不等式恒成立,雙參取值范圍
——2022年高考數學浙江卷第9題

尹淑華

(山東省濟南市章丘區第五中學)

含多個參數的不等式恒成立問題,是高考數學浙江卷中的一種特色題型,主要考查數學知識與數學能力等.本文結合一道含參絕對值不等式恒成立的綜合創新題,拓展解題方法,鏈接高考真題,充分展示問題的內涵與外延,以期指導數學備考與解題研究.

1 真題呈現

例1(2022年浙江卷9)已知a,b∈R,若對任意x∈R,a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,則( ).

A.a≤1,b≥3 B.a≤1,b≤3

C.a≥1,b≥3 D.a≥1,b≤3

2 真題剖析

此題以含雙變參的絕對值不等式恒成立創設情境,題目條件簡潔明了,求解時需要借助恒成立的絕對值不等式來確定雙變參的取值范圍,而雙變量之間的函數關系以及不等式恒成立關系導致問題具有復雜性與多變性.

3 真題破解

3.1 函數思維

方法1 (圖像直觀分析法)

由a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,可得a|x－b|≥|2x－5|－|x－4|,作出函數f(x)＝|2x－5|－|x－4|＝的圖像,如圖1 中實線部分所示,而a|x－b|≥f(x),結合函數y＝a|x－b|的圖像(如圖1 中虛線部分),可知1≤b≤3且a≥1.

圖1

結合各選項中的數據信息可知a≥1,b≤3,故選D.

點評對題目條件中的絕對值不等式進行恒等變換、分離參數,構建函數并作出函數的圖像,利用含參函數圖像的極端點效應,借助數形結合思想方法確定雙參數的取值范圍.

方法2 (函數最值分析法)

設函數f(x)＝a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|,x∈R,要使得f(x)≥0在R上恒成立,則a＞0,否則f(0)＝a|b|－1＜0.選取x＝b,由f(b)＝|b－4|－|2b－5|≥0,可得|b－4|≥|2b－5|,兩邊同時平方整理可得(b－1)(b－3)≤0,解得1≤b≤3,排除選項A和C.

科學家分析了超過13.3萬人的數據。結果發現，每周服用325毫克標準劑量阿司匹林2片或更多，患原發性肝細胞癌的風險降低49%；服用5年以上，風險降低59%。研究顯示，服用阿司匹林越久，患肝癌風險降低得越多。但停藥后，其效果會逐漸減退。停藥8年后，這種益處就消失了。

點評根據題目條件中的絕對值不等式恒成立整體構建函數,利用不等式恒成立確定參數a為正數.選取特殊值進行消參處理,通過求解不等式確定參數b的取值范圍,由此加以排除,并利用函數的最值情況進一步確定參數a的取值范圍.抓住函數思維,利用函數與不等式之間的關系、函數最值等來轉化與應用.

3.2 反證法思維

方法3 (反證法)

若a＜1,則當x→＋∞時,可得a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|＝a(x－b)＋(x－4)－(2x－5)＝(a－1)x－ab＋1＜0,這與條件a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0矛盾,故有a≥1.

若b＞3,則當x＝b,3＜b＜4時,有a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|＝|b－4|－2b＋5＝9－3b＜0;當x＝b,b＞4時,有a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|＝|b－4|－2b＋5＝1－b＜0,這與條件a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0矛盾,故有b≤3.

綜上,可知a≥1,b≤3,故選D.

點評根據題目條件中絕對值不等式恒成立,通過假設兩變參的取值范圍,結合自變量的特殊取值情況加以分析,推理分析得出與條件產生矛盾的結論,進而確定參數的取值范圍.

3.3 極端思維

方法4 (極端效應法)

當x→＋∞時,由a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,可得a(x－b)＋(x－4)－(2x－5)≥0,整理有(a－1)x≥ab－1(常數),則a－1≥0,即a≥1.

選取特殊值x＝b,由a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,可得|b－4|≥|2b－5|,兩邊同時平方并整理可得(b－1)(b－3),解得1≤b≤3.

綜上,可知a≥1,b≤3,故選D.

點評根據題目條件中絕對值不等式恒成立的條件,通過分析自變量取正無窮的極端效應,確定參數a的取值范圍,再利用特殊值法構建含參數b的不等式,進而求解不等式確定參數b的取值范圍.

3.4 特殊思維

方法5 (特殊值驗證法)

選取特殊值x＝4,則由a|x－b|＋|x－4|－|2x－5|≥0,可得a|4－b|－3≥0,顯然a≠0且b≠4,觀察各選項可知只有a≥1,b≤3符合這個結論,故選D.

點評選取特殊值代入題目條件中的絕對值不等式,通過含參不等式恒成立確定對應參數的取值情況,并結合各選項中的參數取值范圍加以驗證.借助特殊值法解題時有可能不能直接確定對應參數的取值范圍,這時需要根據選項中各相關參數的不同取值范圍加以驗證與判斷.

4 鏈接高考

以雙變參的不等式恒成立創設問題情境,是高考數學浙江卷的一種特色題型,在以往高考浙江卷中也出現過,只是變換了不等式的類型.

例2(2020年浙江卷9)已知a,b∈R 且ab≠0,對于任意x≥0均有(x－a)(x－b)(x－2a－b)≥0,則( ).

A.a＜0 B.a＞0

C.b＜0 D.b＞0

解析當a＝b＝－1時,代入條件關系式可得(x＋1)(x＋1)(x＋3)≥0在x≥0上恒成立,此時a＜0且b＜0.當a＝1,b＝－1時,代入條件關系式得(x－1)2(x＋1)≥0在x≥0上恒成立,此時a＞0且b＜0,至此,可以排除選項A,B.

當a＝－1,b＝1時,代入條件關系式可得(x－1)(x＋1)2≥0在x≥0上不恒成立,此時a＜0且b＞0,至此,可以排除選項D.

綜上,選C.

點評當然,該問題的破解還可以利用三次函數的圖像與性質求解,或借助不等式思維,利用不等式的性質或不等式組的求解分類討論等.

5 小結

5.1 聯系知識,形成網絡

函數、方程與不等式這三者之間,往往各自獨立又相互聯系,經常可以加以恒等變形與巧妙轉化,實現不同知識點之間的跨越,從而形成這三者之間的網絡體系與綜合應用.借助問題的設置與知識的聯系,構建整個數學知識網絡體系,全面整合,綜合應用.

5.2 重視基礎,提升能力

對于此類含參不等式恒成立的綜合創新應用問題,實際解決過程中要正確挖掘題目條件,做到心中有“數”.在平時數學學習過程中,重視數學基本功底的鞏固與訓練,重視數學思維層面的發散與提升,通過研究典型問題的通性通法,才能以不變應萬變.此外,在解題訓練中要將基本功底融入解題活動中,將基本方法上升至思維方法與數學能力的層面.

(完)