極小樣本下鈉冷快堆主泵上部軸承可靠性評估方法對比分析

郭曉嫻，葉尚尚，谷繼品，張健鑫，翟曉

（中國原子能科學研究院，北京 102413）

主泵是鈉冷快堆中最關鍵的設備之一，主要功能是為一回路液鈉的循環提供動力。主要由電機及電機支架、聯軸器、電控系統、上部組合軸承、氣體軸密封、檢修密封、泵蓋、主軸、泵體、隔熱板、靜壓軸承、葉輪、蝸室、流量計、截止閥驅動裝置等組成。為確保主泵能在規定的工況下、規定的時間內完成規定的功能，需要對主泵提出可靠性指標要求。可靠性指標驗證工作所面臨的最大問題是工期和經費，因此如何用最小的試驗樣本量得到相應的可靠性評價指標是目前面臨的重要難題。故針對鈉泵部件上部軸承的高可靠性要求、可試驗數量少的情況展開可靠性評價方法研究的工作迫在眉睫。

1 極小樣本評估方法

1.1 半經驗法

半經驗評估方法的思想是充分利用這些大量工程試驗的經驗信息，結合現場試驗數據，根據數理統計和可靠性評估理論來對數據進行分析處理，得到一個在一定的誤差范圍內滿足工程需要的評估結果。

半經驗評估法的數學描述如下[1]：

設隨機子樣T=(T1,T2,…,Tn)來自服從對數正態分布的壽命總體T，令Y=lgT，則得到服從正態分布的總體Y～N(μY,)，同時得到對應的隨機子樣Y=(Y1,Y2,…,Yn)。

由數理統計理論可知

式中，σY可以由工程經驗給出，一般取為0.13～0.17。而μY隨著具體的結構疲勞壽命總體不同而不同。由數理統計理論可知，樣本均值是總體均值的最小方差無偏估計，所以μY的值可以用樣本均值的估計值代替，即。

經定置信度1-α時，Y的 100(1 -α) %置信下限表示為

從而得到試驗壽命的 100(1 -α) %置信下限為

1.2 綜合概率分布評估法

現有的極小子樣可靠性試驗評估方法的精度都相當低[2-5]。當產品為高可靠性產品時，評估方法的精度就更低。因此，如何由極小樣本容量數據得到壽命的分布特性以及尋找精度更高的可靠性數據處理方法是重難點。本文綜合利用歷史信息和當前試驗數據對樣本量為1 時進行可靠性評估。大量文獻及統計數據表明，與機械部件疲勞、磨損、腐蝕等耗損型失效相關的壽命分布大多可用對數正態分布或威布爾分布來表征[6,7]。根據文獻［8］中的先驗信息，推力滑動軸承啟停階段的累積磨損量服從對數正態分布。根據文獻相關信息及計算，主泵滑動軸承的對數標準差取0.129 7[9]，滑動軸承磨損耐久壽命試驗結果為582 次。

綜合概率分布評估法可用于單樣本試驗評估，基本思想是根據一次試驗結果對經驗概率密度函數進行修正得到當前概率密度函數，然后與經驗概率密度函數綜合得出驗后概率密度函數，從而對未知參數進行推斷估計。綜合概率方法的主要執行步驟為[10,11]：

（1）據類似件試驗確定待試件的驗前概分布特性；

（2）確定一個試驗件時的單件值當前密度分布特性。

以單次試驗值的對數為均值估計，即

在當前概率密度函數的整個定義域內，經驗概率密度函數都減去fT,ex，le（或fT,ex,rl），并乘以一個大于1 的修正系數k，即可得到當前概率密度函數fT,cu

根據概率密度函數的性質，則

求解上式，即可確定修正系數k。

確定綜合概率密度函數的步驟是提出下述加權綜合法，加權系數可有正負值，在采用下述公式時≤0 .5，γ值越大代表越強調當前分布，則

式中：下標p0代表驗后概率密度分布；γ的取值在分級較粗時，建議可按下述3種情況取值，即γ1=-0 .2,γ2= 0,γ3= 0.2。

1.3 虛擬增廣樣本評估法+Bootstrap 方法

虛擬增廣樣本評估法是針對極小子樣試驗評估而提出的，其基本思想是把原始試驗樣本虛擬增廣至小樣本，然后應用Bootstrap 方法對小樣本進行評估，Bootstrap 方法能很好地解決試驗樣本量n＞10 的子樣可靠性評估問題。在工程允許范圍之內，虛擬增廣的過程需要滿足以下兩個基本條件[12]即：

（1）虛擬增廣后的子樣均值應與原來的子樣均值相等；

（2）虛擬增廣后的子樣標準差應與類似件的標準差相等。

根據原始試驗樣本均值T以及以往類似件試驗估計得到的分布型形式和標準差，即可虛擬增廣試驗樣本。為使虛擬增廣得到的樣本更合理，建議用以下近似公式增廣原始試驗樣本。

把增廣樣本T1～T13代入方程組（12）中，即可求解得到ξ的表達式為

原始試驗樣本被增廣后，即可應用Bootstrap方法對增廣樣本進行評估，得到未知參數的估計。

Bootstrap 方法是用現有的樣本去模仿未知的分布，充分利用了樣本本身的信息，對于分布不需要做出假設，運用模擬再抽樣技術代替理論分析，用試驗觀測數據的統計特性代替真實母體的特性。Bootstrap 方法的數學描述是：設隨機樣本X=[x1,x2,…,xn]來自未知的總體分布F，R(X,F)為某個預先選定的隨機變量，是X和F的函數。根據觀測樣本X=[x1,x2,…,xn]計算R(X,F)分布特征[13]，其步驟流程歸納如圖1所示。

圖1 Bootstrap 基本計算步驟流程Fig.1 Bootstrap basic calculation steps

應用Bootstrap 方法估計μ和σ2的具體步驟如下：

根據式（14）、（15）計算得到樣本X的均值和方差S2；

將x1,x2,…,xn按由小到大排列，利用式（16）確定樣本X的經驗分布Fn，并從中隨機抽樣產生N組自助樣本（N足夠大）：X*(1)，X*(2)，…，X*(N)。其中，

2 鈉冷快堆主泵上軸承磨損可靠性評估

鈉泵上部軸承的可靠性指標要求為：125次載荷循環（5 年）壽命可靠度P≥0.999 9，置信度γ≥0.9。滑動軸承的主要失效模式是磨損，在主泵實際工況中，磨損的發生主要在啟停階段。基于鈉泵實際運行工況下的載荷剖面、轉速、環境溫度、冷卻水溫度及流量等參數，模擬相關參數環境，搭建試驗臺架，讓軸瓦處于相應的狀態進行啟停磨損壽命試驗，啟停582次后進行性能試驗驗證，發現相關參數無異常。將582 次啟停磨損試驗保守的作為一次完全數據分別采用三種計算方法進行可靠性評估，詳細情況如下。

2.1 半經驗法

試驗得出滑動軸承的壽命（循環次數）N0=582 次，根據經驗知壽命N服從對數正態分布的隨機變量，令T=lgN，則T是一個服從正態分布的隨機變量，來自于正態總體T的樣本對數均值也是一個隨機變量。根據文獻相關信息及計算，總體T的對數標準差σT= 0.129 7，基于半經驗評估法的步驟如下。

（1）把正態分布變量T轉換為標準正態分布Z。

（2）90%置信度的下限值計算

由γ=0.9，根 據 Φ (Zlow) =γ，得Tlow=2.5516，壽命試驗對數均值的下限：

（3）任務可靠度計算

任務壽命的可靠度計算式為

式中：P′ ——任務壽命的可靠度評估值；

T′ ——任務壽命的對數值，即T′=lg125= 2.096 9。

代入壽命下限和對數標準差后可計算得到P′=0.999 772。

2.2 綜合概率分布評估法

軸承軸瓦試驗壽命為582 次，則樣本的對數均值= lgN0= lg 582= 2.764 9，對數標準差σT=0 .129 7，對應的經驗概率密度函數的形式為

可求得系數k=2.092 8，當前概率密度函數為

定義域為［2.570 4，2.959 5］。

根據單次試驗值擴展而得到當前概率密度函數后，為了進一步綜合考慮驗前經驗概率密度函數，概率密度函數需考慮加權系數。

取加權系數ω=0[10]，即得到綜合概率密度函數。

經驗概率密度函數、當前概率密度函數以及綜合概率密度函數的對比見圖2。

圖2 不同概率密度函數對比圖Fig.2 Comparison of different probability density functions

在置信度γ=0.9 下，可由式（28）得到試驗壽命對數均值置信下限，Tlow=2.593 5，Nlow=392.259 1。從定性角度出發，在任務125次時，處于曲線圖的最左側，這時，綜合概率密度函數為經驗概率密度函數的0.5 倍，故可知，其任務可靠度高于經驗概率密度函數對應的任務可靠度。經驗概率密度函數的任務可靠度為求出結果為0.999 869。

2.3 虛擬增廣樣本+Bootstrap 方法

根據虛擬增廣方法的原理將原始試驗樣本量從n=1 虛擬增擴至n*=13，取定控制系數a和b后，應用式（11），得到增廣樣本T1～T13，然后采用Bootstrap 方法進行抽樣和評估。在增廣樣本的過程中對a，b取不同值得到的樣本分布如圖3 所示。

圖3 不同控制系數下的增廣樣本分布函數對比圖Fig.3 Contrast of the expanding sample distribution function under different control coefficients

根據圖3 可初步確定a=0.065，b=2 時增廣得到的樣本更加符合實際情況，因此將其作為評估的樣本。Bootstrap 抽樣樣本量N=10 000時的對數均值和對數標準差的分布圖分別如圖 4 和圖5 所示。由圖中可看出，當樣本量足夠多時，對數均值和對數標準差的估計均接近正態分布。增廣樣本為：2.525 6，2.601 5，2.660 5，2.702 6，2.727 9，2.736 4，2.764 9，2.793 4，2.8019，2.827 2，2.869 3，2.928 3，3.004 2。

圖4 Bootstrap 抽樣時對數均值的頻率分布圖和直方圖Fig.4 Frequency distribution and histogram of bootstrap sampling logarithmic mean

圖5 Bootstrap 抽樣時對數標準差的頻率分布圖和直方圖Fig.5 Frequency distribution and histogram of bootstrap sampling logarithmic variance

綜上所述，在確定對數均值和對數標準差的估計值后，根據任務壽命的可靠度計算式，帶入Tlow= 2.530 7和T′=lg125= 2.096 9后，計算得到P′= 0.999 588。

2.4 極小樣本方法對于鈉泵部件的適用性對比分析

將三種計算方法進行對比如表1 所示。

表1 不同方法計算結果對比Table 1 Comparison of calculation results of different methods

從表1 中我們可看到虛擬增廣+Bootstrap、綜合概率法的分布密度函數中的可靠度函數和失效率函數的變化趨勢基本一致，在一定范圍內處于同一量級水平，故兩種都具有一定的合理性。對于虛擬增廣+Bootstrap 方法進行抽樣和評估，其分析統計結果更加符合數據統計規律。從以上數據分析及概念來看，當以往類似件的試驗估計信息與鈉泵部件的相似度大時，采用半經驗方法、綜合概率方法評價兩種方法進行分析更合理；當以往類似件的試驗估計信息與鈉泵部件的相似度不大時，采用虛擬增廣+Bootstrap 方法進行評價更加合理。

3 結論

針對鈉泵軸承的試驗數據，驗證了綜合概率評價法和虛擬增廣樣本+Bootstrap 方法的適應性。綜合概率分布評估法得到的部件綜合概率密度函數更接近于真實的概率密度函數，精度相對較高；虛擬增廣樣本+Bootstrap 方法通過大量的抽樣使數據更加貼合數據統計的原理，兩種方法的分析結果為鈉泵部件在極小樣本情況下的可靠性評估提供了理論依據。同時，對鈉泵部件極小樣本的后續可靠性研究工作還需要做到以下兩點。

（1）極小樣本可靠性的評估重點是對類似部件的可靠性相關信息的收集，應注重相似部件的售后及維修情況的跟蹤；

（2）對極小樣本可靠性評估方法的確定，必須充分利用驗前信息和本次試驗的樣本信息，才能給出精度相對高的可靠度評估結果。