例析平面向量數量積范圍的常用求解策略

張 平

(廣東省珠海市實驗中學)

向量是既有長度又有方向的量,是聯系代數與幾何的橋梁,數量積既是向量中的一個核心概念,又是一種重要的運算法則與工具.通過平面向量數量積的最值或范圍問題,考查學生對知識的整合與靈活應用能力,是近年高考試題的一個熱點.此類題目呈現方式簡潔,但問題靈活多變,同時解題方法多樣,區分度大,因此能充分考查學生的數學學科素養.本文結合具體例題,緊扣平面向量“數”與“形”雙重特征,對平面向量數量積范圍求解策略進行探究,歸納總結此類問題的常用解法,以期提高分析、解決問題的能力,提升數學素養.

1 數量積的基礎知識

1.1 數量積的定義

a·b＝|a||b|cosθ,其中θ(0≤θ≤π)為非零向量a,b的夾角.規定0·a＝0,特別地,a·a＝a2＝|a|2.

1.2 數量積的坐標形式

1.3 常用結論

其中結論1～結論3主要用于數量積求解過程中的向量轉化或數量積的恒等變形,結論4～結論6主要用于向量數量積的范圍或最值的求解.

2 典例分析

圖1

圖2

例2 (2012年安徽卷理14)若平面向量a,b滿足|2a-b|≤3,則a·b的最小值是_________.

當且僅當向量a＋b與c方向相同時等號成立,故選D.

圖3

綜上,(a-c)·(b-c)的最小值為1- 2,故選D.

求解本題的關鍵是對題目信息的合理轉化與應用.方法1主要應用了數量積的運算性質與定義;方法2則通過賦予向量坐標,利用判別式法求解;方法3則通過對題目信息的幾何化,借助于解三角形知識求解.

A.[-5,3]

B.[-3,5]

C.[-6,4]

D.[-4,6]

方法1 由題意以C為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖4 所示,則A(3,0),B(0,4).因 為PC＝1,所以點P在以C為圓心,1為半徑的圓上運動,設P(cosα,sinα),α∈[0,2π),則

圖4

圖5

圖6

方法2 設M為線段AB的中點,連接CM,方法1 如圖7所示,設∠OPA＝α,PA＝x,則

圖7

方法2 以圓心O為坐標原點、直線OP為x軸建立平面直角坐標系,如圖8所示,則圓O的方程 為x2＋y2＝1,設P(x0,0),A(x1,y1),由對稱性知點B(x1,-y1),從而

圖8

圖9

方法1充分利用圖形特性,從角入手,利用向量夾角的關系和三角函數知識求解,操作性強;方法2則利用復數與向量間關系,在平面直角坐標系下,借助于復數的幾何意義,通過復數運算確定點的坐標,事半功倍,讓人眼前一亮.本題還可用極化恒等式、基底法、坐標法求解.

3 策略歸納

通過例題分析可以看出求平面向量數量積的最值或范圍通常分為兩個環節.首先是將目標數量積進行合理轉化,完成建模過程.平面向量數量積的計算有三種基本策略:一是定義法,要求知道相關向量的模與夾角,對轉化能力、運算能力和空間想象能力等要求比較高;二是坐標法,要求建立合適的平面直角坐標系,將“形”化“數”,以“數”定“形”;三是極化恒等式,但要求“和向量”或“差向量”的模為定值.因此在這一環節,除了運用向量的線性運算等基礎知識外,我們還要結合圖形的特點,挖掘圖形背后隱藏的信息,以求解問題為中心目標,實現信息提取與整合,通過知識的綜合運用、方法的靈活選擇實現數量積的“幾何化”或“函數化”.其次是“解模”過程,對于“幾何化”的數量積,即求解平面幾何中的最值或范圍問題,主要利用數量積的不等關系、平面圖形的幾何特性、三角形的相關性質進行判斷;對于“函數化”的數量積,則是求解代數中函數的最值與值域、不等式的解集等問題,主要通過三角函數、基本不等式、一元二次方程、二次函數、三角函數、導數等知識解決問題.

向量是代數與幾何的交會點,向量的基礎知識、常見公式與性質是解題的基礎,如平面向量基本定理、數量積、向量極化恒等式、向量柯西不等式等,這些常見的結論需要熟練掌握和靈活應用.對向量題目條件的挖掘和轉化是解題的關鍵和難點,我們要熟知常用的轉化策略,熟練掌握常用的最值求解方法,注重基本方法和技能,注重一題多解和一題多變,養成全方位、多角度思考問題的習慣,樹立數形結合的意識.我們相信只要同時具備幾何意識和代數思想,在面對向量相關問題時,就一定能做到輕車熟路、一往無前.