高中數學中基本不等式的常見問題及處理策略

郭興甫

(云南省會澤縣東陸高級中學校)

基本不等式是高中數學的重要內容,也是高考、高校自主命題的熱點內容,其結構簡潔、形式優美.基本不等式主要用于處理與最值相關問題以及不等關系的探求和論證.基本不等式常與函數、數列、解析幾何、平面向量等相關知識相結合,考查數學建模、邏輯推理等數學素養.有時不能直接利用基本不等式解決問題,需要對條件改造、變形、配湊,因此基本不等式是培養學生分析問題、解決問題能力的重要載體.本文就基本不等式常見問題及處理策略進行解析,以期對讀者的復習有所幫助.

1 直接利用基本不等式求最值

例1(1)(多選題)若a＞0,b＞0,且a＋b＝4,則下列不等式成立的是( ).

綜上,選BD.

(2)若a＞0,b＞0,由基本不等式得

點評利用基本不等式直接求一個式子的最值時,要注意“一正、二定、三相等”的原則.即一正是要判斷各項是否為正數;二定是要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最小);三相等是一定要驗證等號能否成立(注意兩點,一是等號成立時變量是否在定義域內,二是多次用不等式時等號能否同時成立).以上三點缺一不可.

2 通過配湊系數后利用基本不等式求最值

例2設正實數a,b滿足ab(a＋b)＝4,則2a＋b的最小值是_________.

解析由正實數a,b滿足ab(a＋b)＝4,故利用待定系數法配湊系數,使用均值不等式,則有

點評本題初看不易入手,但如果觀察到題設條件是三個因式的積的形式,則易聯想到基本不等式積定和最大的法則,通過配湊積中因式的系數,把和轉化為關于結論的一個代數式,進而巧妙地解決問題.同時也可以對結論進行等價變形后結合約束條件進行配湊,使之滿足基本不等式的條件.在配湊因式的系數時,可以通過待定系數法求出需要的系數.解決本題的關鍵是審清條件和結論之間的關系,把結論看成整體,利用整體思想和基本不等式的條件配湊系數,易錯點是忽視等號成立的條件.

3 通過消元再利用基本不等式求最值

例3正實數x,y滿足xy(x＋y)＝4,則2x＋y的最小值為( ).

點評本題考查了利用消元法結合基本不等式求最值的應用,用約束條件中的一個變量表示出另一個變量,或將約束條件及所求代數式進行變形,使其滿足利用基本不等式的條件,再采用恰當方法求最值.同時要注意變形過程中的等價性,否則容易出錯.

4 通過常數代換利用基本不等式求最值

點評常數代換法的基本步驟:一是根據已知條件或其變形確定定值(常數);二是把確定的定值(常數)變形為“1”;三是把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘(或相除),進而構造和或積的形式;四是利用基本不等式求解最值.

5 通過變項法求多變量最值

點評本題對已知條件和所求最值的代數式恒等變形之后進而應用基本不等式求解.使用基本不等式求最值,有時需要從已知條件、求解目標代數式這兩個方面進行變換,以達到符合基本不等式條件的目的,同時需要注意等號是否成立.

6 多次利用基本不等式求最值

點評在求解最值或證明不等式時,如果多次使用基本不等式,要根據各次不等式中等號成立的條件是否一致確定最后等號是否成立,即等號成立的條件要同時滿足,否則容易產生錯誤.

7 利用基本不等式判斷不等式是否成立

例7(多選題)已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,則下列說法中正確的有( ).

綜上,選BCD.

點評利用基本不等式判斷不等式正確性的基本策略是從已知不等式及問題的條件出發,借助基本不等式及性質的相關定理,經過逐步推理,將問題進行轉化,其特征是根據已知條件逐步推出未知.特別地,要注意不等式串(a＞0,b＞0)的靈活應用.

8 利用基本不等式證明不等式問題

點評利用基本不等式證明不等式時,常常利用不等式的可加性.累加法是證明不等式的一種常用方法,對于不能直接使用基本不等式進行證明的問題,可重新拆分、組合,也可利用由基本不等式可加性直接得到的形如a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,a＋b＋等結論.

9 利用基本不等式解決實際問題

例9(1)現在需要制作一個長和寬分別為am和bm 的矩形大裱框,要求其長和寬使用不同的材質,長和寬材質的單價分別為10 元·m－1和20 元·m－1,在總制作費用不超過100元的條件下,可裱框相片的最大面積為( ).

(2)某污水處理廠為使處理后的污水達到排放標準,需加入某種藥劑,加入該藥劑后,藥劑的濃度Cmg·m－3隨時間th 的變化關系可近似地用函數C(t)＝(t＞0)刻畫.由此可以判斷,若使被處理的污水中該藥劑的濃度達到最大值,需經過( ).

A.3h B.4h C.5h D.6h

(3)某單位為節約成本,進行技術更新,將細顆粒物進行處理.已知該單位每月的處理量最少300t,最多600t,月處理成本y元與月處理量xt之間的函數關系可近似地表示為y＝－100x＋80000,則每噸細顆粒物的平均處理成本最低為( ).

A.100元 B.200元

C.300元 D.400元

解析(1)由已知得20a＋40b≤100,所以a＋2b≤5,所以

(3)由題意得每噸細顆粒物的平均處理成本為

點評利用基本不等式解決實際問題時,應先仔細閱讀題目信息,理解題意,明確其中的數量關系,并引入變量,依題意列出相應的函數關系式,然后用基本不等式求解;設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數;在求所列函數的最值時,若用基本不等式時等號無法取到,則可利用函數單調性求解.解題時要注意變量的實際意義及其取值范圍.

對于基本不等式的復習,應掌握基本知識和基本方法的應用,掌握基本概念及其性質的聯系,熟悉基本不等式串關系的應用,重視與其他知識的整合交會滲透,挖掘基本不等式的本質,掌握基本不等式應用的常見問題,注重基本不等式成立的條件及等價轉化思想在基本不等式中的應用.同時要注重抓住基本不等式問題的核心,感悟問題本質,熟悉常考題型,善于正用、逆用、變形應用公式,配湊構建定值,創造使用基本不等式的條件,進而解決問題.

(完)