多思維切入,妙視角拓展
——2022年高考數學新高考Ⅱ卷第12題

陳耀熙

(福建省福州超德中學)

以多選題為創新形式的不等式成立的判斷問題,是近年新高考數學試卷中的一類常考的熱點題型,難度中等及以上.此類問題背景簡潔、情境多變、創設新穎,合理交會、融合函數與方程、不等式等相關知識,合理融入數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養,全面考查數學基本知識、數學思想方法和數學能力,備受各方關注.本文從不等式思維、整體思維、換元思維以及特殊思維等不同思維方式,對2022年數學新高考Ⅱ卷第12題進行分析與深入研究,歸納總結了不同的解題方法與技巧,展示思維方式與能力的要求,突出創新意識與創新應用,以期引領并指導高考數學備考與解題研究.

1 真題呈現

題目(2022年新高考Ⅱ卷12,多選題)若實數x,y滿足x2＋y2－xy＝1,則( ).

A.x＋y≤1

B.x＋y≥－2

C.x2＋y2≤2

D.x2＋y2≥1

分析此題是多選題,它以二元方程為問題背景,結合不等式成立的判斷來設置,主要考查函數與方程、不等式等相關知識.

試題難度中等,屬于比較常見的題型,只是這里借助多選題的形式加以創新編制.解題時,可以巧妙地運用融入整體思維以及換元思維,實現問題的分析與判斷.

2 真題破解

2.1 不等式思維

方法1 (不等式性質法)

由x2＋y2－xy＝1,可得(x＋y)2－3xy＝1,由不等式性質可得,則

綜上,選BC.

點評根據二次函數的性質及其對應的展開式,對代數式進行配方與轉化,再結合不等式的相關知識來確定代數式x＋y,x2＋y2等的取值范圍,從而分析與判斷選項.不等式思維是分析與判斷此類問題中常用的思維,關鍵是把握不等式的性質,提升數學運算、邏輯推理等素養,從而巧妙變形,正確判斷.

2.2 整體思維

方法2 (配方法)

由x2＋y2－xy＝1,配方可得

點評熟悉代數式x＋y,x－y,xy,x2＋y2等之間的關系,合理恒等變形與化歸,利用代數式的結構特征確定對應的不等式,為求解相應代數式的取值范圍提供了條件.運用整體思維法處理此類問題時,對代數式的變形與轉化以及數學運算能力的要求比較高,要求學生有敏銳的洞察力與運算技巧.

2.3 換元思維

方法3 (對稱換元法)

點評引入雙變元進行對稱換元處理,將條件中的二元方程轉化為關于新參數的關系式,進而確定對應的取值范圍,從而得以分析與判斷.對稱換元法是破解復雜二次方程中比較常用的一種變換技巧,其以新參數代替原參數,簡化關系式,優化過程.

2.4 特殊思維

方法4 (特殊值法)

取特殊值令x＝y＝1,其滿足x2＋y2－xy＝1,則x＋y＝2≤1不成立,故選項A 錯誤;再取特殊值x＝－y＝,其滿足x2＋y2－xy＝1,則x2＋y2＝≥1不成立,故選項D 錯誤.再根據多選題的特征,故選BC.

點評通過選取二元方程滿足條件下的特殊值,合理排除選項.在多選題中,尤其是確定其中兩個選項錯誤時,則另外兩個肯定是正確答案.利用特殊值法破解相應的綜合與創新問題,有一定的“秒殺”效果,但一般“可遇而不可求”,不具有可推廣性與普及性,如果一定要花大量時間去配湊特殊值,有可能會得不償失.

3 變式拓展

通過改變題目中變量的取值情況,賦予新的情境,對問題進行變式拓展,并通過問題的分析與求解鞏固解題方法.

變式(多選題)已知a＞0,b＞0,且a＋b＝2,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是( ).

4 小結

4.1 掌握“通技通法”,鞏固“四基”訓練

高考中涉及不等式成立的判定問題,主要融入函數與方程、不等式等相關知識.常見解決問題的通性通法是不等式思維、整體思維、換元思維、特殊思維等,借助一些常見的方法(如配方法、特殊值法等),全面靈活應用相關的數學知識來分析與解決問題,鞏固數學“四基”訓練.

4.2 體驗思想方法,培養核心素養

高考中涉及不等式成立的判定問題,巧妙設置,創新應用,融入函數與方程、化歸與轉化以及特殊與一般等數學思想方法,滲透相應的數學能力及數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養,使學生在解題過程中掌握和領悟數學思想方法,培養學生的數學核心素養.

(完)