基于深度學習的初中數學公式教學探究
——以“24.4弧長和扇形面積（1）”教學為例

福建省福州屏東中學 鄭麗娟

黨的十八大明確提出“把立德樹人作為教育的根本任務”。隨著課堂教學改革的進一步發展，“核心素養”成為當前基礎教育理論與實踐研究的重點。以布魯姆認知維度層次劃分理論為基礎的深度學習模式，以學生已有的知識經驗為基礎，探求知識背后的規律，激發學生學習熱情，培養學生深度思考學習能力，是形成數學核心素養的重要途徑。初中數學深度學習是指在教師的引領下，學生圍繞具有挑戰性的數學學習主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得發展的有意義的數學學習過程。在這個過程中，學生獲得數學核心知識，把握數學的本質和思想方法，提高思維能力，發展數學學科核心素養。教師通過精心設計問題情境和學習任務，引發學生認知沖突和深度思考，關注對學生的形成性評價。

一、基于深度學習的初中數學公式教學

筆者在初中數學公式教學中進行了深度學習的一些探索，現以市級公開課“24.4弧長和扇形面積（1）”教學為例交流如下。

（一）明確深度學習目標

1.教材內容地位與作用

本節選自義務教育課程標準實驗教科書《數學》（人教版）九年級上冊，是第24章“圓”第四節“弧長和扇形面積”第1課時的內容。本節內容是在學生學習了圓的有關概念、性質、圓心角等內容之后，進一步學習弧長和扇形面積的計算公式，研究弧長和扇形面積公式的推導過程及其在實際問題中的應用。弧長和扇形面積公式是與圓有關的計算中的重要公式，是以圓的周長和面積公式為依據的，既為后繼學習中圓錐側面積公式的推導打下基礎，也是高中階段進一步學習弧長和扇形面積公式的基本內容。

2.課程標準中關于“弧長和扇形面積”的定位

理解弧長和扇形面積公式，并會計算弧長、扇形的面積；在弧長和扇形面積計算公式的探究過程中，感受轉化、類比的數學思想。

3.學生情況

首先，學生的生理、心理特點分析。九年級學生的生理、心理都還在發展過程中，他們的可塑性很強。這個階段的學生喜歡動腦思考，具備一定的探究能力，幾何直觀探索和推理能力也已形成，但也比較容易出現情緒的變化。因此既要盡量結合學生的興趣開展教學，又要適當引導，在教學中培養學生的數學思維能力和實踐探究能力。

其次，學生的“最近發展區”分析。學生的現有知識水平是圓的周長和面積公式，圓的有關概念、性質、圓心角等內容，學生能夠感知到弧長和扇形面積分別與圓的周長和面積有關，但是對于公式推導過程中圓心角的作用不易理解。通過教師的引導，學生潛在發展水平達到對公式推導過程中圓心角作用的理解。

最后，學生的挑戰性內容分析。挑戰性內容一：教師引導，合作探究弧長公式。學生聯系已有知識，在新、舊知識之間建立有意義的聯系。教師利用圓心角的特殊情況進行引導，學生感知弧長與弧所對的圓心角有關。弧長是圓周長的一部分，在圓周長公式的基礎上，借助部分與整體之間的聯系合作探究推導出弧長公式。挑戰性內容二：類比弧長公式的探究過程，合作探究扇形面積公式。類比弧長公式的探究過程，應用相同的研究方法，在圓面積公式的基礎上推導出扇形面積公式，進而通過弧長公式表示扇形面積。學生類比學習、建立前后知識的聯系以及對探究方法進行遷移，實現高階思維的形成。挑戰性內容三：把握本節課的數學思想方法，學會探究公式的一般方法。掌握學科的數學思想方法是深度學習的內涵之一。在弧長和扇形面積計算公式的探究過程中，感受“特殊到一般”“整體與部分”“類比”等數學思想。

4.教學重、難點

重點是弧長和扇形面積公式的推導及應用；難點是弧長和扇形面積公式的推導。

（二）教學過程

1.創設情境，引入課題

一年一度的校科藝節要到了，小霞買了一批扇子作為活動道具，她想給每把扇子外圍鑲上花邊，扇面貼上彩紙當裝飾。可她犯愁了：買多長的花邊、多大面積的彩紙合適呢？這就要涉及弧長和扇形面積的計算問題。

設計意圖：由學生感興趣的校園文化藝術節引入課題，創設情境，把生活中的問題轉化為數學問題，體現數學來源于生活、服務于生活，激發學生學習活動的需求與真誠的熱情，步入課堂深度學習。

2.探究弧長的計算公式

問題一：半徑為2的圓的周長是_____________。

問題二：求半徑為R的圓中，圓心角α所對的弧長（表1）。

表1

設計意圖：基于學生已有的學習經驗基礎，設計從特殊到一般的探究過程，有助于學生深刻地理解和體會弧長公式的生成。在這個活動過程中，學生愿意去學，有信心去學，從而學得更深刻，理解得更到位；在經歷弧長公式的生成過程中體會“特殊到一般”“部分與整體”的歸納方法，實現了數學深度學習。

問題一：公式中每個字母分別表示什么？

問題二：公式中180、n為什么不能帶單位？

問題三：公式中揭示的是哪幾個量之間的相等關系？已知其中的幾個量可以求出其余的量嗎？

問題四：公式中當R為定值時，l與n是什么函數關系？當n為定值時，l與R又是什么函數關系？

設計意圖：設計問題串，強化對公式的再認識，抓住公式的本質。滲透了函數的思想和方程的思想，讓學生感悟到“知二求一”的方程觀點。學生經歷數學知識再發現的過程，在不斷反思、質疑中對學習對象深度加工，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，發展數學學科核心素養。

根據弧長計算公式，完成表2。在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長為l。并通過表格的補充，掌握弧長計算公式的應用，幫小霞解決扇子花邊長度問題。

表2

設計意圖：學生利用弧長公式進行表格解題的過程中，進一步領悟了“知二求一”的方程思想，并學會思考問題的方法。設計與實際相關的問題，引導學生解決。學生明白數學與日常生活密切相關，公式運用并非只是單純的計算數據，而要真正學以致用。

3.探究扇形面積的計算公式

類比弧長公式的探究，合作探究扇形面積的計算公式。

設計意圖：教師要求學生以小組合作的方式進行推導探究。由扇形的定義可知扇形是圓面的一部分，扇形面積公式的生成類比弧長公式的學習經驗和學習方法。從特殊到一般的研究方法，理解部分與整體之間的關系，感受經驗和知識之間相互轉化，體會學習方法的遷移和應用，從而更好地促進學生的深度學習。

扇形面積公式的辨析：學生類比弧長公式的辨析自主進行扇形面積公式的辨析，教師進行引導和完善。

設計意圖：類比弧長公式的辨析由學生自主進行扇形面積公式的辨析，讓他們進一步感受經驗和知識之間相互轉化，體會學習方法的遷移和應用；加深了對“類比”“方程”“函數”等數學思想方法的進一步領悟，把握數學的本質和思想方法，提高思維能力。

學生類比弧長公式的應用中教師設計的表格，小組合作探究設計扇形面積公式的應用表格并填寫該表格，最后小組匯報成果。探討教材例題和例題變式中扇形面積計算公式的應用，并幫小霞解決扇面裝飾問題。

設計意圖：學生運用類比的方法進行扇形面積公式的運用學習。求“弓形面積”滲透了“轉化”思想，把不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積。再次聯系生活問題引導學生去解決，讓學生體會到數學的價值，真正體現“人人學有價值的數學”，感受到學習數學的樂趣，體會到成功的喜悅。

4.扇形面積公式與弧長公式的聯系

問題一：比較扇形面積和弧長公式，扇形面積和弧長都與哪些量有關呢？能否用弧長來表示扇形面積呢？請寫出推導過程。

問題三：類比弧長公式的辨析自主進行該公式的辨析。

問題四：S扇形、l、n、R這四個量，已知其中的幾個量可以求出其余的量呢？

設計意圖：設計問題串，以融會貫通的方式對數學公式進行組織整合，盡可能地體現公式本質之間的聯系，掌握公式之間內在聯系，為學生創設條件和機會，讓他們建構出自己的知識結構，并不斷將其優化，實現數學公式的深度學習。

5.體會分享，課堂小結

本節課你有什么收獲？

設計意圖：深度學習蘊含理解、總結和反思的過程，學生從知識和方法上進行多角度的總結和梳理，培養學生善于反思的學習方式，為其后續新知的學習積累基本的活動經驗。

二、初中數學公式教學中深度學習的思考

（一）應精心設計問題情境和問題串，引發學生認知沖突和深度學習

數學公式的學習往往是枯燥無味的，傳統的數學公式教學一般停留在對學生數學公式的記憶和技能的熟練與重復，學生學起來索然無味，更談不上思維能力的發展。從學生身邊熟悉的現象出發精心設計問題情境，激發學生學習興趣和求知欲；基于學生學習經驗，站在學生學習的“最近發展區”精心設計層層遞進的問題串，引發學生認知沖突和深度思考。

（二）應給學生足夠的時間和空間對公式的生成進行探究和深度學習

教學過程是一種特殊的認知活動，更是一種情感過程、探究過程和體驗過程。數學探究教學是以探究數學問題為主的教學，是學生獲得數學知識并培養探究能力的有效途徑。合作探究式教學作為一種重要的教學形式，日益凸顯出它的優越性，也得到了教育界廣泛的認可與推廣。以往的公式教學側重于記憶應用公式，忽略了公式的探索過程。學生死記硬背、生搬硬套，不會靈活運用公式。學生只有真正理解了公式的本質，才能活學活用。教學中，放手讓學生通過設計表格、填寫表格、小組討論等活動進行合作探究學習，學生經歷了公式的生成過程，形成了積極的情感體驗和對公式的正確認識、理解，而不是只看到“冰冷”的公式。在探究過程中，學生找到了公式探究的一般方法，在學習中學會類比數學方法，在對比中進行學習、成長，既是對已有思想方法的回顧，也是探索新公式的必經之路。在課堂教學過程中，教師要學會放手，培養學生獨立思考的習慣，重視學生是思考過程和想法，培養其創新能力，通過學生自主探究、小組合作討論，逐步實現發展。

（三）應注重對公式的辨析，激發深度學習

公式教學不僅要讓學生了解公式是怎樣獲得的，讓學生掌握公式本身，還要讓學生關注公式的變形及其應用，理解公式變量之間的關系，對比公式與公式間內在聯系和形態上的同構，開闊學生的視野，培養學生思維的靈活性。在這個學習過程中，學生獲得了數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，增強了發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，發展了數學學科核心素養。

（四）應注重數學思想方法的滲透，促進深度學習

在公式的生成探究、推導、辨析、應用過程中，不僅包含了數學的基礎知識、基本技能、基本活動經驗，還蘊含著豐富的數學基本思想，如“特殊到一般”“整體與部分”“類比”“方程”和“轉化”等。公式推導的過程不僅是對公式進行強化的過程，更深層次的是對數學思想方法進行提煉的過程。學生在教師的引導下，在實踐中體驗，在體驗中感悟，在感悟中思維得到提升和發展；在類比學習中遷移能力得到提高，真正促進了自身的深度學習，能夠綜合應用所學知識去解決新問題。