GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用
——以“圓錐曲線”教學(xué)為例

李琨

廣東省中山市小欖中學(xué) 528415

隨著時代的進步，信息技術(shù)逐漸走進了高中數(shù)學(xué)課堂，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)的融合有效地打破了機械化、程序化、單一化的教學(xué)模式，為數(shù)學(xué)課堂注入了新的活力.GeoGebra（以下簡稱GGB）軟件可以生動化、過程化、形象化地呈現(xiàn)知識的形成過程，有助于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生在一個更為廣闊的空間里去發(fā)現(xiàn)、去總結(jié)，進而拓展學(xué)生的知識面，拓寬學(xué)生的視野，提高教學(xué)效率.

為了突破圓錐曲線這一教學(xué)難點，教師不斷地做了各種嘗試，如結(jié)合實物模型讓學(xué)生觀察，通過動手實驗讓學(xué)生體驗運動過程，然因高中生的空間思維能力較弱，所以大多數(shù)學(xué)生并未形成這種空間意識.隨著多媒體技術(shù)的發(fā)展，幾何畫板走進了數(shù)學(xué)課堂，雖然應(yīng)用幾何畫板可以動態(tài)地呈現(xiàn)圓錐曲線形成的過程，但是它不能讓學(xué)生更加直觀地感受圖像隨著曲線方程變化而變化的過程.另外，幾何畫板制作教學(xué)課件的過程較為煩瑣，而高三數(shù)學(xué)教學(xué)的時間緊、任務(wù)重，教師的時間和精力有限；同時，因其操作復(fù)雜，對于一些年紀大的教師來講也是一種壓力.可見，其并不是一種高質(zhì)、高效的手段.而GGB軟件的操作簡單，它的出現(xiàn)為數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了巨大便利［1］.基于此，筆者分析了圓錐曲線的地位、價值及教學(xué)現(xiàn)狀，并淺談如何借助GGB軟件高效完成圓錐曲線教學(xué)目標，以期共鑒！

圓錐曲線的地位及價值

圓錐曲線是高考中的核心考點，每年都有20分左右的題目與其直接相關(guān)，可見其在高考中的重要地位.圓錐曲線中的三種曲線形成了一個完整的知識體系，從定義、方程、性質(zhì)及應(yīng)用中都蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，尤其數(shù)形結(jié)合思想在整個體系教學(xué)中有著重要的應(yīng)用，方便學(xué)生將函數(shù)、向量等知識聯(lián)系在一起，進而幫助學(xué)生完成知識的內(nèi)化及知識體系的建構(gòu)，方便學(xué)生更加全面、更加系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容.同時，因三種曲線緊密相連，可引導(dǎo)學(xué)生利用橢圓的學(xué)習(xí)經(jīng)驗自主完成其他兩種曲線（雙曲線和拋物線）的學(xué)習(xí)，通過對比、交流、探究，深入理解和掌握三者的區(qū)別和聯(lián)系，進而培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.

由此可見，學(xué)好圓錐曲線不僅有利于高考數(shù)學(xué)成績的提升，而且有助于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，因此教學(xué)中必須采用更加高效和高質(zhì)的教學(xué)手段幫助學(xué)生克服圓錐曲線學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，以此提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

圓錐曲線教學(xué)現(xiàn)狀分析

高中教師知曉本章內(nèi)容在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位，也非常重視本章內(nèi)容的教學(xué)，然其教學(xué)方法依舊延續(xù)著傳統(tǒng)的“灌輸”教學(xué)模式，教師講解時并未結(jié)合學(xué)情進行教材和教法的鉆研，而是終而復(fù)始地重復(fù)著原有的教學(xué)方法，這樣的課堂是枯燥和乏味的，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，自然不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng).同時，部分教師在教學(xué)中習(xí)慣照本宣科，不重視教學(xué)過程，未能將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂完美地融合起來，沒有激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)生自然對知識的理解也無法深入.另外，按照大綱要求，本章內(nèi)容規(guī)定的課時較少，部分教師認為若教學(xué)中過多地進行過程演示可能會浪費寶貴的課堂時間，也會占用練習(xí)的時間，若沒有足夠的練習(xí)學(xué)生更難以理解.可見，“題海”思想在教學(xué)領(lǐng)域中還占有統(tǒng)治地位.然若沒有過程的講解，學(xué)生對知識的理解將過于概念化，缺乏應(yīng)變能力，這樣面對難度較大、計算較復(fù)雜的題目時容易產(chǎn)生心理負擔(dān)，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.

可見，圓錐曲線教學(xué)中存在著一些不足，教學(xué)中必須順應(yīng)時代的發(fā)展，發(fā)揮好信息技術(shù)的巨大優(yōu)勢，讓學(xué)生在知識的動態(tài)生成中去感悟和探究，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

GGB軟件引入的價值

基于圓錐曲線在高中數(shù)學(xué)中的地位及教學(xué)中存在的不足，教學(xué)中應(yīng)作出一些改變.經(jīng)教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，借助GGB軟件來制作圓錐曲線教學(xué)案例可以實現(xiàn)化抽象為具體的效果，不僅可以節(jié)省時間，而且通過動靜結(jié)合可以打破學(xué)生對定義、性質(zhì)的理解只能靠死記硬背來完成的尷尬局面，學(xué)生可以借助動畫去觀察、分析、總結(jié)，讓學(xué)生在動態(tài)變化中尋找規(guī)律，找到解決問題的方法，這樣對學(xué)生理解和應(yīng)用相關(guān)知識具有不可估量的作用［2］.同時，GGB軟件的操作簡單，只要拖動構(gòu)圖的元素，圖像就會隨著元素位置的變化而發(fā)生形變，有助于學(xué)生通過直觀觀察來體會從特殊到一般的過程.借助GGB軟件引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對比、分析、總結(jié)幾何圖形的性質(zhì)，不僅能加深學(xué)生對相關(guān)知識的理解，而且使學(xué)習(xí)變得更有畫面感，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于師生突破圓錐曲線這一教學(xué)難關(guān).

GGB在圓錐曲線教學(xué)中的應(yīng)用

限于篇幅，筆者以橢圓教學(xué)為例，展示了GGB軟件的應(yīng)用價值，以期改變教學(xué)現(xiàn)狀，讓學(xué)生學(xué)得更加輕松和愉悅.

1.教學(xué)目標

（1）知識與技能：①橢圓定義；②推導(dǎo)橢圓的標準方程.

（2）過程與方法：①借助GGB軟件展示模型，讓學(xué)生自己完成定義的總結(jié)和歸納；②利用GGB的運算功能，讓學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合推導(dǎo)出橢圓的標準方程.

（3）情感與價值觀：①通過直觀觀察和數(shù)學(xué)語言抽象，培養(yǎng)學(xué)生的直觀思維和數(shù)學(xué)語言應(yīng)用能力；②在過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想和坐標法，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升學(xué)習(xí)能力.

2.教學(xué)重難點

教學(xué)重點：橢圓的定義及標準方程.

教學(xué)難點：推導(dǎo)橢圓的標準方程.

3.教學(xué)過程

師：在生活中經(jīng)常會看到如圖1所示的橢圓形建筑，請大家想一想，在生活中你還看到了哪些橢圓呢？（教師用PPT展示圖1）

圖1

通過PPT的展示和生活中實物的聯(lián)想創(chuàng)建一個和諧的教學(xué)環(huán)境，為接下來的探究做好鋪墊.

師：請觀察圖2，你發(fā)現(xiàn)了什么？（教師運用GGB軟件進行圓錐曲線形成展示，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

圖2

生1：若用一個平面來切割圓錐，平面的角度不同，切割出的曲線也不同.

師：很好！這三種曲線就是本章學(xué)習(xí)重點.（教師借助GGB軟件的直觀性，讓學(xué)生對圓錐曲線章節(jié)內(nèi)容有一個整體認識，從而培養(yǎng)學(xué)生的整體意識，為后期的對比研究做好鋪墊）

師：在圓錐中放2個球（如圖3所示），一平面與兩球相切，猜想一下平面截圓錐面所得曲線會是什么圖形呢.

圖3

教師利用GGB軟件將雙球模型重新展現(xiàn)，學(xué)生仔細觀察圖形并結(jié)合圖2容易得出該截曲線為橢圓.通過動態(tài)觀察，激發(fā)學(xué)生的好奇心，高效引導(dǎo)學(xué)生進入橢圓定義的探究.

為了進一步探究橢圓的定義，在截曲線上任取一點P，過點P作圓錐的母線交小球于點A，連接PA，引導(dǎo)學(xué)生猜測PF1與PA的長度關(guān)系.學(xué)生大膽地猜測兩者的長度相等，教師并未急于給出答案，繼續(xù)利用GGB軟件讓學(xué)生過球外一點G作球的切線.如圖4所示，任取四條切線，切點分別為C，D，E，F(xiàn)，根據(jù)與圓的切線相類比，利用GGB軟件的測量功能容易得出GC=GE=GD=GF，于是學(xué)生順利地得出PF1=PA.同理，學(xué)生過點P作圓錐的母線，其與大球相交于點B，可得PB=PF2.當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探究的和為定值時，教師又利用GGB軟件引導(dǎo)學(xué)生觀察動點P的運動過程，隨著動點P的變化，PF1，PF2的長度也隨之發(fā)生了變化，然的值卻未改變，進而借助GGB軟件動態(tài)呈現(xiàn)了橢圓的定義生成過程.

圖4

學(xué)生掌握了橢圓的幾何定義，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度繼續(xù)探究，進而得出橢圓的標準方程.以F1F2所在的直線為x軸，以F1F2的中垂線為y軸，建立直角坐標系，設(shè)點P（x，y），F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），利用兩點的距離公式可得=2a.顯然，若對該方程進行化簡需要較長的時間，雖然教學(xué)中鼓勵學(xué)生多觀察、多動手，然其并不違背直接應(yīng)用前人的已有經(jīng)驗，因此化簡時可以利用GGB的運算功能來完成，這樣求解過程清晰可見，有利于課堂效率提升［3］.

這樣，在教學(xué)中應(yīng)用GGB軟件不僅可以讓學(xué)生在動態(tài)變化中理解概念定義的生成過程，而且可以借助其運算功能使學(xué)生從復(fù)雜的運算中脫離出來，避免學(xué)生僅重視標準方程的推導(dǎo)而忽視對橢圓定義的理解.可見，利用GGB軟件能有效化解教學(xué)的重難點，能減輕學(xué)生的運算負擔(dān)，提高課堂效率.