深度剖析結構特征,巧妙構造比較大小
——2022年新高考Ⅰ卷第7題探究

袁 安

(廣東省廣州大同中學)

1 試題呈現

題目(2022 年新高考Ⅰ卷7)設a＝0.1e0.1,＝－ln0.9,則( ).

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

本題結構簡潔,提供的信息不多,a是指數型函數的值,c是對數型函數的值,學生不能直接計算出各值的大小進而進行比較,各式也沒有統一的結構形式,不能構造簡單的“同結構”函數應用單調性比較,也不便用中間值法判斷,所以本題要對三個式子的整體結構進行分析,巧妙配湊構造函數或放縮進行思考.

本題在知識方面主要考查通過應用導數研究函數的單調性、極值、不等式恒成立等問題.試題需要學生根據各式的特點進行適當的變形,整理成有統一特征的式子后,再構造“同變量”函數進行研究.充分考查學生邏輯推理、推理論證、運算求解等能力,較好地考查函數與導數的核心思想與知識,對于學生運用所學知識,尋找合理解題策略有較高的要求.

2 多視角分析,多方法探究

2.1 作差,構造“同變量”函數

分析通過認真觀察,可以發現每個值都可以看作是與0.1 有關的函數值,所以對原式進行重新整理,即a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln0.9＝－ln(1－0.1).根據三個式子的特點構造新函數,用導數工具輔助解決問題.

因為k′(x)＝(－x2－2x＋1)ex,當x∈[0,0.1]時,(－x2－2x＋1)＞0,ex＞0,所以k′(x)＞0,k(x)在[0,0.1]上單調遞增,故k(x)≥k(0)＝0,G′(x)≥0,從而G(x)在[0,0.1]上單調遞增,又G(0)＝0,所以G(0.1)＞G(0)＝0,所以a＞c.

綜上,c＜a＜b,故選C.

點評構造“同變量”函數,難點在于需要根據給出的式子特點,通過等價變換,找出它們是哪個函數的函數值.此類問題配湊、構造比較煩瑣,有時配湊可能不合理,還需要進行適當的調整并進行再次構造.這能充分考查學生觀察、分析問題以及綜合應用多種知識研究解決問題的能力,要求學生有較強的數感,同時具備歸納猜想、邏輯推理與推理論證的能力.

2.2 放縮,構造常用不等式

點評放縮法也是比較大小最常用的方法之一.本方法對能力要求較高,要總結出放縮法的常用不等式.

2.3 變換,構造二項展開式

所以a＜b.同理,也可以比較a與c的大小,從而得到c＜a＜b,故選C.

點評通過乘方轉化為冪指數結構的式子,再配湊成二項展開式進行放縮也是證明不等式的常用方法.這種方法配湊技巧較強,展開式的計算過程較繁雜,且難度較大.

2.4 估值,構造泰勒展開式

分析本題若使用泰勒展開式來進行估值計算,解題過程更加方便、快捷.

解法4由ex的泰勒展開式,得

點評泰勒展開式是大學數學分析中的內容,用泰勒展開式進行估值時,過程更加簡捷,計算相對容易.教師可以將此方法介紹給班級中學有余力的學生,以此激發學生的學習興趣和求知欲,使學生對大學數學有一定了解,為大學數學學習奠定基礎.

常用的指數、對數、正弦、余弦形式的泰勒展開式如下:

3 試題的再拓展

在實際解題過程中,還有另一類題型:待比較的兩個或多個式子的結構形式基本相同,或通過變形整理后結構形式相同.這類題型往往是通過構造“同結構”函數,應用函數的單調性、對稱性、極值偏移等方法進行比較.

點評因此構造函數f(x)＝.但本題求導后a,b不在同一個單調區間上,且離極值點的距離比較相近,但不對稱,所以用單調性、對稱性、極值偏移沒有辦法解決.觀察a,c,它們有相同的變量3,考慮能否再構造“同變量”函數解決問題.

解由題可知,構造函數f(x)＝,則f′(x)＝,所以f(x)在(0,e)上單調遞增,(e,＋∞)上單調遞減,fmax(x)＝f(e),即c最大,對于a,b,它們不在同一單調區間,不能直接比較大小,再認真分析,可以想辦法構造以3為變量的“同變量”函數,即

則g(x)單調遞增,所以g(3)＞g(e)＝0,從而f(3)－,即b＞a.

綜上,c＞b＞a,故選A.

本題結構形式相同,很容易想到構造“同結構”函數,利用單調性解決問題.但實際的解題過程中,發現a,b并不在同一個單調區間,也沒辦法通過轉化與化歸的方法把它們轉化至同一單調區間來比較大小.通過再觀察可以發現a,b兩數可以構造成含相同變量3的值,所以想到作差構造“同變量”函數來解決問題.這要求學生對構造法有充分的認識,對學生分析、解決問題能力提出更高的要求.

4 小結

高考試題從命題角度、題型、難度等方面都進行了充分的考量,是知識、方法、思想、能力的具體展現,具有典型性、示范性、指導性的作用,試題蘊含著豐富的背景和數學思想.高考試題除了有選拔功能外,還有良好的教學功能,試題的研究可以幫助我們了解高考方向,把握高考內容和難度.因此我們要深入研究高考試題,領悟試題所蘊含的數學知識和方法,能通過分析、歸納、類比、拓展、猜想、論證等方法把握試題潛在的本質規律,提升學生的核心素養.

(完)