應用柯西不等式的幾個技巧

肖 芳

(山東省棗莊市第一中學)

當且僅當a1＝a2＝…＝an＝0或bi＝kai(k為常數)時,等號成立,這就是柯西不等式的一般形式.在解題中,關于柯西不等式的運用并非“直截了當”,往往需要運用一些方法與技巧,下面一起來看個究竟.

1 巧拆常數

柯西不等式的右側是兩個因式的乘積形式,于是我們可以將所求等式乘1,然后將1根據實際拆分成幾個分數的和.

例1已知實數a,b,c,d滿足a＋b＋c＋d＝3,a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5,試求a的最值.

點評巧拆常數必須從實際出發,本題借助柯西不等式將等式轉化為關于a的不等式,在這個過程中,柯西不等式發揮了化等式為不等式的作用.

2 重新排序

柯西不等式有著嚴格的次序特征,有些不等式問題需先調整有關項的位置,才能直接利用柯西不等式“對號入座”.

例2a,b為非負數,a＋b＝1,x1,x2∈R*,求證:(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.

點評本題證明過程十分簡明,體現了數學的簡約之美,這源于柯西不等式的靈活應用.本題也可用作差法來證明,但過程比較煩瑣.

3 改變結構

為充分利用柯西不等式,并感受它給解題帶來的便捷,需對某些表達式對照柯西不等式進行“結構改造”,為柯西不等式的應用鋪平道路.

點評求無理函數的值域是數學中的一個難點,尤其是含雙根號的無理函數.而本題通過改變原函數的結構,靈活應用柯西不等式進行處理.

4 適當添項

對于某些不等式的證明問題,看似不具備柯西不等式的特征,但可以通過適當添項加以改造,再利用柯西不等式,從而使證明過程一氣呵成.

例4a,b,c∈R*,求證:

點評本題的證明過程體現了數學解題中的創新思維.適當添項,其實是一種構造思想.

5 利用等號成立的條件

關于柯西不等式的應用,不僅應關注其本身,也應關注其等號成立的條件,有時問題的解決恰恰是利用了這個條件.

點評本題之所以想到采用柯西不等式,原因在于已知等式的左側具有柯西不等式的形式,而且在應用過程中正好把a,b消去,將不等式變成等式,只需關注等號成立的條件.這體現了柯西不等式的應用具有很大的靈活性.

6 引進待定參數

在解決某些特殊問題時,為了運用柯西不等式,我們往往會引進一些待定參數,它的值由題設或不等式等號成立的充要條件來確定.

點評本題具有一定的難度,難點之一是對所求不等式進行等價變形,難點之二是通過引進參數,將欲求的表達式變形,進而利用柯西不等式和等號成立的條件,求出參數的取值范圍,從而求出欲求表達式的范圍.

從以上6個例題不難看出,柯西不等式雖然用途十分廣泛,但它的應用具有很大的靈活性.只有從問題實際出發,并對所求表達式適當變形,才可與柯西不等式“無縫對接”,同時應關注等號成立的條件,因為這也許是恒等式證明的一條途徑.

(完)