復變函數與積分變換課程教學方法

華杰，董賀，汪玉海，張剛，汪津

復變函數與積分變換課程教學方法

華杰，董賀，汪玉海，張剛，汪津

（吉林師范大學 信息技術學院，吉林 四平 136000）

復變函數與積分變換課程是普通高等院校電子信息類、電氣工程類、自動化等理工科專業的必修基礎課程之一．為了提升課堂教學質量，利用翻轉課堂教學模式提高課堂教學效率，利用可視化教學增強學生抽象思維及空間想象能力，利用應用實例加強課程知識點的理解，使學生系統、準確地掌握復變函數與積分變換的核心思想，增強學生數學思維能力，為后續專業課程的學習奠定基礎．

復變函數；積分變換；教學方法；學習興趣

復變函數與積分變換課程是高等數學的后續課程，也是高等院校電子信息類、電氣工程類、自動化等理工科專業重要的基礎課，通過該課程的學習，可以培養學生的邏輯推理、抽象思維以及空間想象等能力[1]．復變函數與積分變換課程在專業課程體系中具有承上啟下的重要地位，相關的理論知識在自然科學與工程技術領域具有廣泛的應用．隨著電子信息技術的快速發展，新技術、新應用不斷涌現．在新工科“寬口徑”培養要求下，電子信息類專業培養方案中實踐教學學時增加，課堂教學學時相應地有所減少[2]．這就要求教師要對復變函數與積分變換課程的知識點進行梳理，在“減課時不減質量”的前提下，優化課堂教學內容，改革教學方法，使學生系統、準確地理解和掌握復變函數與積分變換理論，實現課程教學目標．

1　利用翻轉課堂教學模式提高課堂教學效率

復變函數的極限與連續、微積分、級數等概念與高等數學中一元實變函數相應知識點基本一致，可以看作是實數范圍內的相應內容直接推廣到復數范圍，但復變函數也有許多其獨有的性質和定理，這些是教學的重點和難點．針對這個特點，嘗試利用翻轉課堂（Flipped Classroom）教學模式來輔助完成教學，力爭用時少，但質量高[3]．課前學生利用中國大學MOOC、智慧樹網站平臺以及國內重點大學（如北京師范大學、西安交通大學等）等開放的課程視頻自學相關課節內容；課上師生針對疑難問題進行交流討論，引導學生準確掌握課程知識點．與傳統“滿堂灌”的教學模式相比，翻轉課堂的優勢是通過多渠道的學習資源以及課堂互動討論環節，培養學生自主學習和獨立思考的能力[4-6]．但教師在布置自學內容時要設計探究性的問題，引導學生帶著問題邊學習邊思考，這是利用翻轉課堂教學模式提高課堂效率的重要保證．復變函數中的泰勒級數與高等數學中冪級數相關度很高，可以利用翻轉課堂組織該部分教學．在學生自學前，教師提出思考問題：冪級數的和函數在其收斂圓域內為解析函數，圓域內解析的函數是否可以展成冪級數，如何展開成冪級數，如何確定展開級數的收斂圓域半徑．課堂上通過師生討論給出問題的答案．這樣即節省了寶貴的課堂授課時間，又培養了學生的主動探究能力．翻轉課堂同樣可以延伸到課外的QQ群、微信群中，形成線上/線下混合的討論式、探究式輔助教學模式，使學生獲得較好的學習效果．

但是需要注意的是，即使利用翻轉課堂，教師在課堂上也需要對重要的知識點進行詳細的講解．如復數四則運算及乘方、開方運算，這部分內容學生在初等代數中接觸過，可以利用翻轉課堂開展教學．但這部分知識在后續的復積分估值不等式以及解析函數的性質定理中反復應用．因此，教師在課堂上解答課前問題的同時，仍需通過例題形式突出講解復數運算的幾何意義，加深學生對運算法則的理解，為后續定理證明奠定良好的基礎．

2　利用可視化教學增強學生抽象思維及空間想象能力

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figure

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cplxmap（z， exp（z））;

colorbar（‘vert’）

title（‘exp（z）’）

圖1　指數函數的四維圖像

3　利用應用實例加強課程知識點的理解

作為信號與信息分析領域中重要的數學工具，傅里葉（Fourier）積分變換是復變函數與積分變換課程中的重要教學內容．但是在學習過程中學生對積分變換內容很容易產生厭學情緒，主要原因有：（1）積分變換過程中大量的數學公式增加了學生的計算難度；（2）學生對高度抽象的傅里葉變換缺少實踐應用的直觀認識．針對這些問題，在教學過程中調整教學重點：（1）由于傅里葉變換的相關運算已經非常成熟，實際應用時可以直接調用函數，所以講授該部分內容時可以淡化復雜的計算；（2）對于工科學生來說，學習的重點是理解好傅里葉變換的物理意義并能正確應用傅里葉變換．因此，在正式講授積分變換前通過具體實例介紹傅里葉變換在信號檢測、信號去噪以及美圖等領域的應用[11]．首先，用Matlab程序對簡單的單頻正弦信號做傅里葉變換，演示變換后的頻譜圖；接下來，介紹在語音信號傳輸過程會受到噪音干擾的情況，通信領域去噪音的方法是：利用傅里葉變換將時域信號（原始信號）變為分離的頻譜信號，然后通過濾波器在頻域里去除噪聲部分（見圖2）[12]．最后，教師向學生繼續介紹傅里葉變換在美圖中的應用：由于圖像的色彩主要由色彩頻率決定，高頻分量代表了圖像的細節，紋理信息，低頻部分代表了圖像的輪廓信息．因此可以利用傅里葉變換把圖片從空間域轉化為頻率域，通過濾波的方式刪掉高頻部分函數，再進行傅里葉逆變換把圖像從頻率域轉換到圖像域，這樣就刪掉了某些細節問題（如臉上的斑點、皺紋等），實現美圖效果．通過這些具體實例講解，引導學生歸納出傅里葉變換的物理意義：傅里葉變換就像數學上的棱鏡，它能夠把多個頻率分量疊加組成的信號函數按照頻率進行分解，然后可以對信號的頻譜進行分析處理．一系列的應用介紹能夠明顯激發學生學習的主動性，有效提高教學效果．

圖2　含噪語音的時域波形和頻譜

4 結語

在復變函數與積分變換課程學時量減少的情況下，教師應結合實際教學情況，利用現代信息技術合理安排教學內容，探索多種形式相融合的教學模式，提高課堂教學質量，激發學生學習興趣，培養和鍛煉學生分析問題和解決問題的能力，為后續課程學習奠定良好的數學理論基礎．

[1] 全國高校工科數學課程教學指導委員會．《復變函數》教學基本要求[J]．大學數學，1986（2）：123．

[2] 教育部高等學校教學指導委員會．普通高等學校本科專業類教學質量國家標準[M]．北京：高等教育出版社，2018．

[3] 何朝陽，歐玉芳，曹祁．美國大學翻轉課堂教學模式的啟示[J]．高等工程教育研究，2014（2）：148-151．

[4] 王國棟，卓春英．Mooc+翻轉課課堂視域下工程數學課程教學模式研究[J]．北京城市學院學報，2016（5）：43-46．

[5] 劉海成，李艷鳳，代冬巖，等．基于“微課+翻轉課堂”的高等數學混合教學實踐研究[J]．高師理科學刊，2020，40（1）： 64-67．

[6] 廖國建，何穎，謝建平．以達托霉素產生菌菌株改造為主線的微生物工程綜合實驗的探索和實踐[J]．微生物學通報， 2018，45（3）：713-716．

[7] 張雪峰，張英博．ＭALAB在復變函數中輔助教學作用[J]．曲阜師范大學學報，2020（4）：117-121．

[8] 薛定宇，陳陽泉．高等應用數學問題的ＭALAB求解[M]．北京：清華大學出版社，2004．

[9] 韓英，陳佳旗．復變函數的可視化問題研究[J]．北京石油化工學院學報，2012（4）：61-64．

[10] 王正林，龔純，何倩．精通MATLAB科學計算[M]．北京：電子工業出版社，2007．

[11] 郭勇，楊立東．Fourier變化的工程例證式教學法探索[J]．高師理科學刊，2020，40（2）：76-83．

[12] 朱瑩，王淵，余璟，等．以工程應用為牽引的傅里葉變換性質教學探討[J]．科教文匯，2021（23）：101-103．

The teaching methods of complex function and integral transform

HUA Jie，DONG He，WANG Yuhai，ZHANG Gang，WANG Jin

（School of Information Technology，Jilin Normal University，Siping 136000，China）

Complex function and integral transformation is a compulsory basic course for science and engineering majors in colleges and universities，such as electronic information，electrical engineering，and automation specialty etc．In order to improve the quality of classroom teaching，the flipped classroom mode is used to improve classroom teaching efficiency，visual teaching is used to enhance students′ ability of abstract thinking and spatial imagination，and application instances are used to strengthen the understanding of knowledge points in the course，which can enable students to systematically and accurately master the core idea of complex function and integral transform，enhance their thinking ability of mathematics，lay a foundation for the study of subsequent professional courses．

complex function；integral transform；teaching method；learning interesting

1007-9831（2022）09-0067-04

O174.5∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.014

2021-11-09

2021年吉林省高等教育教學改革研究課題（JLJY202144925817）

華杰（1973-），女，吉林柳河人，教授，博士，從事工程數學類課程教學研究．E-mail：huajiehj@163.com