等和線定理的認識及應用

潘振芹

(山東省濟南市章丘中學)

根據高中數學教材知識易知,平面向量中三點共線的結論為已知為平面內兩個不共線的向量,設,則A,B,C三點共線的充要條件為x＋y＝1.由于此類問題在各類試題中考查較多,且高頻出現,所以本文著重給出平面向量中關于三點共線理論知識的拓展,即引入等和線定理,并通過舉例加以具體說明,旨在幫助讀者切實提高處理此類問題的求解能力,進一步提升直觀想象等方面的數學核心素養.

1 等和線的定義

如圖1所示,直線DE∥AB,C為直線DE上任一點,設

圖1

(1)當直線DE經過點P時,容易得到x＋y＝1.

(2)當直線DE不過點P時,直線PC與直線AB的交點記為F,因為點F在直線AB上,所以由三點共線結論可知若(λ,μ∈R),則λ＋μ＝1.

2 等和線定理

3 應用舉例

例1給定兩個長度為1的平面向量它們的夾角為,如圖2所示,點C在以O為圓心的圓弧AB上運 動,若(x,y∈R),則x＋y的最大值是_________.

圖2

解析坐標法以O為坐標原點,所在的直線為x軸建立平面直角坐標 系,如圖3所示,則點

圖3

等和線法作l∥AB,且與已知圓弧相切于點D,連接OD交AB于點E.設x＋y＝k,則結合圖4 易知:與直線AB平行且與圓弧有公共點的所有直線中,直線l距離圓心最遠,此時k取得最大值,由圖易得此時＝2.故x＋y的最大值為2.

圖4

例2(2017年全國Ⅲ卷理12)在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若,則λ＋μ的最大值為( ).

解析坐標法建立如圖5 所示的平面直角坐標系,則點C(2,1).

圖5

設BD與圓C切于點E,連接CE,則CE⊥BD.因為CD＝1,BC＝2,所以

等和線法如圖6所示,過動點P作等和線,設λ＋μ＝k,則k＝.由圖易知,當等和線與EF(直線EF與圓C相切,切點為F)重合時,k取最大值,此時k＝

圖6

又因為EF∥BD,所以＝3,即λ＋μ的最大值為3.故選A.

例3如圖7所示,圓O是邊長為的等邊△ABC的內切圓,其與BC邊相切于點D,點M為圓上任意一點,(x,y∈R),則2x＋y的最大值為( ).

圖7

解析坐標法如圖8所示,連接DA,以點D為原點,BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系.設內切圓的半徑為r,則圓心O(0,r),A(0,3),D(0,0).

圖8

等和線法設內切圓與邊AB相切于點E,與AC邊相切于點N,易 知,如圖9所示,作出值為1 的等和線DE,則AC是過圓上的點最遠的等和線,此時設2x＋y＝k,則k＝＝2.

圖9

從而2x＋y的最大值2.故選C.

(完)