構建相對運動模型 解天體“追及相遇”問題

王曉娜

(山東省平度經濟開發區高級中學)

圍繞同一中心天體在不同軌道做圓周運動的天體(或衛星),由于運動周期的不同,會出現相距最近或相距最遠的情況,這類問題稱為天體運動中的“追及相遇”問題.最近或最遠外在表現為天體共線,其內在規律體現為天體運動過程中的角度關系或圈數關系.該類問題由于涉及兩個物體的轉動,其運動情境的構建和角度關系的尋找,對學生來說是一個難點.本文嘗試從相對運動的角度,通過構建“圓周相對運動模型”,化多體運動為單一物體的運動,從而幫助學生有效突破這一難點,實現問題的快速求解.

1 引入圓參考系,構建“圓周相對運動模型”

如圖1所示,物體A、B繞O點做同向(逆時針方向)勻速圓周運動,它們做圓周運動的角速度、周期分別為ω1、ω2和T1、T2.某一時刻,O、A、B共線,經時間t轉過的角度分別為θ1、θ2.

圖1

假設ω2＞ω1,則以OA連線為參考系,此參考系可稱為圓參考系,在該參考系中,A可認為靜止不動.則物體B相對角速度

相對轉動周期

相對轉過的角度

若物體A、B繞O點做方向相反的勻速圓周運動,如圖2所示,則有

圖2

相互關系有

2 模型在天體“追及相遇”問題中的應用

2.1 同向運動星體的“追及相遇”問題

例1如圖3 所示,天體a、b在萬有引力作用下,繞中心天體c沿逆時針方向做勻速圓周運動,已知a、b軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4,則下列說法正確的是().

圖3

A.a、b運動的角速度之比為ωa∶ωb＝8∶1

B.a、b運動的周期之比為Ta∶Tb＝8∶1

C.從圖示位置開始在b轉動一周的過程中,a、b相距最近7次

D.從圖示位置開始,在b轉動一周的過程中,a、b、c共線12次

解析由萬有引力提供向心力,有

2.2 反向運動衛星的“追及相遇”問題

例2如圖4所示,A、B兩顆衛星繞地心O做勻速圓周運動,運動方向相反.A衛星的周期為T1,B衛星的周期為T2,在某一時刻兩衛星相距最近,引力常量為G,則().

圖4

若已知A、B兩衛星相距最近時的距離,結合兩衛星的軌道半徑之比可以求出A、B兩衛星的軌道半徑,根據萬有引力提供向心力,有則可求出地球的質量M,由于不知道地球的半徑,故無法求出地球的密度,選項D 錯誤.

例3太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動.當地球恰好運行到某地外行星和太陽之間,且三者幾乎排成一條直線的現象,天文學稱為“行星沖日”.據報道,2014年各行星沖日時間分別是:1月6日木星沖日;4月9日火星沖日;5月11日土星沖日;8月29日海王星沖日;10月8日天王星沖日.已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如表1所示.則下列判斷正確的是().

表1

A.各地外行星每年都會出現沖日現象

B.在2015年內一定會出現木星沖日

C.天王星相鄰兩次沖日的時間間隔為土星的一半

D.地外行星中,海王星相鄰兩次沖日的時間間隔最短

在天體運動中,涉及相距最近或最遠的時間問題和最近(最遠)或共線的次數問題時,從相對運動的角度分析,通過建構“圓周相對運動模型”,可簡化運動情境和減少運算量,有效突破學生的認知難點,切實提高學生解決問題的能力.

(完)