例談函數與方程思想在解題中的應用

孫叢叢 閆麗平

(山東省榮成市第二中學)

數學家華羅庚先生曾說過:“數學是一個原則,無數內容,一種方法,到處可用.”函數與方程思想是高中數學的一種重要思想方法,函數思想是通過構造函數或建立函數關系,運用函數的圖像和性質分析問題、轉化問題,達到解決問題的目的.而方程思想是構造方程或建立方程,通過解方程或運用方程的特點,利用已構建的數學知識網絡解決問題.函數與方程思想在一定的條件下是可以相互轉化的,猶如親兄弟,彼此身上存在對方的影子,相互滲透.熟練應用函數與方程的思想解決數學問題是高中階段必備的數學能力,也是歷年高考的重點和熱點.在高考中,一般在數列、三角函數、不等式及解析幾何等知識的交叉處命題,對思想方法和相關能力進行考查.下面通過具體實例研究如何利用函數與方程的思想解決數學問題.

1 函數與方程思想在數列中的應用

點評本題是函數與方程思想應用的完美體現,通過構造函數,利用該函數的單調性求的最大值.眾所周知,數列是定義域在正整數集或其有限子集上的函數,而等差數列和等比數列的通項公式、前n項和公式都具有隱含的函數關系,因此解決數列最值問題或參數范圍問題的方法如下:1)根據函數表達式借助函數單調性判斷,求出最值;2)當表達式不易判斷函數的單調性時,可借助an＋1－an的正負判斷單調性.借助函數與方程的思想研究、解決數列中的最值問題,不僅能獲得簡便的解法,而且能促進思維能力的發展,提高發散思維水平.

2 函數與方程思想在三角函數中的應用

例2已知關于x的方程sin2x＋acosx－2a＝0有實數解,求實數a的取值范圍.

解析上式可轉化為1－cos2x＋acosx－2a＝0.令t＝cosx,t∈[－1,1],則方程可轉化為t2－at＋2a－1＝0,令f(t)＝t2－at＋2a－1,則問題轉化為二次函數f(t)在[－1,1]上有零點的問題,則f(－1)f(1)≤0或解得0≤a≤4－.

點評研究含參數的三角函數方程的問題,通常有兩種解法:一是分離參數構建函數,將方程有解問題轉化為求函數的值域問題;二是換元,將復雜的方程問題轉化為學生熟悉的二次方程,進而利用二次方程根的分布情況構建不等式或構造函數解決.

3 函數與方程思想在不等式中的應用

例3設函數f(x)＝mx2－mx－1,若對于x∈[1,3],f(x)＜－m＋4恒成立,則實數m的取值范圍為( ).

解析由f(x)＜－m＋4,可得m(x2－x＋1)＜5.

當x∈[1,3]時,x2－x＋1∈[1,7],所以不等式f(x)＜－m＋4等價于

點評在解決不等式的問題時,可以將不等式問題轉化為函數的最值問題,這樣就可以借助函數的圖像和性質解決問題.比如,不等式恒成立問題、有解問題、比較大小問題,往往可以利用構造新函數的思想解決.充分應用函數與方程的思想解決不等式問題,讓我們站在更高的角度思考不等式的應用,有助于學生更好地理解和運用不等式知識.

4 函數與方程思想在解析幾何中的應用

例4已知橢圓＝1(a＞b＞0)經過點,離心率為

(1)求橢圓E的方程;

(2)已知O為坐標原點,設點A,F分別為橢圓的右頂點、右焦點,經過點F作直線交橢圓E于M,N兩點,求四邊形OMAN面積的最大值.

點評最值問題一直是高考的熱點,在圓錐曲線的綜合問題中經常出現,求解這類范圍、最值問題的一般思路為根據題意結合圖形尋找函數關系,借助函數值域、最值的探求方法解決問題.

通過上述例題的分析,我們看到函數與方程之間存在密切聯系,兩者之間的辯證統一形成了函數與方程思想,為解決函數和方程問題提供了思路.因此,高中數學教學過程中要重視函數與方程思想,通過完善學生的知識結構,提高學生數學問題解決和探究能力,提升學生的學科核心素養.

鏈接練習

1.已知f(x)＝log2x,x∈[2,16],對于函數f(x)值域內的任意實數m,使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的實數x的取值范圍為( ).

A.(－∞,－2] B.[2,＋∞)

C.(－∞,－2]∪[2,＋∞) D.(－∞,－2)∪(2,＋∞)

鏈接練習參考答案

1.D. 2.B. 3.(1)an＝2n;(2).

(完)