強基計劃數學備考系列講座(9)
——方程和不等式

王慧興(正高級教師 特級教師)

(清華大學附屬中學)

1 知識與技能

相關基本概念和知識技能如表1所示.

表1

2 典例精析

2.1 既要嚴守程式,又要靈活變通

解方程與解不等式的通性通法是在初中學習伊始階段形成的,在學生數學能力形成過程中起到重要作用.“靈活性”是數學學習不可回避的特征,高校強基校測命題每年都會出現檢測代數式靈活變形能力的題目.這意味著求解問題只滿足于通性通法是不夠的,針對新情境,需要不斷發展新思維,使得通法不斷得以完善與豐富,不能僵化理解、運用通法分析代數結構,追求情境轉化是數學永恒的呼喚.

例1解不等式－

解析按通法求解,要按2－x的正、負分類求解,無視代數結構優勢,直接分類求解,既會導致求解過程煩瑣,也較為盲目,容易出錯.其實,遇到一次分式代數結構,無論是解方程、解不等式、還是畫函數圖像或求值域,其基本路徑是把分子化為常數.故

故不等式的解集為(－2,1).

例2解不等式

解析本例如果僵化地使用通性通法,要先將不等式轉化為整式不等式,是很費勁的.基于函數觀點,由于函數f(x)＝(0,13))嚴格單調遞減,因此f(x)在其定義域(0,13)上有唯一零點x0.先考慮極端情形x∈{1,2,3,…,11,12},從兩邊逐步計算

例3(復旦大學)在實數范圍內解方程

例4(上海交通大學)設k≥9,解關于x的方程x3＋2kx2＋k2x＋9k＋27＝0.

解析三次方程不是高中數學常態學習的基本內容,學生不知其特定解法,其基本求解路徑是經分解因式、降冪,將方程轉化為二次方程與一次方程求解.但其原本形式最高次項系數是1、常數項是一次的,代數上不能分解;再由于僅一項含k2,因此也看不出特解.考慮更換主元,以參數k作主元,調結構如下.

A.(x,y,z)只有1組

B.(x,y,z)有4組

C.x,y,z均為有理數

D.x,y,z均為無理數.

解析解方程組的基本路徑是消元,先化為某個元的單變量方程,求出它的值,再計算其他變元的值.基于方程組代數結構,分別對兩個變元x,z與y,w的基本對稱多項式換元,令

則原方程組可轉化為

點評作為2006年全國高中數學聯賽的壓軸題,其本質是一道利用數列遞推計算的題目,與國內外歷屆的試題相比,設計獨到、新穎,與前面消元法相比,算法呈現出規律性,淡化了技巧.

2.2 函數思想與數形結合

在解復雜方程情境中隱藏著多種多樣的代數結構,順應結構優勢,發掘各種算法引領求解前行,或構建函數降次,情境得以簡化.

例7解關于x的不等式

log2(x12＋3x10＋5x8＋3x6＋1)＜1＋log2(x4＋1).

解析按照通法,去掉不等式兩邊的對數符號,整理可得

因為±1 都不是函數f(t)＝t6＋3t5＋5t4＋3t3－2t2－1的零點,這表明命題者在以這個不等式為載體考查某個特定的無理數,但無理數沒有有效的判別法,因此可以考慮零點存在定理,通過計算、引領、跟蹤該無理根(如表2).

表2

由此判定,函數f(t)在區間(0.5,0.625)內存在無理零點,聯想到黃金分割比,猜想進一步猜想f(t)含有因式

另解當t＞0時,對不等式②調結構,得

恢復為變量x,即求得解集(以下求解過程略).

2.3 不等式與最值

理論上利用導數分析函數的單調區間是探究最值的基本路徑,但在具體情境中,會面臨著復雜的計算,容易陷入煩瑣計算或根本沒有辦法完成筆算.因此,應對復雜情境最值計算還應多法并舉.

表3

綜上,fmin(x)＝,并且存在唯一極大值

求法一:求導函數的唯一零點,再計算(讀者可自行求解,解方程比較煩瑣).

求法二:不用導數,應用均值不等式.

把參數值代入①②③累加,得

其中等號成立的條件是tanx＝,所以

2.4 以方程降冪,構建遞推算法

基于方程構造降冪公式是降冪、求值的一條遞推路徑.

例9計算的值.

解析若按照冪的概念直接計算,由于次數高,則難以正確計算.因此構造以冪底數為根的方程,能夠建立降冪算法、遞推計算.

例10求最大的實數m,使得對一切滿足a＋b＋c＝1的正數a,b,c,都有

解析一方面,取a＝b＝c＝,代入不等式①,得

另一方面,下證mmax≥9,即證m＝9滿足題設,亦即證明對一切滿足a＋b＋c＝1 的正數a,b,c,都有

不等式②其實可以分離變量,令f(x)＝10x3－9x5,得

按照熟悉的證明路徑,可以求出函數f(x)＝10x3－9x5在點的切線方程

失敗是成功之母,以下考慮對不等式②降冪處理.

構造以a,b,c為根的方程,記

對于b,c可同樣降冪,所以再對不等式②中三次等冪和與五次等冪和降冪,得＝1－2u,且

2.5 函數方程與不等式

2.6 組合分析

具有組合結構的代數問題,其求解路徑通常為組合構造方法,如構造一批數據,用抽屜原理證明滿足要求的數據結構存在.組合情境不同,其思維路徑也不同.

情形二,數組中不存在等值數,則其中共有2n個數,剔除其中那個0值數,還有2n－1個正數.

把區間(0,1]劃分為2n－1段,則

3 實戰演練

11.(清華大學)在平面直角坐標系xOy中,已知A(－1,0),B(1,0),若對y軸上任意n個不同點Pi(i＝1,2,…,n),總存在兩點Pi,Pj(1≤i＜j≤n),使得|sin∠APiB－sin ∠APjB|≤,則正整數n的最小值為( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

12.(清華大學)設實數xi∈[0,1](i＝1,2,…,21),則f(x1,x2,…,x21)＝的最大值是( ).

A.110 B . 1 20

C.220 D.240

13.(上海交通大學)若函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0),且f(x)＝x沒有實數根,則f(f(x))＝x是否有實數根? 請證明你的結論.

(完)