2022年北京卷20題第(3)問的多解探究與推廣

李錦旭

(北京市育英學校)

題目 (2022年北京卷20)已知函數(shù)

(1)求曲線y＝f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)設g(x)＝f′(x),討論函數(shù)g(x)在[0,＋∞)上的單調(diào)性;

(3)證明:對任意的s,t∈(0,＋∞),有

2022年,北京使用新教材的第一屆學生參加高考,命題體現(xiàn)了諸多與以往不同的新變化,本題第(3)小題新穎有趣,是這種新變化的典型,這里嘗試給出幾種解答并予以推廣.

思路1 著眼于多變量,采用將雙變量分主次的策略.

由于此不等式涉及雙變量(s,t),選擇其中一個為主變量(另一個為參變量)構造輔助函數(shù)如下.

方法2 (抽象函數(shù)分析法)將s視為主變量,t為參變量,則可構造關于s為自變量的抽象函數(shù),即

按復合函數(shù)求導法則,有

h′(s)＝f′(s＋t)-f′(s)＝g(s＋t)-g(t),

再利用第(2)問的結論:g(x)在[0,＋∞)上單調(diào)遞增可得h′(s)＞0,故f(s＋t)-f(s)-f(t)＞0,即對任意的s,t∈(0,＋∞),有f(s＋t)＞f(s)＋f(t).

思路2 先放縮后構造輔助函數(shù).

方法3 方法1中的式①看上去較為復雜,那么能否通過化簡、放縮等手段優(yōu)化解題過程呢? 我們知道ex＞1＋x(x＞0)(證明過程略),于是要證明式①,只需要先證明加強不等式

所以r(s)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,有

即es＋tln(1＋s＋t)＞esln(1＋s)＋etln(1＋t),即

其實,我們還可以用如下放縮的結論迅速得到

思路3 著眼于研究函數(shù)特征,從幾何意義視角尋求突破.

方法4 (拉格朗日中值定理)由(2)知g(x)＝f′(x),g(x)在[0,＋∞)上單調(diào)遞增,可知函數(shù)f(x)＝exln(1＋x)的圖像是向下凸的,基本形狀如圖1所示.

圖1

不妨設s≥t＞0,則函數(shù)f(x)在[0,＋∞)上的任意閉區(qū)間上連續(xù),相應開區(qū)間內(nèi)可導且端點值不相等,即滿足拉格朗日中值定理的條件,故由拉格朗日中值定理可得

故F(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.