轉盤類圓周運動歸類賞析

胥紅斌

(甘肅省天水市秦安縣第一中學)

轉盤背景下的運動模型一般有三種.不同模型的質點運動存在臨界問題和最值問題,本文就此類問題進行剖析與拓展,探究解決此類問題的通性通法.

1 轉盤類圓周運動及其分類

轉盤之上放置一個物體、兩個物體或多個物體圍繞轉盤中心轉軸轉動,物體之間或利用繩子牽連,或疊加放置,要求考生分析物塊的受力與運動狀態的問題統稱為轉盤類圓周運動問題.根據轉盤上物塊個數多少可以將它們分成三類:單質點轉動模型、雙質點轉動模型和多質點轉動模型,也可根據轉盤上物體的空間連接方式分為獨立轉動模型、疊加體轉動模型、繩牽連轉動模型.

2 轉盤類圓周運動的呈現方式

2.1 單質點轉動模型

當一個物體放在轉動的圓盤上轉動時,圓盤對物體的摩擦力將提供物塊運動所需要的向心力,當轉盤的角速度緩慢增加時物塊受到的摩擦力將逐漸增加.

例1如圖1所示,一可視為質點的物體隨轉盤一起圍繞轉盤中心轉軸勻速率轉動,當轉速緩慢增加時,關于物塊的運動和受力說法正確的是().

圖1

A.物塊所需的向心力大小保持不變

B.摩擦力的方向與線速度的方向相反

C.物塊受到重力、支持力、摩擦力和向心力

D.摩擦力是物塊運動向心力的來源

解析物體在轉盤上受到重力、支持力和摩擦力,其中重力和支持力保持平衡,在物塊未和轉盤發生相對滑動之前摩擦力提供圓周運動所需向心力,方向始終指向運動中心并且隨著轉速增大而增加.故選 項D 正確.

點評上述案例是單質點轉動模型中較為簡單又典型的試題,分析向心力的來源是處理這類問題的關鍵,而受力分析則是解題關鍵.分析本題需要關注兩點:其一,需要緊扣“轉速緩慢增加”這一題眼,“緩慢”二字的潛在意義就是只要物體沒有發生相對滑動,物體在任何狀態下的運動都可以看作勻速圓周運動;其二,重力和支持力是一對平衡力,靜摩擦力是向心力的效果來源,因而其方向指向運動中心,且它隨著角速度的增加而逐漸變大,直至物體與轉盤發生相對滑動.

2.2 雙質點轉動模型

我們把兩個可以看成質點的物體隨轉盤轉動的模型稱之為雙質點轉動模型.這兩個物體的組合形式可以是單獨存在于轉盤之上,也可相互疊加形成疊加體,也可以通過繩子相連接形成牽連體等.分析這類問題的主要方法是整體法和隔離法.

例2如圖2所示,質量不等的甲、乙兩個物塊放在水平轉盤上,兩物塊與轉盤之間的動摩擦因數相同,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,讓轉盤繞過圓心的豎直軸勻速轉動,并逐漸增大轉動角速度,發現甲物塊先滑動,其原因是().

圖2

A.甲的質量比乙小

B.甲的質量比乙大

C.甲離轉軸的距離比乙小

D.甲離轉軸的距離比乙大

解析甲物塊先滑動說明甲先于乙達到最大靜摩擦或者臨界加速度,即μmg＝mrω2＝mr·4π2n2或μg＝rω2＝r·4π2n2,在甲相對轉盤滑動之前甲、乙轉速一樣,哪個物塊先滑動與物塊的質量無關,只與它們距離中心轉軸的距離有關,距離遠的最先滑動,距離近的稍后滑動.故選項D 正確.

點評假設甲、乙到中心轉軸的距離分別是r1、r2,滑動摩擦因數為μ.對甲而言μm甲g＝,甲開始滑動時轉盤的角速度ω1＝,此時乙所受到的摩擦力,還未達到最大靜摩擦力,因此它相對轉盤保持靜止.當時,乙才與轉盤開始發生相對滑動.本題的易錯點在于,考生容易認為質量小的物塊最先滑動,質量大的物塊最后滑動,把物塊質量與滑動本質對應.對于這樣的問題,教師需要引導學生一步一步挖掘題中的隱含條件進行臨界分析,幫助考生厘清問題解決的方向,從本質上來講,此題與例1差別并不大,分析思路大同小異.

2.3 三質點轉動模型

我們把轉盤上有三個隨轉盤一起轉動的物塊的情形稱之為三質點轉動模型.在習題教學中最常見的是繩牽連與疊加的情形,這類問題都可以通過一些物理處理變為雙質點轉動模型,這類題型雖情境單一,分析過程卻較為復雜.

例3如圖3 所示,在水平轉盤上放有質量分別為m、m、2m的可視為質點的三個物體A、B、C.圓盤可繞垂直圓盤的中心轉軸O1O2轉動,三個物體與轉盤之間的動摩擦因數均為μ,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,三個物體與軸心O共線且OB＝OA＝BC＝r.現將三個物體用輕質細繩相連接,保持細線伸直且恰好無張力,重力加速度為g,圓盤從靜止開始轉動,角速度ω極其緩慢地增大,對于這個過程,下列說法正確的是().

圖3

A.A、B兩個物體所受的摩擦力同時達到最大靜摩擦力

B.B、C兩個物體所受的靜摩擦力先增大后不變,A物體所受的靜摩擦力先增大后減小再增大

C.當ω＝時,三個物體整體發生滑動

解析轉動伊始,摩擦力提供運動所需向心力,FfA＝FfB＝mrω2,FfC＝2m·2rω2＝4mrω2,隨著角速度的增加,物塊所需向心力大小也將增加,當FfC＝μ·2mg時,B、C之間的繩子即將產生張力,對C根據μ·2mg＝,得ω1＝,此時A、B還未達到最大靜摩擦力,A、B之間的繩子還未產生張力.

轉盤轉速進一步增大,B、C之間的繩子產生張力.對C有FTBC＋μ·2mg＝4mrω2,對B有FfBFTCB＝mrω2,對A,FfA＝mrω2,可知B先于A達到最大靜摩擦力,當FfB＝μmg時,A、B之間的繩子即將產生張力,此時對B、C分別有μmg－FTCB＝,FTBC＋μ·2mg＝,解得ω2＝,此刻以后隨著轉速的增加,A、B之間的繩子產生張力,對B有FTAB＋μmg－FTCB＝mrω2,再利用假設法對A有FTBA＋FfA＝mrω2,根據C的方程解出B、C繩上的張力FTBC＝4mrω2－2μmg,代入前兩式得到FfA＝3μmg－4mrω2,那么我們便得到當ω＞ω2之后FfA隨著角速度的增加先減小為零,再反向增加到μmg,此時對A有FTBA－μmg＝,解得ω3＝.故選項B、C、D 正確.

點評在本題求解的過程中,我們需要認真考慮物體的臨界狀態,分階段列出牛頓第二定律,整個過程始終要關注物體是否達到了最大靜摩擦力以及繩子究竟處于哪種狀態.

3 方法總結與整理感悟

1)尋找向心力來源和對物塊進行狀態分析是解決這類問題的方向.不管轉盤上的物塊及其組成結構多么復雜,只要它們所做的運動可以看成勻速圓周運動,那么解題方向就是通過受力分析準確找到向心力來源,然后再根據物塊的運動驗證受力分析的正確性.

2)恰當的歸類和變式可以提升復習的整體效能.試題歸類拓展可以讓知識“結網”,讓零散的知識形成“知識塊”.變式分析則增強了思維的靈活性,通過變式應用,學生對解題技巧的掌握會更加牢固.

總之,深度研究轉盤類問題不僅能夠促成知識學習向深度理解的轉換,還能夠增強學生知識結構的網絡化程度,當學生能夠按照知識分類的角度思考問題時,學生的學習能力也就逐步得到加強.

(完)