一類具有全局中心的Hamilton系統(tǒng)在分片多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)

賈秀平，李寶毅，張永康，隋世友

（1.天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387；2.天津商業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300134）

1 引言與主要結(jié)果

在平面微分方程定性理論中，Hamilton系統(tǒng)在小擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的估計(jì)是一個(gè)熱點(diǎn)問題，其與弱化Hilbert第16問題[1-2]密切相關(guān).對(duì)于特殊形式的Hamilton函數(shù)H（x，y）=y2/2+Pk（x），Pk（x）為x的k次多項(xiàng)式，當(dāng)k=3、4時(shí)，稱H（x，y）為橢圓函數(shù)，當(dāng)k≥5時(shí)，稱H（x，y）為超橢圓函數(shù).

當(dāng)k=3時(shí)，若對(duì)應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)具有周期閉軌族，則Hamilton函數(shù)可以標(biāo)準(zhǔn)化為H（x，y）=y2/2+x3-x.對(duì)于該系統(tǒng)，文獻(xiàn)[3]討論了其在多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)，文獻(xiàn)[4]將平面分為左右2個(gè)區(qū)域，文獻(xiàn)[5]將平面分為上下2個(gè)區(qū)域，分別得到該系統(tǒng)在分片n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過16n+[n/2]-10（計(jì)重?cái)?shù)）和7n+[（n-1）/2]（計(jì)重?cái)?shù)）.

當(dāng)k=4時(shí)，若對(duì)應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)具有周期閉軌族，則系統(tǒng)有5種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：①包含2個(gè)鞍點(diǎn)異宿環(huán)圍成的周期環(huán)域；②同宿環(huán)圍成周期環(huán)域；③尖點(diǎn)環(huán)內(nèi)外均為周期環(huán)域；④“8字形”雙同宿環(huán)內(nèi)外具有3個(gè)周期環(huán)域；⑤具有全局中心.文獻(xiàn)[6]綜合考慮了這5種情況，證明了系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過7n+5.文獻(xiàn)[7]對(duì)這5種情況的研究結(jié)果進(jìn)行了綜述.對(duì)于情況④，文獻(xiàn)[8]討論了H（x，y）=y2+x4-x2的系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)；文獻(xiàn)[9]研究了H（x，y）=y2+x4-x2-λx的系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)；當(dāng)平面分為左右2個(gè)區(qū)域時(shí)，文獻(xiàn)[10]得到了H（x，y）=y2/2-x2/2+x4/2的系統(tǒng)在分片n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過2n+7[n/2]+1（計(jì)重?cái)?shù)）.對(duì)于情況⑤，文獻(xiàn)[11]討論了H（x，y）=y2+x4+x2的系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下Abel積分的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)；文獻(xiàn)[12]證明了H（x，y）=y2/2+ax2/2+bx4/2的系統(tǒng)在一類特殊的3次多項(xiàng)式擾動(dòng)下至多有2個(gè)極限環(huán)；文獻(xiàn)[13]證明了當(dāng)Abel積分不恒為零時(shí)，H（x，y）=y2/2+x2/2+x4/2的系統(tǒng)在一般的3次多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界為2.

當(dāng)k≥5時(shí)，系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的研究難度陡然增加，文獻(xiàn)[14]證明了H（x，y）=y2/2+ax2/2+bx4/4+cx6/6的系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過54n-13（計(jì)重?cái)?shù)）.

本文以x軸為切換直線將平面分為上下2個(gè)區(qū)域，考慮系統(tǒng)

其中：0＜ε?1，n∈N+；

當(dāng)ε=0時(shí)，系統(tǒng)（1）0的Hamilton函數(shù)為

當(dāng)h∈（0，+∞）時(shí)，系統(tǒng)（1）0存在順時(shí)針走向的周期閉軌族Γh＝Γh＋∪Γh-，其中

設(shè)Γh與x軸正、負(fù)半軸分別交于點(diǎn)A+（ah，0）、A-（-ah，0），其中

定理當(dāng)h∈（0，+∞），且系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)不恒為零時(shí)，系統(tǒng)（1）ε的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過6n-2[1+（-1）n]（計(jì)重?cái)?shù)）.

2 一階Melnikov函數(shù)的推導(dǎo)

根據(jù)Γh的對(duì)稱性可得

引理1當(dāng)h∈（0，+∞），i、j∈N+時(shí)，有

證明對(duì)式（2）關(guān)于x求導(dǎo)得

式（7）乘以x2i+1yjdx，并沿Γh＋積分得

因?yàn)?/p>

將式（9）代入式（8）整理得

即

式（5）得證.

式（2）乘以x2iyjdx，并沿Γh＋積分得

將式（5）代入上式化簡得

式（6）得證.引理得證.

引理2當(dāng)h∈（0，+∞）時(shí)，有

其中：fl（h）、（h）、gl（h）、（h）分別為關(guān)于h的次數(shù)不超過l的多項(xiàng)式.

證明當(dāng)m=1、2時(shí)，由引理1可知式（10）顯然成立.

假設(shè)當(dāng)m≤2k時(shí)式（10）成立，則當(dāng)m=2k+1時(shí)，由式（5）可得

其中：

從而有

因此，當(dāng)m=2k+1時(shí)，式（10）成立.當(dāng)m=2k+2時(shí)，由式（5）可得

其中：

從而有

因此，當(dāng)m=2k+2時(shí)，式（10）成立.綜上式（10）得證.

利用與式（10）類似的證明過程可證得式（11）成立.引理得證.

命題當(dāng)h∈（0，+∞）時(shí)，系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)為

其中：多項(xiàng)式ui，n（h），i=1、2、3、4滿足

證明由式（3）、式（4）和式（9）可得

在式（6）中取（i，j）=（0，0）得

采用數(shù)學(xué)歸納法證明式（13）.當(dāng)n=2時(shí)，M1（h）=q*00I+00，式（13）成立.當(dāng)n=1時(shí)，M1（h）=q*00I+00+q*01I+01，式（13）成立.由式（14）可知，當(dāng)n=2時(shí)，

式（13）成立.假設(shè)當(dāng)n=2k時(shí)式（13）成立，則當(dāng)n=2k+1時(shí)，結(jié)合引理2可知，式（13）右端新增加的項(xiàng)為hkI+01和hk-1I+21，式（13）左端新增加的項(xiàng)為

因此，當(dāng)n=2k+1時(shí)，有

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

即當(dāng)n=2k+1時(shí)式（13）成立.

當(dāng)n=2k+2時(shí)，結(jié)合引理2可知，式（13）右端新增加的項(xiàng)為hk+1I+00和hkI+20，式（13）左端新增加的項(xiàng)為

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

因此，當(dāng)n=2k+2時(shí)，有

其中系數(shù)多項(xiàng)式滿足

即當(dāng)n=2k+2時(shí)式（13）成立.綜上，命題得證.為方便，記Δ（h）=h（4h+1）.

引理3I+00、I+20滿足Picard-Fuchs方程組

證明由式（2）得，所以又因?yàn)?/p>

則有

所以式（15）成立.對(duì)式（15）關(guān)于h求導(dǎo)，并將式（15）代入，整理可得式（16）.引理得證.

引理4I+01、I+21滿足Picard-Fuchs方程組

證明利用結(jié)合文獻(xiàn)[13]的引理1可知式（18）成立.對(duì)式（18）關(guān)于h求導(dǎo)，并將式（18）代入，整理可得式（19）.引理得證.

3 一階Melnikov函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)

引理5[4]設(shè)K為一個(gè)開區(qū)間，h∈K，P2（h）、P1（h）、P0（h）和R（h）均為K上的充分光滑的連續(xù)函數(shù)，P2（h）的零點(diǎn)是孤立的，且

存在一個(gè)非平凡解Φ1（h），則

的任一解在K上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）不超過p+2w+r+2，其中p、w、r分別為P2（h）、Φ1（h）、R（h）在K上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）.

為方便，f（h）在h∈（0，+∞）上的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）記為#f（h）.

定理的證明在式（12）中令

對(duì)Ψ1（h）關(guān)于h求導(dǎo)，由引理4可得

其中：

從而

設(shè)P2（h）為k次多項(xiàng)式，P1（h）為k+1次多項(xiàng)式，P0（h）為k+2次多項(xiàng)式，則式（20）左端為關(guān)于h的次數(shù)不超過β+k+2的多項(xiàng)式，共有β+k+3項(xiàng)，若令各項(xiàng)系數(shù)為0，則得到β+k+3個(gè)線性方程.式（21）左端為關(guān)于h的次數(shù)不超過β+k+1的多項(xiàng)式，共有β+k+2項(xiàng)，若令各項(xiàng)系數(shù)為0，則得到β+k+2個(gè)線性方程.因此可得到一個(gè)含有2β+2k+5個(gè)方程的線性方程組.又由于P2（h）、P1（h）和P0（h）中分別有k+1個(gè)、k+2個(gè)和k+3個(gè)待定系數(shù)，則線性方程組共有3k+6個(gè)待定系數(shù).因此，當(dāng)3k+6>2β+2k+5，即k>2β-1時(shí)，線性方程組存在非零解.取k=2β，則存在系數(shù)不全為0的實(shí)系數(shù)2β次多項(xiàng)式P2（h）、2β+1次多項(xiàng)式P1（h）和2β+2次多項(xiàng)式P0（h），使得L（Ψ1（h））≡0.

對(duì)Ψ0（h）關(guān)于h求導(dǎo)，由引理3可得

其中：

從而

其中：

從而

因此

由P2（h）的次數(shù)可得p=#P2（h）Δ2（h）=#P2（h）≤2β，又由文獻(xiàn)[15]可知w=#Ψ1（h）≤2[（n-1）/2]=2β，則由引理5可得

由此可得，在分片n（n∈N+）次多項(xiàng)式擾動(dòng)下，當(dāng)M1（h）?0時(shí)，系統(tǒng)（1）ε的極限環(huán)個(gè)數(shù)不超過6n-2[1+（-1）n]（計(jì)重?cái)?shù)）.定理得證.