單調與奇偶齊飛,函數共性質一色

李 霞

(陜西省商州區高級中學)

函數的基本性質是高中數學的核心內容,主要包括函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性,在歷年的高考中函數的基本性質占有非常重要的地位.特別地,函數的單調性和奇偶性兩者之間關系密切、相輔相成,兩者之間既有聯系又有區別,可以用來處理與解決一些綜合性問題,具有較好的選拔性與區分度,因此備受命題者關注.本文結合實例,對函數的單調性和奇偶性的應用進行初步探討,剖析其在函數問題中的綜合應用.

1 比較大小問題

例1 已知奇函數f(x)在R 上是增函數,函數g(x)＝xf(x).若a＝g(-2),b＝g(1),c＝g(3),則a,b,c的大小關系為( ).

A.a＜b＜c

B.c＜b＜a

C.b＜a＜c

D.b＜c＜a

由于函數f(x)在R上是奇函數,則

結合函數g(x)＝xf(x),可得

g(-x)＝-xf(-x)＝xf(x)＝g(x),

所以函數g(x)在R上為偶函數.又由于函數f(x)在R上單調遞增,則知當x＞0時,f(x)＞f(0)＝0,又x＞0時,y＝f(x)＞0且為增函數,所以函數g(x)在(0,＋∞)上為增函數,結合函數g(x)為偶函數,則知c＝g(3)＞a＝g(-2)＝g(2)＞b＝g(1),故選C.

涉及函數值或參數的比較大小問題,求解的關鍵是通過代數運算、恒等變形轉化、函數的基本性質以及一些基本比較方法來分析與處理.函數的奇偶性與單調性的綜合應用,可以為進一步確定函數的基本特征奠定基礎.

2 求參數的范圍問題

例2 已知函數g(x)是R上的奇函數,且當x＜

作出函數g(x)的圖像,如圖1所示,結合圖像可知函數f(x)在R上為增函數.

圖1

又f(2-m2)＞f(m),則有2-m2＞x,即m2＋m-2＜0,解得-2＜m＜1,故選D.

利用函數的奇偶性與單調性,構建含參數的不等式(組),是解決參數范圍問題的關鍵.而函數的奇偶性與單調性可通過函數解析式、函數性質的定義以及函數的圖像等求得.

3 解不等式問題

例3 設函數f(x)為奇函數,且在(-∞,0)上單調遞減,若f(-2)＝0,則不等式xf(x)＜0的解集為( ).

A.(-1,0)∪(2,＋∞)

B.(-∞,-2)∪(0,2)

C.(-∞,-2)∪(2,＋∞)

D.(-2,0)∪(0,2)

由于函數f(x)為奇函數,且在(-∞,0)上單調遞減,又f(-2)＝0,則可畫出符合條件的奇函數f(x)的圖像(草圖),如圖2所示.

圖2

通過抽象函數的奇偶性與單調性來確定函數的圖像(草圖)特征以及基本性質,為運用數形結合思想方法分析與解決相關的問題提供條件.本題借助函數圖像(草圖),合理分類討論,從而巧妙解決抽象不等式問題,思維巧妙,直觀形象,簡捷有效.在求解不等式時,有效利用函數的單調性與奇偶性,并結合函數圖像加以直接分析與判斷,有時能快速求解問題.

4 確定最值問題

例4 已知函數f(x)為奇函數,當x＞0時,

則m＝1,n＝-5,故m＋n＝1-5＝-4.

圖3

涉及參數的最值或函數值的最值的確定問題,求解關鍵是綜合應用函數的奇偶性、單調性以及條件中給定的區間,結合函數的基本性質進行推理分析.

5 綜合應用問題

例5 已知函數f(x)是R 上單調遞減的奇函數,數列{an}為等差數列,若a2＞0,則f(a1)＋f(a2)＋f(a3)的值( ).

A.恒為正數 B.恒為負數

C.恒為0 D.可正可負

由于數列{an}為等差數列,則a1＋a3＝2a2,結合a2＞0,可得a1＋a3＞0,則a1,a3中至多有一個不是正數,不妨設a1＞0,則a1＞-a3.由于函數f(x)是R上單調遞減的奇函數,則有f(0)＝0,f(a2)＜f(0)＝0,f(a1)＜f(-a3),即f(a1)＋f(a3)＜0,所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＜0,故選B.

函數與集合、數列、三角函數、平面解析幾何等相關知識的交會與綜合問題,具有較高的創新性與綜合性,解題時要充分利用函數的單調性和奇偶性.

函數的單調性和奇偶性是函數中的兩個重要的性質,通常用它們巧妙地解決一些綜合性問題,這樣可以檢驗學生對數學基本知識的理解與應用,以及創新應用等,充分展示精妙的解題思想和數學方法,全面提升數學能力以及培養數學核心素養.