巧借“微專題”提升高三數學二輪復習品質

方麗娜

安徽省亳州市利辛縣第七中學 236700

教學現狀

經過高三一輪復習后，學生的“雙基”得到了鞏固和強化，學生的知識網絡和方法體系已經基本形成.二輪復習時，部分教師將教學重點放在做題上，片面地認為只有多做題才能提升學生的解題效率和數學成績.于是，二輪復習時，大多數學生容易沉迷于“題海”，機械地進行模仿和復制，這樣不僅浪費了寶貴的復習時間，而且因為重復做題形成了思維定式，遇到問題不去思考，而是機械地套用概念、公式、定理，使思維缺乏靈活性和變通性，學生分析和解決問題的能力未能得到提高，繼而影響到二輪復習的效果.另外，二輪復習時為了追求大容量、高速度，部分課堂仍以教師為主導，表面上課堂容量大、方法多、速度快，但是因缺乏學生的思維過程，忽視學生數學思維的訓練，使得看上去熱熱鬧鬧的課堂變成了教師的“獨角戲”，學生的思維能力和解題能力并沒有得到明顯的提升.

教學分析

縱觀歷屆高考，雖然題目復雜多變，然仔細分析不難發現，其考查的是學生靈活應用基礎知識和方法解決問題的能力，考查的是學生的數學核心素養和數學能力.然在二輪復習中，不乏有些師生為了追求新、追求難，使教學發生了偏移，影響了教學效果.為了保證二輪復習的效果，筆者認為，教學中可以選擇適當的微專題進行教學，這樣既能突出數學本質，又能發展學生的思維.當然，教學中也要改變教學方式和學習方式，充分發揮學生的主體地位，引導學生學會思考、學會學習，從而讓學生可以更好地理解數學、應用數學.

筆者通過“以正切為背景的最值問題”這一微專題為例，闡述了自己對二輪復習的幾點認識，供參考.

教學片段

片段1：探究實例，夯實基礎

師：思考一下，如何求解例1？（教師用PPT給出例1，并讓學生獨立思考）

例1在斜△ABC中，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

生1：由A+B+C=π，得tanA=tan［π-（B+C）］=-，展開得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.

設計意圖：例1為教材習題，這樣以學生熟悉的習題為引例，讓學生更有親切感，更易于激發學生的參與積極性.本題求解時利用“A+B+C=π”這一等量關系，通過兩角和的正切公式探究tanA，tanB，tanC三者的等量關系式，便于學生理解和接受.

師：例1求解大家都完成得非常好，現在我們一起來看一下例2.（教師繼續給出問題）

例2在銳角三角形ABC中，已知sinC=4cosAcosB，求tanAtanB的最大值.

同樣，例2求解依然以生為主，教師引導學生將已知轉化為三個角的正切關系.

生2：由sinC=4cosAcosB 得sin（A+B）=4cosAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=4cosAcosB.由C∈（0，π），可知sinC≠0，則cosAcosB≠0.于是上述等式左、右兩邊同時除以cosAcosB，得tanA+tanB=4.又△ABC為銳角三角形，故tanA ＞0，tanB＞0，則tanA+tanB≥，所以當tanA=tanB=2時，tanAtanB取得最大值4，此時tanC=，符合題意.

設計意圖：借助簡單的、易于理解的問題幫助學生回顧三角形內角的正弦、余弦轉化為正切的基本思路，以及二元求最值的基本方法.

師：在例2的條件下，能否轉化為其他的最值問題呢？（生深思）

生3：求tanA+tanB+tanC的最小值.

教師讓學生獨立求解，并展示了求解過程，最終求得tanA+tanB+tanC的最小值為

師：還有其他變式嗎？

學生探究的過程這里就不再詳細展示了.這樣讓學生自己嘗試變式，目的是讓學生明確消元是求三角形內角A，B，C正切表達式最值的基本思路，即通過消元將原問題轉化為一元函數求最值問題或轉化為二元不等式求最值問題.

師：剛剛研究了三角形中角的正切，接下來還能研究什么呢？

生齊聲答：正弦、余弦.

師：很好，三者密不可分，可以相互轉化.如何將正切轉化為正弦、余弦呢？

師：若是正弦、余弦轉化為正切呢？

生7：若已知中是關于正弦、余弦的分式，且分子和分母為齊次式，這樣只要分子和分母同時除以角的余弦即可完成轉化.

師：說得很好，若是關于正弦、余弦的等式呢？

生齊聲答：等式兩邊同時除以角的余弦.

師：試求sin2A+sin2B的最大值.

設計意圖：教師先是強調正弦、余弦、正切三者之間的聯系，接下來又讓學生回顧如何實現相互轉化，為接下來的探究指明了方向.同時，經歷以上過程，不僅鞏固了知識，而且完成了數學思想的滲透，有利于學生數學學習能力的提升.

片段2：數形結合，深化理解

師：我們知道“數”“形”一家，剛剛的已知條件都是用“數”來表示的，現在我們從“形”出發，又該如何轉化呢？（教師用PPT展示例3）

例3如圖1所示，在銳角三角形ABC中，CD⊥AB，垂足為D，且AD∶DB=3∶1，求（1）tanA+tanB+tanC的最小值；（2）sin2A+sin2B的最大值.

圖1

設計意圖：轉換思路，為后期的拓展延伸做鋪墊.學生通過探究可以發現，已知條件AD∶DB=3∶1可以轉化為tanB=3tanA，這樣通過以上解題思路可以輕松求解.

片段3：有效拓展，抽象方法

師：在三角形中，還有哪些量是值得我們研究的呢？

生8：三角形的邊、高、周長、面積等.

師：很好，由例3的已知條件AD∶DB=3∶1，我們可以知道什么呢？

生齊聲答：tanB=3tanA.

師：此時三角形的面積是否有最值呢？（生交流）

生8：我認為沒有最值，僅已知角的關系式，三角形之間是相似關系，這樣只能確定三角形相應的形狀，無法確定邊、面積、周長等大小.

師：說得非常好，看來如果要探尋三角形面積的最值需要添加一個條件，你們覺得添加什么條件比較合理呢？

生9：可以確定一條邊.

師：給出你的完整設計.

生9：在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，求S△ABC的最值.

師：很好！大家看一下，添加條件后是否能夠求最值了呢？（教師讓學生獨立思考后，交流展示）

師：很好，運算簡單，思路清晰.是否還有其他解題方法呢？

生12：還可以通過建系，將問題轉化成點的軌跡問題.

師：具體說一說.

生12：如圖2所示，以點A為原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則點B的坐標為（c，0）.設直線AC為y=kx（k＞0），根據tanB=3tanA，得BC為y=-3k（xc），聯立方程后消去k可得x=c.所以點C的軌跡為直線x=c（去除與x軸的交點）.接下來通過設點，結合已知，利用三角形面積公式和基本不等式，求得△ABC面積的最大值為

圖2

在生12的基礎上，學生又給出了不同的建系方法，如以C為原點，CA所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，同樣可以求得△ABC面積的最大值.

設計意圖：鼓勵學生根據已有經驗進行多角度探究，并總結歸納出將三角形的正切關系轉化為邊的關系的常用策略（如將正切轉化為正弦、余弦，實現邊角關系的轉化；構造直角三角形；建立坐標系，轉化為點的軌跡問題）.以此既發散了思維，豐富了學生認知，又總結了解決問題的常見策略，有利于學生解題能力的提升.同時，在求最值的過程中，對消元、整體代換、基本不等式、數形結合等數學思想方法的應用，提升了學生數學運算能力.

片段4：更換條件，內化知識

接下來，學生又嘗試了不同的情況，如更換為a=1，求得當m2=時，△ABC面積的最大值為1；更換為c=1，此時點C的軌跡為直線x=，△ABC的面積無最值.

師：若在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，則△ABC的面積存在最大值.那么在此條件下，△ABC的周長是否存在最大值呢？

生14：還可以用方程的思路求解，令△ABC的周長t=a+c+1，得a=t-c-1，代入2a2+c2=2，這樣問題就可以轉化為了關于c的方程有正實數解的問題.

設計意圖：這樣借助“變”進一步深化認知，突出求二元最值的方法，讓學生能夠靈活應用所學知識和方法解決不同問題.

片段5：自主改編，強化理解

師：剛剛題目中的已知條件為tanB=3tanA，題設信息比較直白，如果換一個方式，轉換一個角度，你認為可以如何改編已知條件？

生15：將“tanB=3tanA”改編為“2a2+c2=2b2”.

生16：將“tanB=3tanA”改編為“2sin2A+sin2C=2sin2B”.

師：很好，這些內容剛剛我們已經探究過，是大家熟悉的內容，如果從正弦、余弦定理的角度去改編，你認為可以怎樣更換已知條件呢？

生17：a2=b2+c2-2bccosA，代入2a2+c2=2b2，整理得3c=4bcosA.

師：太棒了，還有嗎？

生18：還可以從sinBcosA=3sinAcosB入手，轉化為sinC=4sinAcosB或c=4acosB.

師：很好，這樣轉化后問題變得更加新穎別致了.類比上面的方法，是否能夠為目標中的“變個身”呢？

師：剛剛我們為已知和目標都找到了許多“新分身”，如果將其重新組合可以得到許多新題，誰來嘗試“變一變”？

生19：在△ABC中，已知tanB=3tanA，△ABC的面積等于，求邊b的最小值.

師：很好，將已知與目標互換得到了新的問題.還有嗎？

師：解題時只要我們把握了數學的本質，就能以不變應萬變.

設計意圖：這樣通過變式改編，將一道題轉化為了一類題，不僅讓學生理解了解決問題的基本思路和基本策略，而且幫助學生跳出了茫茫的“題海”，有效地提升了教學效率.同時，在轉化、類比、總結歸納的過程中，有效提升了學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，發展了學生的數學思維.

教學思考

高三數學二輪復習對學生的成績提升至關重要，教師切勿急于求成而將學生帶入“題海”.在二輪復習中，教師設計微專題時可以選擇一些切口小、思維寬的問題為切入點，通過由淺入深的逐層深入，挖掘數學本質，探究數學方法，達到“會一題通一類”的效果.微專題的題材可以選擇易錯點、教學重難點、高考熱點等，通過對典型問題的探究更易于學生認識問題的本源，提升其解題能力.

教師在微專題的設計上應注意以下幾點：

1.要有明晰的知識和方法框架

為了幫助學生建立完善的認知結構，教師可以通過對關鍵詞的解讀和問題的解決幫助學生提煉出解決問題的基本方法，建構知識網絡.例如，本專題的教學中，以三角形的正切為背景，將正弦定理、余弦定理、消元、整體代換、函數單調性、基本不等式、數形結合等相關知識與方法串聯在了一起，形成了一條巨大的知識脈絡，這樣通過知識的遷移和拓展有助于學生綜合能力的提升.

2.要改變教師的教學方式

在傳統教學中，常常以教師為主導，致使教學效率低下.在新課堂上，教師應重視引導、提煉，關注學生的主體地位，引導學生主動揭開問題的面紗，使學生由被動“接受”轉化為主動“建構”，領悟數學的本質，形成數學品質和數學能力.

教學中，教師要跳出“一節一知識”的束縛，學會從整體上把握數學課程，突出教學主線，同時通過引導和追問讓學生將分散的知識點串聯起來，構建和完善認知.另外，要引導學生從多角度去分析和解決問題，感悟解決問題的策略與方法，體驗基本方法的應用，感受知識的價值，提升學生數學學習的信心.

3.要改變學生的學習方式

在傳統教學模式的影響下，很多學生已經習慣了“聽”和“記”，缺乏獨立思考和主動建構的能力，因此學習中顯得被動、消極.為了改變這一現狀，課堂上應多為學生創造一些機會去探究、去發現、去歸納總結，從而在探究的過程中發現并提出問題，在發現的過程中學會分析，在歸納總結中學會抽象，以此優化認知，提升實際解決問題的能力.

在本節微專題教學中，學生是課堂的主角，整個過程關注學生自主探究能力的提升.例如，解決了三個角正切值有關的問題后，教師并沒有引入新的問題進行“題海”強化，而是轉換角度，引導學生探究三角形的其他元素（如面積、周長）等，通過添加不同條件，應用不同方法揭示問題的本質，不僅深化了學生認知，而且拓展了學生的知識面，拓寬了學生的視野，讓學生的數學分析、數學運算等素養得到了真正的發展.

總之，二輪復習時教師不僅要關注學生解決問題能力的提升，還要關注學生自主探究能力的發展.可借助一題多變、一題多解揭示數學的本質，發展學生的數學思維，提升學生的數學素養.