由一個平拋運動的錯誤解答引發的思考

曹 芳

(廣東惠州市東江高級中學)

平拋運動是高中物理學中最重要的物理模型之一,在近5年的全國卷和單獨命題的省份試卷中每年都會有涉及.本文以飛機投彈這一經典模型為例,從一道經典例題的錯誤解答入手,分析錯誤的根源,利用平拋運動的基本特點,通過兩種特殊方法,尋找求解飛機投彈類問題的鑰匙,以期達到觸類旁通的目的.

例如圖1 所示,戰斗機沿水平方向勻速飛行,先后釋放三顆炸彈,分別擊中山坡上等間距的A、B、C三點,已知 擊中A、B的時間間隔為t1,擊中B、C的時間間隔為t2,不計空氣阻力,則().

圖1

A.t1＜t2B.t1＝t2

C.t1＞t2D.無法確定

錯誤解析高中物理多種教輔資料中均有本題,答案多數選的是A,分析過程如下:如圖2 所示,A、B、C三點等間距,由幾何關系可知,AA1、BB1的豎直高度差相同.設1、2兩炸彈在空中運行的時間差為Δt1,2、3兩炸彈在空中運行的時間差為Δt2,則Δt1為炸彈1從A1到A的時間,Δt2為炸彈2從B1到B的時間,由于平拋運動在豎直方向上做自由落體運動,越往下豎直分速度越大,故Δt1＜Δt2,從而得到t1＜t2,故選項A 正確.

圖2

此解法錯誤的原因是把炸彈在空中運行的時間差和落地的時間間隔等同了,只有三顆炸彈同時投出,才能得到這一結論.實際上這三顆炸彈是從同一架戰斗機上先后投出的,炸彈落地的時間間隔由投彈時間間隔和炸彈在空中運行的時間差共同決定.設三顆炸彈投彈的時間間隔分別為t12和t23,則t1＝t12－Δt1,t2＝t23－Δt2,本題t12和t23的大小關系不明確,故無法直接由Δt1＜Δt2得到t1＜t2.對于t1＝t12－Δt1關系式,可這樣類比:1、2兩位同學先后從教室出發去食堂吃飯,出發的時間間隔t12為5分鐘,但是在去往食堂的路上1同學走得比較慢,比2同學多花的時間Δt1為1分鐘,兩位同學到達食堂的時間間隔t1就應該等于t12－Δt1,為4分鐘.

圖3

拓展1試比較三顆炸彈投彈的時間間隔t12和t23的大小關系.

分析由前面的分析可知t1＝t12－Δt1,t2＝t23－Δt2,因t1＝t2,Δt1＜Δt2,故t12＜t23,即只有逐漸增大投彈的時間間隔,在山坡上擊中的A、B、C三點才能等間距.

拓展2若飛機順坡投彈,三顆炸彈分別擊中圖4 中山坡上等間距的A、B、C三點,擊中A、B和B、C的時間間隔分別為t1、t2,三顆炸彈投彈的時間間隔分別為t12和t23,試比較t1和t2、t12和t23的大小關系.

圖4

分析三顆炸彈分別擊中山坡上的A、B、C三點時,戰斗機分別位于A、B、C三點的正上方,因AB＝BC,故t1＝t2.設1、2兩炸彈在空中運行的時間差為Δt1,2、3兩炸彈在空中運行的時間差為Δt2,由前面分析可知Δt1＞Δt2,因炸彈1先投且在空中運行的時間更 短,故t1＝t12＋Δt1,同理有t2＝t23＋Δt2,故t12＜t23,即只有逐漸增大投彈的時間間隔,在山坡上擊中的A、B、C三點才能等間距.

小結不管飛機是迎坡投彈還是順坡投彈,若要擊中山坡上等間距的點,投彈時間間隔都要逐漸增大,而炸彈落地的時間間隔總是相同的.

變式1如圖5 所示,一架戰斗機沿水平方向勻速飛行,等時間間隔先后釋放三顆炸彈,分別擊中山坡上的A、B、C三點,則三個擊中點的間距關系為().

圖5

A.AB＞BCB.AB＜BC

C.AB＝BCD.無法確定

常規賽后半段已經在緊鑼密鼓地進行，西王2019年的“后”希望，也在于需要大紀和大龍動員一切可能的力量，絕境反擊，在強敵環繞中殺出一條血路來，畢竟，兩軍相遇勇者勝，大紀和大龍都是身經百戰的老江湖了，他們懂得，上賽季總決賽四強的隊伍，不應該人見人欺，倘不能扭轉這一窘境，那大紀和大龍，也就尷尬了。

解法1(幾何法) 因戰斗機沿水平方向勻速飛行,故三顆炸彈在空中運動的軌跡完全相同,如圖6所示,作出三顆炸彈在空中的運動軌跡,過B點作水平線與另外兩條拋物線分別相交于A1、C1,過A1、C1分別作兩拋物線的切線,切線與山坡的交點分別為D、E,故A1D∥C1E,因三顆炸彈是等時間間隔先后釋放的,故A1B＝BC1,從而△A1DB≌△C1EB,故DB＝EB,AB＞BC,答案選A.

圖6

解法2(假設法) 假設AB＝BC,由前面分析可知,投彈時間間隔為t12＜t23,根據已知條件t12＝t23,炸彈2相比AB＝BC情況應延遲一點投出,則炸彈2落點必定落在BC之間,故答案是AB＞BC.

拓展設炸彈擊中A、B的時間間隔為t1,擊中B、C的時間間隔為t2,試比較t1和t2的大小關系.

分析如圖3所示,三顆炸彈分別擊中山坡上的A、B、C三點時,戰斗 機分別 位于A、B、C三點的正上方,因AB＞BC,故水平位移x12＞x23,因戰斗機沿水平方向勻速飛行,故t1＞t2.

小結從同一戰斗機上等時間間隔先后釋放的三顆炸彈,落在山坡上的時間間隔會逐漸減小,彈坑的間距也逐漸減小,此結論同樣適用于逆坡投彈.

變式2如圖7所示,甲、乙、丙三架戰斗機排成一列縱隊,且相鄰兩架飛機間距相同,它們沿水平面以相同速度勻速飛行,某時刻它們同時釋放一顆炸彈,分別擊中山坡上的A、B、C三點,則三個擊中點的間距關系為().

圖7

A.AB＞BCB.AB＜BC

C.AB＝BCD.無法確定

解法1(幾何法) 因三架戰斗機飛行速度相同,故三顆炸彈在空中的運行軌跡也完全相同,變式1的解法1同樣適用于本題,不再復述.

解法2(假設法) 三顆炸彈下落的高度不同,在空中運行的時間也不同,且有t丙＜t乙＜t甲,如圖8所示,當乙炸彈擊中B點時,乙戰斗機恰好位于B點的正上方B1點,此時甲炸彈還未到達A點,故甲戰斗機在A1后方,設甲戰斗機離A1的距離為s1,丙戰斗機已經飛離了C1,設丙戰斗機此時離C1的距離為s2.假設AB＝BC,則有A1B1＝B1C1,DA＝EB .設甲、乙兩炸彈在空中運行的時間差為Δt1,乙、丙兩炸彈在空中運行的時間差為Δt2,根據自由落體運動的特點可知Δt1＜Δt2.設三架戰斗機水平飛行的速度為v,則s1＝vΔt1,s2＝vΔt2,很顯然s1＜s2,即只有s甲乙＜s乙丙時,才有AB＝BC.若要滿足假設,在三架戰斗機等間距排列情況下,應該讓乙戰斗機的位置往前靠一些,則乙投出的炸彈落點必定落在BC之間,故AB＞BC.

圖8

小結無論是一架飛機等時間間隔先后投彈,還是三架等間距飛機同時投彈,在斜坡上留下的彈坑間距都是逐漸減小的.值得注意的是,若三顆炸彈是先后投放的,擊中目標的時間間隔不止與炸彈在空中運行的時間差有關,還跟投彈的時間間隔有關;若三顆炸彈是同時投出的,則擊中目標的時間間隔僅與三顆炸彈在空中運行的時間差有關.

綜上所述,解決飛機投彈類問題的關鍵是三點:1)抓住炸彈在豎直方向做自由落體運動的運動特點,找出炸彈在空中運行的時間關系;2)抓住其水平方向做勻速直線運動的特點,找到飛機和炸彈的位置關系;3)找準炸彈落地時間間隔和投彈時間間隔、炸彈在空中運行的時間差的關系.抓住了以上三點,此類問題便能迎刃而解.

(完)