巧選視角切入,妙用方法證明
——2022年高考數學全國甲卷第23題

高生軍

(黑龍江省大慶市東風中學)

不等式證明是數學問題中的重難點,其證明過程無固定的模式,證明的技巧性強,推理過程復雜,證明方法又多種多樣.本文結合一道高考真題,發散思維,多方法切入,展示常規證明方法.

1 真題呈現

題目(2022年全國甲卷理23)已知a,b,c均為正數,且a2＋b2＋4c2＝3,證明:

(1)a＋b＋2c≤3;

(2)若b＝2c,則

分析此題涉及二元與三元不等式證明,是不等式應用中具有一定典型性的一類問題.此題的求解關鍵是巧妙利用條件a2＋b2＋4c2＝3,第(2)問還可以直接利用第(1)問的結論與條件b＝2c,通過合理轉化與變形,進而利用不等式的性質、重要不等式等分析,特別要注意對應重要不等式的限制與條件.

2 真題破解

(1)方法1 (作差比較法)

由于a,b,c均為正數,且a2＋b2＋4c2＝3,而

則(a＋b＋2c)2≤3(a2＋b2＋4c2)＝3×3＝9,即a＋b＋2c≤3,當且僅當a＝b＝2c＝1時,等號成立,所以a＋b＋2c≤3.

點評根據題目條件中的關系式與所證關系式之間的聯系,借助作差比較法求解.作差比較法簡單易懂,關鍵是系數的合理配湊、代數式的重新組合與完全平方公式的應用等.

方法2 (基本不等式法)

由于a,b,c均為正數,且a2＋b2＋4c2＝3,所以

當且僅當a2＝1,b2＝1 且4c2＝1,即a＝b＝2c＝1時,等號成立,解得a＋b＋2c≤3.

點評根據題目條件中的關系式,合理配湊常數,結合所證關系式的結構特征進行組合,借助基本不等式進行放縮處理,再通過求解不等式來達到證明的目的.運用基本不等式法求解或證明問題,關鍵是對比條件與結論之間的聯系正確配湊系數.

方法3 (柯西不等式法)

由于a,b,c均為正數,且a2＋b2＋4c2＝3,根據柯西不等式可得(12＋12＋12)[a2＋b2＋(2c)2]≥(a＋b＋2c)2,則(a＋b＋2c)2≤3×3＝9,即a＋b＋2c≤3,當且僅當a＝b＝2c＝1時,等號成立,所以

點評由于題目條件中的關系式與所證關系式的結構特征符合柯西不等式的應用條件,因此合理配湊相關的系數,利用柯西不等式加以轉化,結合不等式的性質進行求解.柯西不等式是解決含多變元平方關系式的最值問題比較常用的一種技巧.

方法4 (三角換元法)

點評對題目條件中的關系式進行兩次三角換元處理,再利用三角函數關系式的恒等變形與輔助角公式、三角函數的圖像與性質確定代數式的最值問題,這是解決問題常用的一種技巧.三角換元法可以將代數式轉化為三角函數關系式,巧妙借助三角函數的相關知識來確定最值、取值范圍,從而求解不等式的證明等問題.

(2)方法1 (基本不等式法)

由于a,b,c均為正數,且b＝2c,由(1)知a＋b＋2c＝a＋4c≤3,即0＜a＋4c≤3,根據基本不等式可得

點評借助前面證明的不等式對所證分式不等式進行放縮處理,配湊出兩個和式的乘積,再利用基本不等式法進一步放縮,進而巧妙證明對應的不等式.基本不等式法是處理雙變元代數式的最值、取值范圍或不等式成立問題常用的一種技巧.

方法2 (均值不等式法)

由于a,b,c均為正數,且a2＋b2＋4c2＝3,b＝2c,則a2＋8c2＝3,根據均值不等式可得

點評對已知條件消元處理,借助組合與配湊技巧將不等式配湊成三元均值不等式的形式,進而利用三元均值不等式求解.涉及三元及其以上的均值不等式法應用,關鍵是正確的組合與合理的配湊.

方法3 (權方和不等式法)

點評先對不等式進行合理的系數配湊與轉化,再利用權方和不等式進行求解.權方和不等式是解決含分式關系式的最值問題比較常用的方法,求解的關鍵是對不等式的形式和系數進行配湊與轉化.

方法4 (三角換元法)

點評先進行三角換元處理,再利用權方和不等式加以合理放縮,通過等號成立的條件確定對應的三角函數值,進而證明對應的不等式.利用三角換元法解題時,有時直接利用三角恒等變換或三角函數的相關知識,有時要結合重要不等式合理放縮.

3 小結

求解不等式問題,關鍵是熟練掌握基本的常規證明方法,在此基礎上可以合理選用一些技巧方法.只有深刻理解與掌握不等式的實質,熟練掌握一些重要不等式以及常用的證明方法(如作差或作商比較法、三角換元法等),才能靈活應用,發散思維.

(完)