豎直平面內的圓周運動模型解析

王世超

(山東省沂南第一中學)

豎直平面內的圓周運動是高中階段物理各類考試中最常考的題型,是高考考查的重點,而且常以大分值的計算題形式出現.它之所以會成為高考考查的重點和熱點,是因為想要解決這類問題,就需要掌握牛頓運動定律、動能定理、功能關系等主要知識點,還要對臨界狀態分析、數形結合等物理思想有較深入的理解,對學生的綜合能力和學科素養有較高要求.因此,我們有必要對這一題型做深入分析.

1 題型特征總結

1.1 常見模型

1)輕繩模型

如圖1所示,運動物體在一輕繩的作用下繞固定點在豎直平面內做圓周運動,該模型的最大特征是物體運動過程中輕繩只能提供拉力,無法提供支持力.對輕繩模型2種情況總結如下.

圖1

a)臨界條件分析.

由mg＝可得物體過最高點的臨界條件是,故有物體能過最高點時,v≥v臨＝;物體不能達到最高點時,v＜v臨＝

b)最高點和最低點分析.

在最高點有2種情況:一是輕繩或圓軌道對物體仍有力的作用,提供向心力,有F＋mg＝,其中F是輕繩或者圓軌道對物體的彈力.二是輕繩或圓軌道對物體無力的作用,不提供向心力,有mg＝

在最低點只有一種情況,即輕繩或圓軌道對物體有力的作用,提供向心力,則有F－mg＝

c)在最高點F-v2圖像如圖2 所示(以豎直向下為正方向).

圖2

2)輕桿模型

如圖3所示,運動物體在一輕桿的作用下繞固定點在豎直平面內做圓周運動,該模型的最大特征是物體運動過程中桿對物體有支持力和拉力作用,物體過最高點時所受合力可以為零,在最高點能夠處于平衡狀態.

圖3

a)臨界條件分析.

由于有輕桿的支持力作用,物體過最高點時臨界速度v臨＝0.

b)最高點和最低點分析.

在最高點可能有4種情況:

Ⅰ.當v＝0時,輕桿或圓軌道對物體豎直向上的支持力等于物體的重力,即F＝mg,支持力F的方向沿半徑背離圓心.

Ⅱ.輕桿或圓軌道對物體無力的作用,只有物體的重力提供向心力,即mg＝,有v＝.

Ⅲ.當,輕桿或圓軌道對物體有拉力作用,拉力和物體的重力提供向心力,有F＋mg＝,拉力F的方向沿半徑指向圓心,大小隨v的增大而增大.

Ⅳ.當時,物體的重力大于其所需的向心力,輕桿或圓軌道對物體有向上的支持力,有mg－F＝,支持力F的方向沿半徑背離圓心,支持力F的大小隨v的增大而減小.

在最低點只有一種情況:輕桿或圓軌道對物體有豎直向上的力的作用,有F－mg＝

c)在最高點F-v2圖像如圖4所示(以豎直向下為正方向).

圖4

1.2 方法點撥

物理模型是物理問題最基本的提煉.我們遇到的問題不可能完全按照物理模型進行設計,但熟練掌握基本模型的知識原理,能幫助我們以不變應萬變.

1)解題步驟

a)審題,確定研究對象;b)分析研究對象的運動情況,即確定研究對象的速度、運動半徑、圓周運動的圓心等;c)受力分析,確定向心力的來源;d)列式,可根據牛頓運動定律、功能關系等列式;e)求解、討論,避免計算錯誤或漏掉某些情況.

2)解題思路

“兩點一過程”:“兩點”即上面提到的最高點、最低點,根據對兩點的受力分析,尋找向心力來源,根據牛頓第二定律等列方程;“一過程”是指在研究某個過程中運用能量觀點(機械能守恒定律、動能定理)列方程.

2 典型例題解析

例“水流星”是雜技表演中較受歡迎的表演項目,已知“水流星”由兩個水桶和一根剛性繩組成,將水桶拴在繩子兩端,在水桶中裝滿水,雜技演員握著繩子將它甩動起來,兩水桶就會如流星般飛舞,即便水桶口豎直朝下了,桶里的水也不會流出一滴.圖5-乙是某一時刻水流星位置示意圖,水桶A在最高點,水桶B在最低點,雜技演員只需控制繩子中點O位置不動,水桶A和B恰好能通過最高點.已知繩長l＝1.6m,兩水桶的質量(包括桶和桶里的水)相等,均為m＝0.5 kg,不計空氣阻力和繩子的重力,g取10m·s－2.求:

圖5

(1)在最高點和最低點水桶的速度大小;

(2)圖乙狀態時,手對繩子的力的大小.

分析本題是最典型的豎直面內的圓周運動,屬于輕繩模型.該題難度不大,只需要應用牛頓第二定律、機械能守恒定律,結合受力分析和向心力表達式,就能完成解題.

解(1)設在最高點和最低點水桶的速度分別為v1和v2.由題意知水桶做圓周運動的半徑

由題中“水桶A和B恰好能通過最高點”一句可知,當水桶通過最高點時,繩子對桶沒有拉力,桶和水的重力提供向心力,即mg＝,代入數據解得

根據機械能守恒定律,當水桶由最高點運動到最低點時,有mgl＋,代入數據解得

(2)由題意可知,繩OA對水桶A沒有力的作用,繩子OB對水桶B有力的作用,水桶B做圓周運動的向心力由繩子的拉力FOB和水桶的重力的合力提供,以水桶B為研究對象,受力分析得FOB－mg＝代入數據解得FOB＝30N.

3 總結

豎直平面內的圓周運動是牛頓運動定律和功能關系綜合考查的最好結合點,與該模型相關的大都是圓周運動、平拋運動、多體運動的綜合問題,甚至還會涉及電場和磁場的相關知識,看似繁雜,解題思路和方法卻很簡單,那就是先確定研究對象,確定不同運動的銜接點和運動狀態,然后利用相關公式列式即可.對于豎直平面內的圓周運動,一定要先確定是輕繩模型還是輕桿模型,然后根據我們總結的知識結合題意分析即可.對于瞬時狀態(如最高點和最低點)應用牛頓運動定律解答;對于過程(如兩點的聯系)應用功能關系(如動能定理、機械能守恒定律)解答.

(完)