不等式“能成立”，多思維視角切入
——一道含參存在性問題的探究

張 彬

(江蘇省西亭高級中學，江蘇南通，226300)

涉及不等式“能成立”(或存在性成立)問題，是高中數學中有關函數與不等式的一個重點與難點，往往以含參不等式形式出現，是一類極具交匯性、綜合性與創新性的復雜應用問題，難度較大，形式多樣.此類不等式“能成立”問題知識融合性強，解決時有一定的經驗規律與技巧方法可循，能有效考查學生“四基”的落實情況，具有非常好的選拔性與區分度，倍受關注.

1 問題呈現

問題 (云南省昆明市2022屆高三“三診一模”摸底診斷測試理科數學·21)設函數f(x)=x2-axlnx，a∈R.

(1) 若a=1，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2) 若存在x0∈[1，e]，使得f(x0)<-e(a+e)成立，求a的取值范圍.

此題是新高考中比較常見的一類不等式“能成立”(或存在性成立)問題，以含參函數為問題背景，通過導數的幾何意義來構建，求解曲線上相關點處的切線方程；結合限定區間的給出，構建存在條件背景下的涉及參數的不等式成立問題，由此來求解參數的取值范圍.

這里以不等式“能成立”(或存在性成立)問題創設，通過含參存在性問題的構建，結合不等式成立來設置，可以借助不等式成立的背景，從直接構建函數、分離參數等方法構建相應的函數等常見的思維視角切入，也可以通過存在性問題成立的充要條件來合理分析與推導等.

2 問題破解

解析：(1) 由于函數f(x)=x2-axlnx，a∈R的定義域為(0，+∞).

若a=1，則f(x)=x2-xlnx，求導可得f′(x)=2x-(lnx+1).

而f′(1)=1，f(1)=1.

從而曲線y=f(x)在點(1，1)處的切線方程為y-1=1×(x-1)，即y=x；

(2) 方法1：(參考答案中的方法——同除簡化函數法)

分析：考慮到直接對函數f(x)求解相應的最小值，導數的運算量比較大，可以通過轉化，考慮將不等式f(x)<-e(a+e)兩邊同時除以x，從而將題干中的相關的復雜函數“axlnx”轉化為簡單函數“alnx”來處理，有效簡化函數來分析與處理.

解析：由不等式f(x)<-e(a+e)，整理可得x2-axlnx+e(a+e)<0.

因為x∈(0，+∞)，所以x+e>0，令g′(x)=0，得x=e+a.

若e+a≤1，即a≤1-e時，g(x)在[1，e]上單調遞增.

若e+a≥e，即a≥0時，g(x)在[1，e]上單調遞減.

只需g(e)=e-a+e+a<0，不成立；

若1

方法2：(參數分離法)

分析：考慮到要求解參數a的取值范圍，通過對不等式f(x)<-e(a+e)恒成立進行合理化歸與整理，結合變量的取值范圍進行分類討論，進而結合分離參數，并利用構建函數法將問題轉化為a

解析：由不等式f(x)<-e(a+e)，整理可得a(xlnx-e)>x2+e2.

當x=e時，a∈?；

由于x∈[1，e)，可得2x(xlnx-e)<0，(lnx+1)(x2+e2)>0，故g′(x)<0.

則知函數g(x)在[1，e)上單調遞減.

方法3：(逆否命題等價轉化法)

分析：通過對參數a進行分類討論，當a≤0時，結合函數的單調性以及函數的最值，結合不等式的性質與求解來確定參數a的取值范圍；而當a>0時，結合互為逆否命題的等價性思維，利用不等式的性質以及函數的單調性來確定此時不滿足條件；綜合分類討論法進而來確定參數a的取值范圍.

解析：由于當x∈[1，e]時，xlnx和x2均是單調遞增.

則當a≤0時，f(x)=x2-axlnx在[1，e]上單調遞增，此時f(x)min=f(1)=1.

而當a>0時，對任意x∈[1，e].

由f(x)+e(a+e)=x2-axlnx+e(a+e)=(e-xlnx)a+e2+x2.

而由于x∈[1，e]，可得1≤xlnx≤e，即e-xlnx≥0.

所以f(x)+e(a+e)=(e-xlnx)a+e2+x2>e2+x2>0恒成立.

由此可得，當a>0時，不存在x0∈[1，e]，使得f(x0)<-e(a+e)成立；

3 變式拓展

變式1 已知函數f(x)=x2-(a+2)x+alnx，a∈R.

(I) 若a=-2，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(II) 討論函數f(x)在[1，e]上的單調性；

(III) 若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤0成立，求實數a的取值范圍.

而f′(1)=0，f(1)=1，所以所求切線方程為y=1；

即當a≤2時，f′(x)≥0，此時函數f(x)在[1，e]上單調增；

(Ⅲ)方法一：(分類討論法)

當a≤2時，由于函數f(x)在[1，e]上單調增，則知函數f(x)的最小值為f(1)=-a-1，可得-1≤a≤2.

當a≥2e時，函數f(x)在[1，e]上單調減，則知函數f(x)的最小值為f(e)=e2-(a+2)e+a.

綜上，a≥-1，所以a的取值范圍是[-1，+∞).

方法二：(分離參數法)(略)

4 解后反思

涉及不等式“能成立”(或存在性成立)問題，解決的基本策略就是“含參”轉化與“分參”處理兩個基本思維角度，具體解決時，思維技巧方式多樣，巧思妙解，利用不等式“能成立”的背景，綜合不等式的性質、不等式的求解以及函數的基本性質等，借助函數的合理構造，函數、方程與不等式三者之間的巧妙轉化，利用熟知的數學模型來分析與破解不等式的“能成立”問題，提升數學品質，提高數學能力，培養數學核心素養.