一道解三角形多選題的賞析

張寧寧

(山東省濟南市章丘區第四中學)

多選題是近年新高考數學試卷中出現的一種新的題型,該題型具有一定的綜合性,注重對學生知識、方法的考查,對解題能力的要求較高.基于此,現選取一道解三角形多選題進行剖析,旨在幫助學生提高綜合運用能力,增強運算求解能力以及推理論證能力.

1 問題展示

題目 已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a＝6,4sinB＝5sinC,以下四個命題中正確的是( ).

A.△ABC的面積的最大值為40

B.滿足條件的△ABC不可能是直角三角形

C.當A＝2C時,△ABC的周長為15

D.當A＝2C時,若O為△ABC的內心,則△AOB的面積為7

分析 本題主要考查解三角形與其他知識的綜合運用,具體涉及正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角函數、一元二次方程有實數根等,側重考查學生的數學運算、邏輯推理能力,解法靈活多樣,具有較強的綜合性.

2 解法賞析

因為4sinB＝5sinC,所以由正弦定理得4b＝5c,從而可設b＝5x,c＝4x(x＞0).

2.1 分析選項A

2.2 分析選項B

因為a＝6,b＝5x,c＝4x,所以假設△ABC是直角三角形,則必有斜邊a＝6,或者斜邊b＝5x.

若斜邊b＝5x,根據勾股定理得16x2＋36＝25x2,解得x＝2,此時△ABC的邊長分別為6,10,8.

綜上,滿足條件的△ABC可能是直角三角形,故選項B錯誤.

2.3 分析選項C

方法1 當A＝2C時,cosA＝cos2C＝2cos2C-1.在△ABC中,由余弦定理得

所以

解得x＝-1(舍)或1,從而a＝6,b＝5,c＝4,所以△ABC的周長為15,故選項C正確.

2.4 分析選項D

綜上,通過對四個選項的逐個分析可知四個命題中正確的是ACD.

3 歸納總結

2)處理“不可能”問題時,需要靈活運用“假設法”——先假設可能,再進行合情推理、分析.若推出矛盾,則假設錯誤,即不可能;若推不出矛盾,則得到可能的具體情況.

3)求△ABC的周長時,方法1 是將二倍角余弦公式與余弦定理進行了綜合運用,運算量較大;而方法2綜合運用了正、余弦定理以及二倍角正弦公式,相對簡單一些.

總之,該題設計較好,不但能夠有效考查學生對相關數學知識和方法的理解、掌握以及運用程度,而且充分體現了多選題的特征——具有一定的綜合性,對運算求解能力、推理論證能力也提出了較高要求,能夠較好地培養學生的數學核心素養.

鏈接練習

1.(多選題)已知△ABC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則下列條件一定能夠使△ABC為等腰三角形的是( ).

2.(多選題)已知a,b,c為△ABC的三內角A,B,C的對邊,下列命題中正確的是( ).

A.在△ABC中,sinA＞sinB的充要條件是A＞B

B.在銳角△ABC中,sinAsinB＞cosAcosB恒成立

C.若acosA＝bcosB,則△ABC必是等腰直角三角形

D.若B＝60°,b2＝ac,則△ABC必是等邊三角形

鏈接練習參考答案

1.ACD. 2.ABD.