高中數學“函數的概念與性質”主題內容教學探究*

張曉斌 米新生 陳昌浩 余業兵

（1.重慶市教育科學研究院，重慶，400015；2.重慶市潼南中學校，重慶，402660；3.重慶市第18 中學校，重慶，400023；4.西南大學附屬中學校，重慶，400700）

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》（以下簡稱新課標）提出“落實立德樹人根本任務，發展素質教育”“著力提升課程思想性、科學性、時代性、系統性、指導性”[1]的大背景，課程設置的重大變化是拋棄了模塊設置，回歸到數學內容本身，在基于數學知識“系統性、關聯性和連續性”的前提下一改舊課程“知識領域—知識單元—知識點”的呈現方式，而是以“主線—主題—核心內容”的基本結構展開。人教A 版普通高中數學教科書（以下簡稱新教材）主編章建躍博士說：“核心素養下的高中數學教材變革，充分體現了整體性、過程性、聯系性、選擇性、融合性、實踐性的特點。”[2]我們在研讀了“函數的概念與性質”主題內容后，發現新教材在整體布局與細節處理上彌補了舊教材的很多不足，亮點很多，并就新教材“函數主線”內容的使用提出建議。

一、新教材“函數的概念與性質”主題內容簡介

在舊課程中，函數是作為代數的內容呈現在數學課程中的。新課程基于菲力克斯·克萊因關于“函數的靈魂，應該成為中學數學的基石，應該把算術、代數和幾何方面的內容，通過幾何的形式用函數為中心的觀念綜合起來”[3]的理念，將核心素養的重要載體函數作為一個主線內容貫穿于整個必修課程和選擇性必修課程，并圍繞以下幾個主題展開：“整體理解一般的函數概念，學會函數的基本性質；掌握一批具體的函數類型，學會運用函數研究數學問題和解決實際問題；感悟和運用函數內容中蘊含的數學思想與方法；以函數為載體促進學生核心素養的發展。”[4]“函數的概念與性質”是指函數的第一個主題“整體理解一般的函數概念，學會函數的基本性質”。其與新教材第一冊第三章“函數的概念與性質”是有區別的，它分階段連續地貫穿在整個“函數主線”內容始終，它是一個基于新課程整體單元化理念下的主題單元，在必修課程與選擇性必修課程中（如圖1，見下頁）。

圖1 “函數的概念與性質”主題的內容

二、新教材“函數及其性質”主題內容分析

1.主題內容整合優化，凸顯知識內在聯系

新教材通過“鋪墊、整合、增刪”優化主題內容，從知識系統的高度整體架構主題教學內容，一改舊人教版邏輯結構不好和銜接連續性不好的弊端，體現了數學知識系統的內部邏輯體系，使內容的邏輯順序更加合理，凸顯了函數主線下主題內容知識之間、主題內容知識與其他知識之間的內在聯系。

（1）鋪墊必要預備知識，使主題內容銜接

新教材的一個顯著變化是設置了“預備知識”這一主題。這與舊教材在函數學習前只學習了集合比較有兩個變化：一是改變舊教材中將“常用邏輯用語”安排在選修1-1 中的做法，把它放到預備知識的第一章，共同作為基礎而進行集中教學，為函數相關概念、性質的學習積累必要的邏輯基礎；二是將舊教材必修5 第三章中的“不等關系與不等式”“一元二次不等式的解法”和“基本不等式”設置到“預備知識”的第二章，為函數相關概念、性質的學習積累必要的結構分析和運算基礎；三是優化設置了“二次函數與一元二次方程、不等式”，凸顯三者之間的相互關系，為函數的學習積累必要的圖象與解析式的關系認知基礎。這樣的變化一改舊教材高初中銜接脫節的問題，為“函數主線”的學習積累了認知基礎，更好地促進學生數學素養的發展。

（2）整合重組主線內容，主題內容邏輯結構清晰

新教材的另一個顯著變化是對“函數主線內容”的整合重組，通過更符合數學知識的邏輯結構和學生認知規律的整合重組，更有利于函數知識的系統建構，更有利于形成穩固的函數知識結構，更有利于促進學生的數學認知理解。具體有三處整合和一處順序調整：將原教材必修一、四的函數三角部分的內容重組形成了第三章的“函數的概念與性質”、第四章的“指數函數與對數函數”和第五章的“三角函數”；將舊教材必修5 第二章數列調整為與“一元函數的導數及其應用”共同構成選擇性必修二。這樣整合和順序調整后讓學生在學習了“函數的概念與性質”后緊接著研究基本函數的概念與性質，然后在特殊函數“數列”的學習中繼續鞏固函數的概念與性質，最后利用“一元函數的導數及其應用”研究函數的概念與性質，更有利于學生“階段性、連續性”的整體建構“函數的概念與性質”，形成更為穩固的知識結構。

（3）增刪部分教學內容，凸顯核心內容

新教材的再一個顯著變化是增加和刪除了部分教學內容，以達到進一步凝練教學各主線、各主題、各章節內容的目的，使之更符合各主線、各主題、各章節內容的邏輯結構，更有利于整體有序地建構數學知識。就“函數主線”來說，一是在必修第一冊第四章第4.4 節對數函數部分增加了4.4.3 不同函數增長的差異，這樣的增加不僅可以更深刻地理解指對函數的單調性，還有利于深刻理解一般函數的單調性；二是在三角函數部分刪除了三角函數線這個內容，由于三角函數線和三角函數定義都是單位圓周期模型的應用，掌握了三角函數單位圓定義就可以了，刪除三角函數線避免了知識的簡單重復。

2.教學內容過程優化，利于知識有序建構

新教材在繼承舊教材優點的基礎上，通過設置“節首導語”、增加“歸納欄目”、改進“問題引導”、調整“習題編排”、優化“回顧與思考”等改進，使知識建構的過程更加符合學生的認知規律，有效促進學生更高質量地建構數學知識，促進數學素養的階段性、連續性發展。

（1）設置節首導語，引導新舊知識起承傳接

新教材繼承了舊教材設置章首語的成功做法，每一節均以節首導語開始，意在明了本課的學習內容及與已經學過的相關知識之間的聯系，這樣的設置對于學生的學習具有很好的引導作用，引導學生主動思考新舊知識的聯系，以激發學生主動將新知納入舊知并同化、順應。“函數的概念與性質”主題中的3.1 節的節首語“在初中我們已經接觸過函數的概念，知道函數是刻畫變量之間對應關系的模型工具……”[5]在回顧初中所學函數的基礎上，通過設置懸疑的方式談了進一步學習的必要性，起到了很好的起承傳接的作用。

（2）增加歸納欄目，引導感性知識共性概括

新教材在知識建構過程中在繼承了原教材“觀察”“思考”和“探究”欄目的基礎上，新增了“歸納”欄目，這樣的設置可以有效促進學生主動對感知進行歸納概括，培養學生歸納概括、數學表述的能力，落實“三會”，尤其是在對函數的概念與性質的歸納過程中，發展數學抽象、邏輯推理等核心素養。例如3.1.1 函數的概念中設置的“上述問題1—問題4 中的函數有哪些共同特征？由此你能概括出函數概念的本質特征嗎？”就可以有效促進學生主動概括函數概念、分析共性、找到本質。

（3）改進問題引導，落實四種能力形成發展

新課標將提高學生“發現和提出問題、分析和解決問題的能力”[7]作為課程目標，新教材在“觀察”“思考”和“探究”欄目中相比舊教材而言，進一步改進了引導問題的設置，更加突出了發現和提出問題能力的課堂落實。學生在學習的過程中可以感知問題的生成邏輯和提出機理，這樣的過程多次重復后可以有效積累學生發現和提出問題的經驗。例如在3.2.1 單調性與最大（小）值中講單調性的概念時，通過正文旁的問題框和思考欄目提出的問題：“函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，你能舉出在整個定義域內是單調遞增的函數例子嗎？你能舉出在定義域內的某些區間上單調遞增但在另一區間上是單調遞減的例子嗎？”[8]直擊單調性概念的核心關鍵，指向性更明確，逐步引導學生思維走向深入，讓學生在學習過程中積累了提出與發現問題的活動經驗，落實了“四能”的培養。

（4）調整習題編排，利于課堂知識高效鞏固

新教材在習題編排上下了很大的功夫，一方面把習題分成了“復習鞏固”“綜合運用”與“拓廣探索”，使習題更具針對性、選擇性和層次性。“復習鞏固”是基礎性作業，強調對必備知識的掌握；“綜合運用”是能力性作業，強調知識間的綜合性與關聯性，強調對關鍵能力的培養；“拓廣探索”是視野拓廣性作業，強調知識的遷移和靈活應用。另一方面通過設置“拓廣探索”部分以體現習題的應用性、交匯性、開放性與探索性。例如在復習參考題3 的拓廣探索第11 題設置了經濟學里的供應曲線與需求曲線，體現了數學在經濟學中的應用；又如在習題4.5 中第14 題中設置了三種函數模型，供學生選擇最符合題目中汽車耗油函數關系的函數模型，題目的開放性和實際應用性可以有效提升學生的數學建模素養。

（5）優化回顧思考，理清全章內容知識脈絡

從“函數的概念與性質”這一主題內容來看，雖然新教材的每章還是由章引言、正文、小結、復習參考題四個板塊構成。但是在“回顧與思考”欄目，改變了原教材直接呈現問題的做法，先對整章內容進行歸納整理，形成知識網絡結構后，再通過問題引導學生對重點關鍵知識進行復習整理。通觀“函數的概念與性質”主題內容涉及的各章，這些問題的設置體現了“階段性、連續性”，建構函數概念與性質知識的特點。例如，第三章的“3.函數的性質一般包括哪些方面？為什么要研究這些性質？你能總結一下研究函數性質的一般過程與方法嗎？”[9]第四章“4.回憶指數函數、對數函數的研究過程，你能由此說說如何研究一類函數嗎？例如研究的內容、過程和方法。”[10]

3.旁注例題精細雕琢，彰顯教材指導作用

（1）增加旁注，提升教材的嚴謹性與可讀性

從“函數的概念與性質”這一主題內容來看，新教材對旁注可謂精雕細琢，具體表現出兩個方面的提升：一是提升了教材的嚴謹度，表述更規范、更精練、更嚴謹，例如函數的基本性質旁注相比舊教材“在事物變化過程中，保持不變的特征就是事物的性質”增加了“變化中的規律性就是性質”顯然更為嚴謹明白，彰顯了教材指導作用；二是拓寬了旁注的功能，旁注作為教材正文中的補充說明使教材更具可讀性，既有對教材中知識的解讀，也有對教材中未加解釋的內容的補充，還有對于為什么要這樣的說明，相比舊教材顯得更為靈活和豐富，例如函數單調性練習題4 的旁注就是對于題目為什么要這樣的說明，在指導學生學習的同時，提升了教材的可讀性。

（2）精選例題，提升例題的示范性與導向性

從“函數的概念與性質”這一主題內容來看，新教材例題素材關注時代特色，體現“五育融合”，例題強調了分析的示范性作用。一方面，新教材例題編排關注新時代社會主義建設的新成果，反映了時代變化過程中數學在解決實際問題中的作用，充分利用新時代產生的新素材、新情景的育人功能。例如第一冊3.1 節的例8 是關于依法納稅的一個題目，第一冊3.2 節例4 是關于煙花曲線的問題，這些題目的設置充分體現了時代特色，反映了社會生活的方方面面，發揮了例題的育人導向功能。另一方面，新教材例題在知識、方法、表述上都起著引領示范的作用，在例題的處理上，新教材的部分復雜例題在“解”之前增加了“分析”，一些較為復雜的例題增加了思路分析，幫助學生理解題意、示范思路分析，充分發揮了例題在解題中的示范作用。

三、“函數及其性質”主題內容使用建議

1.從整體單元主題的視角理解“函數及其性質”

函數這個主線內容是根據函數這個重要數學概念及其衍生出來的知識群所組成的數學核心知識模塊，“函數的概念與性質”這個主題教學內容是根據函數主線內容各知識之間內在關聯性統籌重組和優化后的相對獨立的數學整體教學內容。在新課標提出“整體把握教學內容”[11]的大背景下，它區別于傳統意義上的章節模塊“函數的概念與性質”，而是分階段蘊含于整個“函數主線”內容的各個主題板塊，貫穿新教材的必修部分第一冊和選擇性必修部分的第二冊中。教學中，學生對“函數的概念與性質”理解是分階段連續螺旋上升的（見表1）。

表1 “函數的概念與性質”的階段性理解

2.從學生學習過程的視角理解“教材邏輯架構”

新課標指出：“高中數學課程體現現代社會發展的需求、數學學科的特征和學生的認知規律，發展學生數學學科核心素養。”[12]新教材在處理好數學的邏輯序和學生的心理發展序上下足了功夫，增加了“歸納”欄目，在“觀察”“思考”“探究”欄目和正文旁的問題框的設置上，特別注意通過問題引導學生，特別注意過程的合理性，使學生的思維在有序的學習過程中不斷觸及問題的關鍵。這就需要教師使用新教材時，從學生學習過程的視角理解“教材邏輯架構”，關注學生獲取數學知識過程的合理揭示，設計具體可感知的概念學習的環節和方法，促進學生有序地建構穩固的高質量的數學知識結構，提高學習的效率和質量。

3.從核心素養落地的視角理解“教材編寫變化”

新教材在基于體現新課程理念的前提下，編排呈現方式上發生了很多的新變化，這些變化對于落地核心素養培養具有非常重要的指導作用，作為教材的使用者，教師應該深刻理解這樣的變化。使用新教材整體設計“函數的概念與性質”教學時要關注以下幾點：一是要關注函數主線下主題內容、課時內容在主線內容中的邏輯結構以及在這種結構中對于落實核心素養的作用，具體操作時做到聚焦宏觀、把握中觀、落實微觀的教學目標；二是要關注新教材在包括“旁注”在內的各個欄目的細節設置新變化對于核心素養發展的作用，具體操作時要在理解的前提下關注其中的用意、思想與方法；三是要關注新教材正文過程呈現和表述上的新變化，從核心素養的視角搞清楚為什么？具體操作時設計出可行的過程，將具體的核心素養培育落實在過程中，如新教材在過程微觀呈現中常常蘊含了顯性和隱性兩個不同層面的教學目標，在使用教材時，教師需要根據課堂學習的內容、環境和對象等特點，全盤考慮、統籌安排，既要把知識、技能這種可以在反饋檢測中較為明顯清楚地反映其掌握水平的顯性目標落實，又要把過程、思想、素養、三觀等這些具有抽象性、內隱性、潛在性的隱性目標落實到具體可操作的教學過程中。

總之，新教材更是學生學的“學材”，而不僅是過去教師講的“教材”，因此，廣大中學數學教師如何利用好教材引領學生學好數學，搞好數學課堂教學，全面提高數學教育教學質量是擺在我們面前的重大研究課題。