探求多元等式條件下最值問題的若干策略

李學(xué)友 劉 芳

(湖北省荊門市第一中學(xué))

用基本不等式解決某些含有多元等式條件的最大值或最小值問題是一種常見的策略,但有些題目的條件隱、式子晦.結(jié)構(gòu)復(fù)雜,需要有扎實(shí)的基本功和一定的解題技巧.這些能力的來源是接受規(guī)范的解題方法指導(dǎo)和一定量的典型題目訓(xùn)練.本文通過具體例題介紹一些常用的解題方法,以期給讀者一些幫助.

1 等式變形

點(diǎn)評(píng)在研究題目后發(fā)現(xiàn),結(jié)論式子中的分母分別是a和b＋1,如何利用好等式條件將分母進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵,由a＋b＝1 變形得a＋(b＋1)＝2就是一個(gè)解題的技巧.所以最小值為25.

點(diǎn)評(píng)本解法瞄準(zhǔn)待求的結(jié)論,先對(duì)給出的條件變形,然后再依據(jù)條件式的特點(diǎn),對(duì)待求式進(jìn)行多輪的變形轉(zhuǎn)化,達(dá)到解題目的.

2 三角換元

點(diǎn)評(píng)如果條件中含有兩個(gè)正項(xiàng)和為1(或某個(gè)特定的值),這就是選用三角換元的重要信號(hào),通過換元變形,就可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)求解.

3 多次放縮

點(diǎn)評(píng)本題的待求式結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜,解題過程中兩次運(yùn)用了基本不等式進(jìn)行放縮,由于連續(xù)放縮時(shí),取等號(hào)的條件一致或互相之間沒有影響,故而是完全可行的.

點(diǎn)評(píng)本題在將已知條件有效代入并化簡變形后,出現(xiàn)了使用基本不等式解題的契機(jī),但有關(guān)項(xiàng)不是正數(shù),需要利用絕對(duì)值放縮,注意此處的放縮不影響后面基本不等式的使用條件.

4 替換轉(zhuǎn)化

當(dāng)且僅當(dāng)x＋s＝3時(shí),待求式取得最小值6.

點(diǎn)評(píng)本解法通過對(duì)所給等式和結(jié)論式進(jìn)行轉(zhuǎn)化和替換后,為利用基本不等式解題創(chuàng)造了條件,化解了問題難點(diǎn).如果沒有抓住x＋s＞0的特點(diǎn),把x＋t當(dāng)成變?cè)?可能造成解題混亂.

點(diǎn)評(píng)本解法通過挖掘已知條件,抓住條件式與待求式的關(guān)系,構(gòu)造出可用基本不等式求解的表達(dá)式,化解了問題的難點(diǎn).

5 精準(zhǔn)換元

點(diǎn)評(píng)通過將欲求的表達(dá)式換元后代入已知等式,得到了一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,然后利用方程有實(shí)數(shù)解的原理,根據(jù)根的判別式列出不等式,通過解此不等式得出答案.

通過對(duì)幾個(gè)典型題目的分析,列舉了常用的解題方法,可以看到,基本不等式是解決含有多元等式條件的最大值或最小值問題的重要方法,當(dāng)然還需要許多其他方法進(jìn)行配合.需要注意的是,含有條件等式問題只是諸多利用基本不等式求最值中的重要一類,還有其他多種題型,限于篇幅,在此不再贅述.

(完)