橢圓軌道類(lèi)天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的突破方法

劉曉花

(山東省平度市第九中學(xué))

橢圓軌道類(lèi)天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題,因其運(yùn)動(dòng)軌跡的特殊性,分析的方法與圓周類(lèi)天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題有所不同,近幾年的全國(guó)高考卷和地方高考卷對(duì)該類(lèi)問(wèn)題都有所涉及,如2021年高考全國(guó)乙卷第18題和福建卷的第8題均對(duì)此進(jìn)行了考查,其中福建卷還涉及了橢圓的偏心率.試題難度不大,但考后統(tǒng)計(jì)表明,學(xué)生對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的作答卻不盡人意.究其原因主要有三點(diǎn):一是學(xué)生對(duì)橢圓知識(shí)不熟悉,應(yīng)用數(shù)學(xué)工具分析物理問(wèn)題的意識(shí)淡薄;二是對(duì)萬(wàn)有引力定律和向心力公式中的“r”認(rèn)識(shí)模糊,將二者中的“r”混為一談;三是受思維定式的影響,在橢圓運(yùn)動(dòng)中盲目套用天體圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.那么如何有效突破這一問(wèn)題難點(diǎn)呢? 筆者認(rèn)為要著重把握好以下兩個(gè)方面.

1 熟悉橢圓知識(shí),樹(shù)立數(shù)理意識(shí)

1.1 長(zhǎng)軸、短軸和焦距

在如圖1所示的橢圓中,左、右兩端點(diǎn)A、B之間為長(zhǎng)軸,記為2a,上、下兩端點(diǎn)C、D間的距離為短軸,記為2b,兩焦點(diǎn)F1、F2之間的距離為焦距,記為2c,三者之間的關(guān)系為(2a)2＝(2b)2＋(2c)2,即有a2＝b2＋c2.

圖1

1.2 離心率和曲率半徑

1)離心率:是橢圓扁平程度的一種量度,離心率定義為橢圓焦距和長(zhǎng)軸的比值,用e表示,即e＝.

2)曲率半徑:曲率半徑主要是用來(lái)描述曲線(xiàn)上某處曲線(xiàn)彎曲變化的程度,在橢圓中,A、B兩端點(diǎn)處的曲率半徑定義為橢圓半短軸的二次方和半長(zhǎng)軸的比值,用ρ表示,即ρ＝

2 厘清兩個(gè)關(guān)系,把握問(wèn)題本質(zhì)

1)橢圓軌道中,近點(diǎn)和遠(yuǎn)點(diǎn)的速度關(guān)系

如圖2所示,一天體m繞另一天體M運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓,天體M處在橢圓其中一個(gè)焦點(diǎn)上,可認(rèn)為靜止不動(dòng).設(shè)OA間的距離為rA,OB間的距離為rB,天體m運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度大小分別為vA和vB.

圖2

2)不同中心天體的質(zhì)量關(guān)系

由開(kāi)普勒第三定律可知,所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比都相等,即有,這個(gè)規(guī)律對(duì)其他天體系的橢圓運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)同樣適用.但公式中的k與中心天體的質(zhì)量存在著怎樣的關(guān)系,及不同中心天體的質(zhì)量如何建立聯(lián)系,大部分學(xué)生并不清楚,這也是導(dǎo)致2021年高考全國(guó)乙卷第18題和福建卷的第8題得分率較低的一個(gè)主要原因.下面,我們以天體圓周運(yùn)動(dòng)為例進(jìn)行推導(dǎo).

如圖3所示,天體m繞中心天體M做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則由萬(wàn)有引力提供向心力有,故有

圖3

由此,再反觀(guān)開(kāi)普勒第三定律便不難得出,無(wú)論繞“中心”天體做橢圓運(yùn)動(dòng)還是圓周運(yùn)動(dòng),均有k＝.可見(jiàn),k與中心天體的質(zhì)量成正比,不同中心天體的質(zhì)量則可通過(guò)對(duì)應(yīng)的橢圓半長(zhǎng)軸(或圓周半徑)和公轉(zhuǎn)周期建立聯(lián)系.

例(2021年福建卷)兩位科學(xué)家因?yàn)樵阢y河系中心發(fā)現(xiàn)了一個(gè)超大質(zhì)量的致密天體而獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).他們對(duì)一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進(jìn)行了持續(xù)觀(guān)測(cè),記錄到的S2的橢圓軌道如圖4所示.圖4 中O為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),橢圓偏心率(離心率)約為0.87.P、Q分別為軌道的遠(yuǎn)心點(diǎn)和近心點(diǎn),Q與O的距離約為120AU(太陽(yáng)到地球的距離為1AU),S2的運(yùn)行周期約為16年.假設(shè)S2的運(yùn)動(dòng)軌跡主要受銀河系中心致密天體的萬(wàn)有引力影響,根據(jù)上述數(shù)據(jù)及日常的天文知識(shí),可以推出().

圖4

A.S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比

B.銀河系中心致密天體與太陽(yáng)的質(zhì)量之比

C.S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的速度大小之比

D.S2在P點(diǎn)與Q點(diǎn)的加速度大小之比

總之,分析橢圓軌道類(lèi)天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí),要以“橢圓”為切入點(diǎn),強(qiáng)化數(shù)學(xué)方法分析物理問(wèn)題思維,以開(kāi)普勒第三定律為紐帶,建立天體橢圓運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián),明確近點(diǎn)和遠(yuǎn)點(diǎn)所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,辨析中“r”在不同情境中表示的不同含義,只有這樣,才能以不變應(yīng)萬(wàn)變,靈活分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.

鏈接練習(xí)

航天飛機(jī)在完成對(duì)哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的維修任務(wù)后,在A(yíng)點(diǎn)從圓形軌道Ⅰ進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ,B為軌道Ⅱ上的一點(diǎn),如圖5所示,關(guān)于航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法正確的有().

圖5

A.在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)A的速度等于經(jīng)過(guò)B的速度

B.在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)的周期大于在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)的周期

C.在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)A的速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過(guò)A的速度

D.在軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)A的加速度小于在軌道Ⅰ上經(jīng)過(guò)A的加速度

鏈接練習(xí)參考答案

C.

(完)