函數(shù)視域下比較指數(shù)值與對數(shù)值大小問題的策略研究

李 波 馮 菲

(四川省南充高級中學(xué))

指數(shù)值與對數(shù)值比較大小的問題涉及函數(shù)與方程、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識,常用的方法有作差、作商、中間變量、構(gòu)造函數(shù)、不等式放縮等,綜合性強、涉及面廣、解法靈活,能較好地考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),因此該類題受到命題者的青睞.如表1所示,筆者通過分析2018—2022年有關(guān)指數(shù)值與對數(shù)值大小比較高考真題,發(fā)現(xiàn)該題型主要出現(xiàn)在選擇題壓軸題中,以函數(shù)為載體,考查函數(shù)的性質(zhì)、零點、求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值點偏移等,但構(gòu)造函數(shù)的方法靈活多變,學(xué)生不易入手.為此,筆者查閱了大量資料,整理出構(gòu)造函數(shù)比較指數(shù)值與對數(shù)值大小問題的基本策略,現(xiàn)整理成文分享給各位讀者,如有不妥之處,還望批評指正.

表1

1 觀察結(jié)構(gòu),直接同構(gòu)或作差(商)構(gòu)造函數(shù)

綜上,①②正確,③錯誤,故選C.

說明“a∨b”表示比較a與b的大小.

點評若比較大小的兩個式子結(jié)構(gòu)相似(或相同)、例如同底、同冪,則可以直接構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2 配湊數(shù)值,構(gòu)造同一變量函數(shù)

例3(2022年新高考Ⅰ卷7)設(shè)a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln0.9,則( ).

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

點評破解此題的關(guān)鍵是觀察與審題,發(fā)現(xiàn)數(shù)值共性,巧妙構(gòu)造函數(shù),并結(jié)合題目中數(shù)值的特征確定函數(shù)的定義域,以便判斷導(dǎo)函數(shù)的符號,靈活運用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù)零點的分布等知識來比較大小,解答的過程中也可能用到不等式進行放縮.

3 借助常見不等式,放縮與構(gòu)造函數(shù)

綜上,②③正確,①錯誤,故選C.

點評利用常見的不等式放縮,誤差可能會放大,也更容易比較大小,常見的不等式有ex＞x＋1,ln(x＋1)＜x,lnx＞1－,sinx＜x＜tanx (x∈(0,)).

4 運用指數(shù)與對數(shù)性質(zhì)構(gòu)造同底、同冪函數(shù)

例5(2020年全國Ⅰ卷理12)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,則( ).

則f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,又f(a)＜f(2b),所以a＜2b,故選B.

例6(2017年全國Ⅰ卷理11)設(shè)x,y,z為正數(shù),且2x＝3y＝5z,則( ).

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

例7設(shè)a＝0.50.2,b＝log0.20.5,c＝log0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

A.a＞b＞cB.c＞b＞a

C.c＞a＞bD.b＞c＞a

綜上,c＞a＞b,故選C.

點評通過指數(shù)與對數(shù)的基本性質(zhì)運算化簡,將數(shù)轉(zhuǎn)化為同底、同冪,再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,可能會用到的公式有ars＝(ar)s,logab·logba＝1,logambn＝,m＝logaam＝alogam(a＞0且a≠1),學(xué)生需要熟練掌握并能靈活運用這些公式,使用換底公式時,首先考慮常用對數(shù)與自然對數(shù).

5 利用導(dǎo)數(shù)的運算法則,構(gòu)造函數(shù)

例8已知函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,且x∈(－∞,0),f(x)＋xf′(x)＜0成立,a＝20.2·f(20.2),b＝logπ3f(logπ3),c＝log39f(log39),則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

A.b＞a＞cB.c＞a＞b

C.c＞b＞aD.a＞c＞b

解析由導(dǎo)數(shù)的運算法則知,構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x),因為y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,所以函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù),易知F(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－F(x),即F(x)為奇函數(shù).又當(dāng)x∈(－∞,0)時,F′(x)＜0,所以F(x)在(－∞,0),(0,＋∞)上單調(diào)遞減.因為log39＞20.2＞logπ3,所以F(log39)＜F(20.2)＜F(logπ3),即c＜a＜b,故選A.

點評以導(dǎo)數(shù)的運算法則為背景,考查綜合類題目,主要涉及求導(dǎo)的乘法法則

并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識進行考查,同時也考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想.

6 變量分類與變形,構(gòu)造函數(shù)再出發(fā)

例9已知a,b∈(1,＋∞),且2(a＋b)＝e2a＋2lnb＋1,e為自然對數(shù)的底數(shù),則( ).

A.1＜b＜aB.a＜b＜a

C.2a＜b＜eaD.ea＜b＜e2a

解析由2(a＋b)＝e2a＋2lnb＋1,知e2a－2a－1＝2(b－lnb－1),令f(x)＝x－lnx－1(x＞0),則f′(x)＝,易知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.又e2a－2a－1＝2(blnb－1),所以f(e2a)＝2f(b)＞f(b),結(jié)合a,b∈(1,＋∞),知b＜e2a,則

所以b＞ea,故選D.

點評將多變量問題分類整理,利用結(jié)構(gòu)的同一性構(gòu)造函數(shù),化繁為簡,從而較好地解決問題.這需要學(xué)生有扎實的基本功、敏銳的觀察力和豐富的知識積累.

7 數(shù)形相隨,相得益彰

例10設(shè)a＝logbc,b＝logca,則( ).

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.c＜a＜bD.c＜b＜a

構(gòu)造函數(shù)g(x)＝,則g′(x)＝,易知g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,＋∞)上單調(diào)遞減,所以f(x),g(x)的大致圖像如圖1所示.

圖1

當(dāng)c∈(0,1)時,0＜b＜a＜1,lnc＝alnb＞lnb,即c＞b;lnc＝＜lna,即a＞c,所以a＞c＞b.

當(dāng)c∈(1,＋∞)時,1＜b＜a,同理可得a＞c＞b.

綜上,a＞c＞b,故選B.

點評當(dāng)遇到圖像的交點不可求(即函數(shù)的隱零點)問題時,可以借助圖像分析數(shù)的大小.

例11設(shè)a＝π－e,b＝lnπ－1,c＝eπ－ee,則( ).

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.c＜b＜aD.b＜a＜c

解析因為∨1,過(π,eπ),(e,ee)兩點所在直線的斜率為,所以構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex(x＞1),則f′(x)＝ex＞1,即曲線f(x)＝ex(x＞1)的切線斜率恒大于1,易知＞1,即c＞a.

同理,構(gòu)造函數(shù)g(x)＝lnx(x＞1),則g′(x)＝＜1,即曲線g(x)＝lnx(x＞1)的切線斜率恒小于1,易知,即a＞b.

綜上,c＞a＞b,故選D.

點評有些數(shù)比較大小可與平面幾何中的概念相聯(lián)系,如距離斜率、三角函數(shù)圖像,式子變形后可看成某些特殊的概念,借助直觀想象進行比較.

比較大小問題的解題思路很多,主要考查的技巧是同構(gòu),利用不等式的性質(zhì)等價變形為相同的形式,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性解決兩個數(shù)的大小問題,變形時,需要注意“隱指數(shù)”“隱對數(shù)”,轉(zhuǎn)換公式為m＝lnem＝elnm,如圖2所示,筆者給出了常見的6個同構(gòu)函數(shù)的圖像和最值.

圖2

不難發(fā)現(xiàn),作差、作商、分析法更適用于比較兩個式子的大小,而構(gòu)造函數(shù)則是用函數(shù)的思想,從整體的角度,將需要比較大小的量放在函數(shù)的某區(qū)間上,利用函數(shù)的單調(diào)性或零點的分布加以比較.此外作差、作商、分析法與構(gòu)造函數(shù)之間也并不孤立,關(guān)鍵是恰到好處地選擇與使用.

鏈接練習(xí)

1.已知函數(shù)f(x)＝x2＋cosx,a＝0.99e0.02,b＝0.98e0.03(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則下列判斷正確的是( ).

A.f(－1)＞f(a)＞f(b)

B.f(b)＞f(a)＞f(－1)

C.f(－1)＞f(b)＞f(a)

D.f(a)＞f(b)＞f(－1)

2.設(shè)a＝0.01e0.01,b＝,c＝－ln0.99,則( ).

A.c＜a＜bB.c＜b＜a

C.a＜b＜cD.a＜c＜b

3.若4x＝5y＝20,z＝logxy,則x,y,z的大小關(guān)系為( ).

A.x＜y＜zB.z＜x＜y

C.y＜x＜zD.z＜y＜x

鏈接練習(xí)參考答案

1.D. 2.A. 3.D.

(完)