啟發數學思維 助力高效課堂
——以“直線與圓的位置關系”的教學為例

劉暢

廣東省東莞市南城陽光實驗中學 523012

筆者在教學“直線與圓的位置關系”時，為了能夠引導學生進行深度思考，結合教學內容精心籌備，在數學思維的助力下，去培養學生自主分析問題和自主解決問題的能力，進而提高他們的數學核心素養.

直覺思維促源起

數學直覺思維是對數學對象的最直接感悟，雖然其具有一定的瞬間性和不確定性，但卻是開啟學生思維的起點.在新知教學中，教師需要調動學生的一切與問題相關的數學意識，從而開啟認知的大門，促使他們領悟數學對象的本質.要想啟發學生的直覺思維，教師應將課堂教學主體定位于學生，將教學的引入點定位于學生的已有認知或已有經驗，進而讓學生的數學思維在開放的、平等的空間內不斷提升.

環節1：借助生活現象，感悟位置關系

師：我們都看過日出，你眼中的日出與視頻的相比哪個更美呢？（教師用視頻展示太陽從海平面逐漸升起的畫面.）

生齊聲答：視頻里的美！

借助生活情境為后面問題的引出奠定了基礎，同時結合現代多媒體技術，使數學課堂變得更加生動，課堂氣氛和諧.

師：如果將“太陽”看作“圓”，將“海平面”看作“直線”，聯想一下剛剛視頻中太陽升起的過程，你能說說兩者的位置關系嗎？（學生回憶時，教師在黑板上畫出圓O，用直尺上下移動，進一步啟發學生思維）

生1：我認為可以根據交點個數來分，分為三類，分別為0個、1個和2個.

師：你能根據剛剛的視頻描述一下嗎？

生1：在沒有看到“太陽”時，“太陽”與“海平面”沒有交點；隨著時間的推移，慢慢地我們看見了“太陽”，這時有兩個交點；當太陽升起至某一位置時，兩者僅有一個交點.

師：說得很形象，你們是不是也是這樣分類的呢？

在此環節，教師創設了學生熟悉的問題情境，學生根據生活經驗和直觀感受快速地對問題做出了判斷.雖然直觀思維沒有邏輯思維那么嚴謹，但是在日常生活中最為常用，也是數學知識發現和發展的動力源.要知道數學知識源于生活，大多數學概念、公式、定理等內容都是從生活中不斷抽象、不斷實踐提煉出來的.人對知識最初的感知就是源于直覺，為此在數學教學中，教師應善于利用一些教學情境來激發學生的直覺思維，先讓學生對問題形成一個直觀感受，接下來通過恰當的問題激發學生運用所學知識去驗證和推理，將其提煉和抽象為數學認知.如在探究直線與圓的位置關系時，教師通過引入恰當的情境讓學生迅速地對問題做出了直觀的判斷，從而得出了直線與圓的位置關系的分類，這樣既淡化了數學的抽象感，又用直觀的思維方式讓學生對知識有了初步的認知.

邏輯思維促生成

經過前面問題的鋪墊，學生對直線與圓的位置關系有了感性的認知.我們如何用數學語言來嚴格證明這些關系呢？通過“由形到數”的探究，引導學生用準確的數學語言進行表述，并將位置關系抽象為用r與d的大小關系來判斷的問題.這樣的過程充分培養了學生的邏輯思維.

環節2：量化分析

師：通過直觀觀察我們知道了直線與圓存在三種關系，按照交點個數的0個、1個和2個分別將其定義為相離、相切和相交.聯想黑板上圓與直尺的位置關系，如果將其用圖形來表達改為用數量來刻畫，應該如何操作呢？（學生沉思）

生2：黑板上的圓O是固定的，當直尺從下逐漸向圓移動時，直線與圓越來越近，為此可以用遠近的值進行刻畫.

師：說得很好，為了便于表達，你認為在圓上取哪一點為參照更易于表達呢？（教師引導學生選擇圓心）

生3：我認為可以選擇圓心，因為圓上有無數個點，而圓心最為特殊，更易于觀察.

師：說得非常好，應該如何表述呢？

生4：圓心為點，可以利用點到直線的距離這個數量關系表述.

生5：我感覺這樣表述缺少一些東西，隨著直線的移動，點到直線有無數個距離，若沒有一個距離值作為參照，很難正確表述.

師：這確實是一個問題，你認為我們還應該知道什么呢？

生5：還應該知道半徑的大小.

在此環節，教師通過問題的引導啟發學生進行邏輯分析.通過探究學生發現了圓心到直線距離與半徑的關系.通過量化分析，知曉了問題的核心，當圓O與直線l相交時，此時d（圓心到直線的距離）＜r；當圓O與直線l相切時，d=r；當圓O與直線l相離時，此時d＞r.反之，根據d與r的大小關系也可以推導出圓與直線的位置關系.

就這樣，學生最初的直觀認識通過量化分析后，直指問題的核心.學生經歷了“由形到數”的轉化，使思維逐漸趨于嚴謹，揭示了問題的本質，抽象形成概念，并可以應用概念去進行判斷和推理，實現了問題的一般轉化.相信在邏輯思維的參與下，學生的分析、推理、抽象概況能力都會有所提升，幫助學生獲得了更好的數學體驗，有助于培養學生的數學核心素養.

應變思維促深化

例、習題教學有利于新知的鞏固，是數學教學中不能缺少的重要環節，借助應用可以有效地檢測學生掌握知識的情況，有助于學生內化知識.通過前面的探究，概念已經形成，此時教師應借助一些例、習題進一步訓練學生的思維，以提高學生的應變思維能力，培養學生的解決問題能力.學生的思維是否能夠有效地參與到解題過程中將關系到教學目標的實現，關系到學生學習能力的提升，為此在教學中教師要發揮好例、習題的功能.

環節3：典型解析

例1如圖1，在△ABC中，已知AC=6，∠A=45°，以點C為圓心畫圓.圓的半徑r如下，請說明直線AB與圓C的位置關系.

圖1

師：你們認為解題的關鍵是什么呢？

生6：我認為解題的關鍵就是要求點C到直線AB的距離.

本題并不復雜，學生可以根據已有經驗輕松計算出CD的長度，為了發揮習題的示范功能，教師將解題過程進行板演，進而讓學生與自己的解題過程相對比，形成解題規范.

在此環節中，大多數學生都能夠積極參與，并應用d與r的數量關系解決問題，達到深化知識理解、感悟數學應用的目的.不過對于以上問題的理解，部分學生可能會存在一些問題，因為若要解決本題就需要根據已知進行定量分析，并在分析過程中不斷應變，對于一些基礎較為薄弱的學生來講，應變思維較差，為此教師應該多一些耐心，多讓學生在實踐過程中獲得一些切身的感悟，以此引導學生在經歷解決問題的過程中啟動應變思維，深化知識理解.

系統思維促完善

在數學教學中，為了幫助學生更好地理解知識、理解數學，教師有必要進行一些拓展訓練，既發散學生思維，培養其思維的靈活性，又幫助學生完善知識結構，以提升自身的學力.為了完成拓展訓練，學生會進行深度思考，靈活運用已有的知識進行整體分析，進而抓住問題的核心和本質，同時學會辨析整體條件與部分條件間的關系，借助系統思維進一步積累解題經驗，提升解題能力.

環節4：適度拓展，積累經驗

例2如圖2，已知Rt△ABC的斜邊AB為6 cm，直角邊AC為3 cm，圓心為A，半徑分別為2 cm、4 cm的兩個圓與直線BC有怎樣的位置關系？半徑r多長時，BC與圓A相切？

圖2

變式1：若其他條件不變，將圓心A變為圓心C，此時半徑分別為2 cm、4 cm的兩個圓與直線AB有怎樣的位置關系？半徑r多長時，AB與圓C相切？

變式2：若將變式1中的直線AB變為邊AB，使圓C與邊AB有交點，則圓半徑r應取怎樣的值？

借助變式1進行縱向拓展，便于學生理解問題的本質，判斷圓與直線的位置關系其本質就是判斷“圓O的半徑與圓心O到直線l的距離d”的大小關系，只要掌握了這一核心要素，問題就可以迎刃而解.對于變式2，學生在應用以上方法進行判斷的同時，還應利用數形結合的方法進行整體思考.

通過同質問題的拓展，讓學生進一步熟悉了直線與圓的位置關系.教師在教學過程中要善于根據教學內容進行拓展和改編，進而通過有效問題的設置引導學生進行系統思維，啟發學生運用數學知識去解決一些現實的問題，同時對實際問題進行系統分析，以此培養學生思維的全面性，培養學生“用數學”的能力，進而提升數學核心素養.

總之，若想使課堂教學更加高效，則教師要善于在課堂的關鍵點進行科學預設，有效激發學生的數學思維，讓學生深度參與到課堂教學中，從而通過深度思考便于學生更好地理解知識、應用知識.