也有一定的內(nèi)在聯(lián)系，教師可以通過設(shè)置階梯式的問題幫助學(xué)生找到不同圖形之間的聯(lián)系，使學(xué)生能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住核心，突破幾何論證題的難點.也可以將同類圖形放在一起進(jìn)行解題和比較，加深學(xué)生的印象，明白萬變不離其宗，抓住關(guān)鍵的道理.

案例4判斷位置關(guān)系.

原題：如圖7所示，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，線段AC和BD的中點分別是點E和F.證明BE和DE相等，并判斷EF與BD的位置關(guān)系，說一說你的理由.

圖7

變式：與“原題”的條件一致，EF與BD的位置關(guān)系有什么變化嗎（如圖8所示）？說一說你的理由.

圖8

幾何證明題對于學(xué)生的難點就在于稍微變換圖形或者條件，學(xué)生就難以從中找到突破口，無法聯(lián)系自己已知的條件，但是搞“題海”戰(zhàn)術(shù)，往往是治標(biāo)不治本，不能從根本上解決問題.這就要求教師要在設(shè)計上下功法，本例中看似沒有關(guān)系的兩道題，實則圖形上卻有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，通過這樣的組合訓(xùn)練，就能提高學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，讓解題變得更加容易，學(xué)習(xí)變得更加輕松.

滲透轉(zhuǎn)化思想，指明論證方向

幾何證明題種類豐富，但是幾何證明的知識卻是固定不變的，關(guān)鍵是如何在未知和已知之間找到連接點，讓證明找到出口.那么數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想就起到至關(guān)重要的作用，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已會的方法進(jìn)行解答，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的步驟來解決，滲透轉(zhuǎn)化思想是教學(xué)策略的重要一環(huán).常見的轉(zhuǎn)化就有把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，把難度較高的四邊形、梯形轉(zhuǎn)化為難度較低的平行四邊形或者三角形等.如復(fù)習(xí)梯形時就可以通過添加輔助線等將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或者三角形進(jìn)行計算和證明.

幾何證明題的轉(zhuǎn)化通常都是轉(zhuǎn)化為基本圖形進(jìn)行解決，教學(xué)中要注意對基本圖形進(jìn)行歸納和整理，讓學(xué)生熟知，并能快速反應(yīng).當(dāng)然僅僅知道如何分離出基本圖形還不足以使學(xué)生的高階思維得到拓展，還要學(xué)會在復(fù)雜圖形中構(gòu)造基本圖形.

案例5反比例函數(shù).

圖9

這是一道復(fù)雜的綜合題，既涉及幾何知識，又有函數(shù)知識，需要學(xué)生能善于使用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化成相似三角形（如圖10所示）從而求出答案，看似異常復(fù)雜難以解決的試題最后迎刃而解，就恰恰是巧妙使用了轉(zhuǎn)化的思想.轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)問題當(dāng)中使用非常廣泛，如果使用得當(dāng)，會發(fā)現(xiàn)很多題目的奧妙之處，但是很多學(xué)生卻常常苦于不會使用轉(zhuǎn)化的思想.究其原因是在于知識掌握得不扎實以及平時的思維訓(xùn)練不夠，那么教師不能聽之任之，要精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，在例題的講解中注意綜合聯(lián)系，不斷歸納總結(jié)和示范比較，經(jīng)過不斷的訓(xùn)練，滲透轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生的解題能力一定能獲得更大的提高.

圖10

總之，不積跬步無以至千里，再難的路只要下定決心就一定能有所開拓.只要教師在教學(xué)的點點滴滴中注意關(guān)注和滲透，夯實基礎(chǔ)知識，梳理知識結(jié)構(gòu)，精心設(shè)計題型，講解方法，滲透思想，就一定能在幾何證明題的教學(xué)中取得突破，為學(xué)生的進(jìn)一步長期學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).