多孔徑接收機中數字相干合成效率統計模型

向勁松，呂心浩

(重慶郵電大學 通信與信息工程學院， 重慶 400065)

0 引 言

在空間通信中，自由空間光(Free Space Optical, FSO)通信具有傳輸容量大、功耗低和保密性好等優點[1-2]。為了抑制大氣湍流效應，在接收端可以采用自適應光學[3-4]和多孔徑接收技術[5-6]。但自適應光學復雜且成本高，且該方案僅適用于整個望遠鏡接收，具有一定的局限性。多孔徑相干光接收機使用多個小孔徑望遠鏡接收信號光束，具有成本低、維護成本低和系統升級容易等特點。多孔徑相干光接收機通過光束相干合成[7-8]或數字相干合成將多路信號合為一路。光束相干合成模擬元件的高光學復雜度和高插入損耗，很難擴展到大量信號。數字相干合成使用多個檢測器將每個支路的光信號轉換為電信號，然后將多個電信號進行數字相干合成[9-13]。

最大比合并和等增益合并(Equal Gain Combining, EGC)是常用的合成算法。由于EGC可以提供接近最大比合并的性能，并且具有實現復雜度較低的優點[14]，在多孔徑相干光接收機中被廣泛使用。假設有理想的時延補償，文獻[11]給出了一種基于EGC數字信號處理的逐步相位對齊算法，實現了4路激光通信信號的無損相干合成；基于文獻[11]，Rao和Tu研究了計算復雜度與平均合成效率(Combining Efficiency, CE)之間的關系[15-16]。然而，載波恢復和誤碼率與相干合成后的合成信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)具有非線性關系[5,17]。因此，僅通過平均CE來評估多孔徑相干光接收機的性能是不準確的。為了體現CE的隨機性，應該給出CE的概率密度函數(Probability Den-sity Function, PDF)。

本文建立了基于EGC的CE統計模型，并推導出PDF的準確表達式。在考慮孔徑選擇的情況下，比較了不同合成孔徑數量下基于EGC的CE。并基于該模型，提出了一種基于最大CE期望的孔徑選擇方案。

1 CE統計模型

圖1所示為多孔徑數字相干合路接收機原理圖，激光束通過大氣信道后，由多根接收天線獨立輸入到相干接收機中。并行的空間光信號共享同一個窄線寬本振激光器。在前端補償模塊中，對每組數字化的I和Q信號進行補償，以平衡I和Q信號電平以及遠程I和Q信號時序偏差。在時鐘恢復模塊中，時鐘恢復算法確保每個信號以符號周期為模對齊，以便知道每個符號的中心位置。接下來，使用時延估計算法去除不同孔徑接收到的信號之間的相對延遲。然后，各支路的相對相位由相位對齊模塊對齊并相干合成。數字相干合成后，在載波恢復模塊中應用載波恢復算法，估計合成信號的頻偏和相偏，恢復傳輸的符號。

圖1 多孔徑數字相干合路接收機原理圖Figure 1 Schematic diagram of multi-aperture digital coherent synthesis receiver

圖2所示為相位對齊和相干合成算法框圖。相位對齊的核心思想是以某一信號為參考，調整其他信號的相位與參考信號的相位一致，實現相位對齊。第一次合成以信號S1為基準，估計和補償信號S1和S2之間的相位差。信號S1和S2合成后，將兩個信號的和作為參考信號，并與信號S3合成。重復該過程直到所有信號都被合成。

圖2 相位對齊和相干合成算法框圖[11]Figure 2 Block diagram of phase alignment and coherent synthesis algorithm

理想時延對齊后，按SNR由高到低排列，第n個相移鍵控(Phase Shift Keying,PSK)調制信號的第k個碼元Sn(k)為

第n路PSK調制信號的SNR可表示為

我們可以從估計兩個光信號(S1和S2)之間的OPO開始。將式(1)代入式(3)可得：

式中，nC為Csum的噪聲項，即

式(5)可重寫為

式中，Δφ1為加性觀測相位噪聲(Additive Observation Phase Noise, AOPN)[20]。在高SNR條件下，Δφ1可被近似為高斯隨機變量，均值為0，方差為

通常，OPO估計誤差Δφ1的值遠小于1，因此式(10)可近似為

因此，兩個光信號的合成效率CE2可通過下式得到：

式(12)表明，CE2是具有一個自由度的卡方隨機變量的線性函數，其均值E(CE2)、方差D(CE2)和PDFfCE2(x)分別為

式中，Γ(·)為伽馬函數。綜上所述，基于式(9)和式(13～15)，我們得到了兩路光信號合成的CE統計模型。由式(13～15)可知，CE是與各個支路SNR和符號數量M相關的隨機變量。

式中：XN=[Δφ1Δφ2… ΔφN-1]T；DN為XN的系數矩陣。

基于式(18)，N路信號的CE可表示為

式中，XN服從多元高斯分布，即XN～NN-1(0,ΣN)，ΣN為(N-1)行(N-1)列的對角矩陣。通過使用文獻[20]給出的AOPN模型，ΣN中第p行q列的元素ΣN(p,q)可由下式給出：

需要注意的是，在得到特征值cN,1,…,cN,N-1之前，需要計算DN和ΣN，其中DN可直接由幅度A1,…,AN得到。然而，根據式(20)和(21)，ΣN只能由ΣN-1間接獲得。換句話說，ΣN需要由Σ2開始遞歸計算得到，其中Σ2為式(9)給出的Δφ1方差。

因此，基于式(19)，N個支路的CE可近似為自由度νN的卡方隨機變量YN的線性函數，即

均值E(CEN)、方差D(CEN)和PDFfCEN(x)分別為

式中，

由式(24～27)可知，CE主要受每次合成的符號數量M和各支路SNR的影響。

為了降低系統復雜度或提高合成SNR，我們可選擇多個SNR較高的支路進行合成，而不將所有支路全部合成。孔徑選擇系統的SNR增益CEN,n可以定義為n(2≤n

式中，

均值E(CEN,n)、方差D(CEN,n)和PDFfCEN,n(y)分別為

2 系統仿真及結果分析

在本節中，我們將給出數字相干合成與EGC的數值結果。在以下結果分析中，CL用于評估平均CE，CE用于評估CE的方差和PDF。在不同孔徑數和SNR方案的情況下，對仿真結果和分析結果進行比較。每個仿真數據點的蒙特卡羅模擬運行次數設置為106。光信號為10 Gbit/s非歸零二進制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying, BPSK)信號。每個支路的OPO從-π到π中隨機選擇。激光頻率偏移和激光線寬分別等于500 MHz和10 kHz。

圖3所示為在不同SNR下合成4個信號的平均CL和CE方差。圖中，橫坐標表示第1個信號的SNR，記作SNR1；仿真結果表示數據由蒙特卡洛模擬得到；式(24)和(25)分別表示數據由式(24)和(25)計算得到；SNR方案1表示4個支路的SNR相同，SNR方案2表示兩個相鄰支路的SNR差值為1 dB，即SNRi(dB)=SNRi-1(dB)-1 dB；SNR方案3表示兩個相鄰支路的SNR差值為2 dB。如圖3(a)所示，與Rao[16]的方法相比，僅在低SNR下，本文所提方法的性能略有改善。隨著SNR的不斷增加，預測平均CL與實際平均CL之間的誤差逐漸減小。如圖3(b)所示，當平均CL較低時，式(25)預測的CE方差與實際CE方差相匹配。隨著SNR的不斷減小，預測CE方差與實際CE方差之間的誤差逐漸增大。

圖3 M=70和N=4時不同SNR組合方案下的平均CL和CE方差Figure 3 Average CL and CE Variances under different SNR combination schemes when M=70 and N=4

圖4所示為不同符號數量M和SNR組合方案下的平均CL和CE方差。如圖4(a)所示，平均CL隨著M的增加而減小。此外，對于相同的平均CL，所需的M值隨著SNR的降低而增加。例如，當平均CL為0.1 dB時，與SNR=[-6 -6 -6 -6] dB的情況相比，SNR=[-13-13-13-13] dB的情況下，M值增加約20倍。此外，實際CL和規定CL之間的差異隨著M的增加而減小。如圖4(b)所示，CE方差隨著M的增加而減小，并且所需M值隨SNR的降低而增加。隨著M的增加，預測的CE方差與實際CE方差之間的誤差逐漸減小。

圖4 N=4時不同M和SNR組合方案下的平均CL和CE方差Figure 4 Average CL and CE Variances under different M and SNR combinations when N=4

圖5所示為N=4時不同SNR組合方案下CE的PDF。如圖5(a)和5(b)所示，由于每個支路的SNR相差不大，2、3和4孔徑的CE隨著所選孔徑數量的增加而增加。如圖5(a)和5(b)所示，平均CL和CE方差隨著M的增加而減小。因此，與圖5(a)相比，當所選孔徑數相同時，圖5(b)中CE的PDF曲線向右移動并變窄。圖5(c)和5(d)給出了不同選擇孔徑和M下CE的PDF曲線。由圖可知，與全合成方案相比，3個孔徑的合成方案使CE取較大值的概率更高。圖5(c)和5(d)中，2、3和4個孔徑的實際平均CL分別為[1.40 0.04 0.55] dB和[1.26 -0.11 0.26] dB。由平均CL也可看出，3孔徑合成方案優于全孔徑合成方案。這是因為，第4支路的SNR太小，無法為EGC提供正的SNR增益。注意到在某些情況下，3孔徑的CE大于1，說明3孔徑的實際合成SNR大于全孔徑合成的理想合成SNR。此外，隨著M的增加，合成性能都有所提高，并且理論分布與實際分布曲線非常吻合。

圖5 N=4時不同SNR組合方案下CE的PDFFigure 5 CE probability density function under different SNR combinations with N=4

圖6所示為16路信號在不同SNR合成下的平均CL和相應CE方差。與N=4的情況類似，橫坐標表示第1路信號的SNR，SNR方案1表示16個支路的SNR相同；SNR方案2表示兩個相鄰支路的SNR差值為0.5 dB； SNR方案3表示兩個相鄰支路的SNR差值為1 dB。如圖6(a)所示，隨著SNR不斷增加，平均CL以及預測平均CL和實際平均CL之間的誤差將逐漸減小。與N=4的情況相比，相同平均CL下每個支路所需的SNR由于M的增加而降低。如圖6(b)所示，隨著SNR的不斷增加，預測CE方差與實際CE方差之間的誤差逐漸減小。

圖6 M=200和N=16時不同SNR組合方案下的平均CL和CE方差Figure 6 Average CL and CE Variances under different SNR combinations at M=200 and N=16

圖7所示為N=16時不同SNR組合方案下CE的PDF曲線。如圖7(a)和7(c)所示，全合成的平均CL為0.5 dB；如圖7(b)和7(d)所示，全合成的平均CL為0.2 dB。如圖7(a)和7(b)所示，當每個分支的SNR相同時，隨著選擇孔徑的數量增加，合成性能變得更好。全合成方案優于孔徑選擇方案。與圖7(a)相比，圖7(b)中的全合成和孔徑選擇的性能差異更為顯著。如圖7(c)和7(d)所示，PDF的峰值隨著所選孔徑數n的減小而向右移動。這表明，隨著所選孔徑數量的增加，合成性能變得更差。這是因為，相鄰分支之間的SNR差值增加到1 dB，使得EGC提供負SNR增益。

圖7 N=16時不同SNR組合方案下CE的PDFFigure 7 CE probability density function under different SNR combinations at N=16

3 統計模型在孔徑選擇系統中的應用

EGC算法直接把全部信號合并相加。不同于EGC算法，孔徑選擇系統選取適當的合成孔徑數，在降低系統計算復雜度的同時提高了系統性能[23]。基于CE的統計模型，本文提出了最優孔徑選擇方案，在將接收信號按SNR強度遞減順序排列后，由式(30)依次計算CE期望，自適應輸出包含最大CE期望的孔徑組合，所選孔徑數量nopt為

該方法只需計算每種孔徑組合的CE期望，計算復雜度低。

圖8 孔徑選擇接收機誤碼率曲線Figure 8 BER curve of aperture selection receiver

4 結束語

基于AOPN模型，本文推導出了用于多孔徑FSO接收機數字相位對齊的CE統計模型。 其可通過Satterthwaite方法近似表示為卡方分布的線性函數。仿真結果表明，在大多數情況下，該模型在不同孔徑數量和SNR條件下是有效的。通過模型比較了EGC的孔徑選擇和全合并方案。隨著各支路SNR差距的增大，孔徑選擇的性能會逐漸提高。這項工作可以為數字相干合并后的誤碼率性能評估提供有價值的指導。