論初中數學習題教學中促發學生深度學習之策略論初中數學習題教學中促發學生深度學習之策略

◎徐德彬 童麗華

(1.浙江省杭州市蕭山區新街初級中學，浙江 杭州 311217 2.浙江省杭州市蕭山區靖江初級中學，浙江 杭州 311223)

初中數學習題教學是數學教學活動的重要組成部分，是學生發展“四基”“四能”的重要手段深度學習強調學生不僅要能建構知識關聯，理解核心知識，還要能進行抽象概括和解決問題，更要能進行自我評價與反思教是為學服務的，不能引發學的教是無效或低效的基于深度學習的習題教學少了學習表面的熱鬧，多了思維力度、思維密度的訓練，從而更好地促進了學生核心素養的形成

一、基于深度學習的習題教學“選題”策略

在習題教學過程中引導學生開展深度學習活動，教師應精挑細選習題，并按照“典型性、層次性、針對性、新穎性”的原則選題

(一)挖掘課本習題的價值

課本中的習題與課本中的教學內容相匹配，編寫人員均是教材編寫方面的專家，因此課本中的習題應該是教師組織課堂教學的首選與此同時，教師要從課本習題中挖掘出數學教育價值當然，這種挖掘與拓展既要適情適境，又要自然有效

如圖1,以三角形的邊，為邊作正方形和正方形，連結和求證：=(浙教版《數學》八年級(下)P147)

本題是初中數學中常見的典型問題，解題關鍵是先得到∠=∠，然后利用“邊角邊”證明△≌△初中數學中有許多題目是以本題為原型的變式題，因此，教師在課堂教學中可通過設計變式題引導學生類比分析，進而形成系統的解題思路

圖1

圖2

圖3

1如圖2,三角形是銳角三角形，分別以邊，為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形邊，，的中點分別是，，，連結和求證：=

2如圖3,分別以三角形的邊，為邊作等邊三角形和等邊三角形，連結和求證：=

3(1)在例題中求與的夾角的度數，并判斷和是否垂直；

(2)在變式2中求與的夾角的度數

(二)精心安排改編習題

在數學教學活動中，對一些習題進行改編設計，能激發學生的數學思維

在一節習題課的教學中，教師呈現習題：

學生看了一遍題目，臉上的表情告訴老師這太簡單了其中一名學生正確口述了解答過程

圖4

教師適時啟發：在這個圓中能構造一個上題中那樣的直角三角形嗎？

此時學生若有所思：可以在圓中畫出無數個直角三角形學生結合已知條件，嘗試過三角形的頂點畫圓的直徑，構造新的直角三角形，最后自己發現結論大多數學生能夠順利添加輔助線，正確表述思維過程

教師繼續改編習題：若∠=，=，則⊙的直徑是多少？

教師設問小結：

(1)通過上述問題的解決過程，你認為你學會了哪些方法？

(2)從這三個問題中，你發現了什么？

在這樣的安排下，學生不僅能夠在解決問題的活動中經歷知識生成、發展與變化的過程，而且能夠在自主學習及生生、師生互動的活動中理解知識，進而掌握技能和方法，獲得思維活動經驗

(三)精心設計新增習題

在習題教學中，教師應注重所選習題的豐富內涵，通過精選一題多解習題，創設一題多變和一題多用的習題，實現問題解決方法多樣、多解歸一的目的，從而提高學生解決問題的能力

在一節復習課中，教師編制了下面這道題：

圖5

如圖5,在△中，∠=90°,是高，平分∠，交于點，交于點，過點作⊥，交于點，連接，求證：四邊形是菱形

一題多證

思路一：證明四邊形是平行四邊形且=；

思路二：證明四邊形的四條邊相等；

思路三：證明⊥且四邊形是平行四邊形；

思路四：證明四邊形的對角線⊥，且與互相平分

一圖多用

本題的圖形可以分解為三個基本圖形：

在圖6中，∠=90°，⊥，則∠=∠；

在圖7中，平分∠，⊥，由角平分線的性質可得=；

在圖8中，∠=∠+∠,∠=∠+∠，則∠=∠，由“等角對等邊”得=

圖6

圖7

圖8

綜合上述三個基本圖形的性質，學生很快發現證明菱形的方法在解題的過程中，把一個復雜的幾何圖形分解成幾個不同的基本圖形，有助于學生解題思路的形成，這是學生解決問題的關鍵

一題多變

1如圖9,在△中，∠=90°,是高，平分∠，交于點，交于點，平分∠，交于點，交于，連接，四邊形是菱形嗎？請給予證明

圖9

圖10

2如圖10,∠=90°,是高，平分∠，與相交于點，過點作∥，與相交于點，試證明=

本題不僅解法多樣，而且包含多種基本圖形，能衍變出很多“美妙”的題目，有助于學生理解知識間的相互關系，進而發展理性思維，提高解題能力

數學的內涵絕不是簡單的一個公式、一個概念，其變化是具有內部復雜性的，因此注重其深層的變化過程是非常重要的數學教師在選擇習題進行教學時，應注重將各層次、各階段的知識點進行聯系知識的整合是十分重要的一個環節，習題的整理同樣如此，要使學生通過一道題目的復習，鞏固更多方面的內容，從而有效提升學習效率

二、基于深度學習的習題教學“講題”策略

在習題教學中引導學生開展深度學習，教師需要在講題的過程中展示數學題目的本質，使學生認清本質，感悟思想，從而深度理解，即全面而系統地分析題目中的“源”與“流”

(一)深刻領會數學習題所內隱的基礎知識

聽過這樣一句話：“教師講的，貌似聽懂，但轉身就忘；學生講的，雖不完美，但終生難忘”在習題講解時，學生作為學習的主體，通過親身經歷，可以領會習題所內隱的基礎知識

在二次函數圖象與性質的復習中，浙教版教材第22頁作業題1：已知二次函數=-2+4+6

(1)求函數圖象的頂點坐標、對稱軸和與坐標軸交點的坐標，并畫出函數的大致圖象

(2)自變量在什么范圍內時，隨的增大而增大？何時隨的增大而減小？并求函數的最大值或最小值

教師要求學生由此題編出一道新題,說明所編的題涉及哪個知識點，并講一講解題方法

綜合學生所編的題，有以下幾類不同的出題視角

(1)與交點有關①取何值時，>0(<0)? ②滿足怎樣的條件時， -2+4+6=有實數根？

(2)與增減性有關①若-1≤≤3，求的取值范圍②若-2≤≤6，求的取值范圍③若(，)，(5，)是該拋物線上兩個點，且<，求的取值范圍

(3)與圖象平移有關①如何平移拋物線，使它經過原點？②如何平移拋物線，使直線=-3經過拋物線頂點？③如果該拋物線不動，先把軸向左平移2個單位，再把軸向下平移4個單位，寫出在新坐標系下拋物線的解析式

(4)與面積有關設拋物線與軸交于，兩點，為直線上方的拋物線上一點，求△最大時，點的坐標

此案例中的習題教學以課本題目為母題，讓學生自主編寫新題，并講解解題的基本思路、方法學生人人參與，教師點撥啟發，師生及時歸納整理，學生在其過程中獲取經驗,強化能力

(二)善于提煉數學習題所蘊含的本質關系

有效的交流是深度學習的靈魂在習題教學時，教師創設良好的討論氛圍，設置規范的討論用語，能幫助學生養成清楚說明自己的觀點、理由的習慣，以此強化學生的溝通能力和批判性思維，從而提煉出習題所蘊含的本質關系

在一節復習課中，教師出示下題：

圖11

點，，在格點圖中的位置如圖11所示，小正方形的邊長為2，則點到線段所在直線的距離是________(用多種方法解答)

本題考查學生對勾股定理、點到直線的距離等知識的掌握情況及運算能力從本題來看，利用正方形網格中直線間的位置關系與線段間的數量關系進行作圖，能夠幫助學生形成解題思路，進而提高學生的動手能力

在講解環節，教師讓學生闡述自己的解題思路(怎么想的)和方法(怎么做的)

思路一：基于,,三點構造△，點到線段所在直線的距離即為△中邊上的高線長，可運用“面積法”共交流了6種方法

思路二：正方形網格具有數與形兩重性質，既有線段的長度與角的度數之間的數量關系，又有直線之間的特殊位置關系，還有圖形之間的相互關系，可運用“相似法”共交流了3種方法

思路三：聯系點到直線的距離和垂線段最短的性質，以“解析法”為主線，用函數知識解決

課堂教學是培養學生“學會學習”的主戰場，對于同一習題的不同解題思路的探究能夠揭示問題中的數學本質，使學生能夠從不同角度、不同深度反思所學的知識，進而達到良好的學習效果習題課教學不僅激發了學生的學習興趣，還培養了學生在學習過程中的習慣，進而提高了學生的思維品質

(三)合理設置習題的問題鏈促進深度學習

問題鏈是深度學習的“牛鼻子”在習題教學時，教師可以事先設計好引導學生思維層層深入的問題鏈，幫助學生朝著明確的方向探索前行，從而提高學生的高階思維能力

圖12

下面是浙教版八年級上冊“等腰三角形”新課授完成后，復習課中例題的講解如圖12，在Rt△中，∠=90°,點在斜邊上若=，求證：∠=2∠

問題呈現后，教師直接讓有解題思路的學生回答

個人認為在習題教學時，教師若能通過設置問題鏈加強分析引導，充分發揮該題在鞏固新知、揭示方法、強化思維、發展能力等方面的功能，對于大部分學生來說更有指導意義

本次習題教學通過如下問題引導學生思考問題，讓學生在思考的過程中掌握解題方法

問題1 本題主要涉及哪些知識點？

學生回答：主要有直角三角形與等腰三角形

問題2 由直角三角形你能想到什么？由等腰三角形呢？

學生回答：由直角三角形想到互余(證全等時經常用)，由等腰三角形想到兩腰相等(定義)、兩底角相等和等腰三角形三線合一(性質)

問題3 本題要解決什么樣的問題？

學生回答：證明∠=2∠

問題4 你有哪些經驗？

學生回答：角平分線的意義，頂角的補角剛好是底角的2倍

問題5 結合條件，本題適合用哪個知識點來解決？

學生討論

運用知識點“角平分線的意義”分析與解決問題

思路一：把∠平分，證明其一半與∠相等(學生講解本思路下的一種證法如圖13)

思路二：構造∠的兩倍角(學生講解本思路下的一種證法如圖14)

圖13

圖14

運用知識點“等腰三角形頂角的補角等于底角的2倍”分析與解決問題

思路一：利用∠的補角構造等腰三角形(學生講解本思路下的一種證法如圖15)

思路二：以∠為底角構造等腰三角形(學生講解本思路下兩種不同輔助線的添加方法及相應的證明過程如圖16，圖17)

圖15

圖16

圖17

問題6 談談你的解題收獲

教師根據學生的回答提煉出四大收獲：(1)審題應從條件出發，展開聯想，分析相關知識點的隱含信息，為解題創造條件(2)分析應從問題開始，追本溯源，梳理與問題有關的知識點，為解題找準方向(3)轉化應從思維受阻的地方尋求突破口，調整解題策略，探尋解題通法(4)證明角的二倍關系主要利用“角平分線的意義”和“等腰三角形頂角的補角等于底角的2倍”，把倍角轉化為等角進行解答

在習題講解時，合理設置問題鏈，能充分發揮習題在鞏固知識、構建問題、揭示方法、發展思維能力等方面的功能，有利于促進學生深度學習

三、基于深度學習的習題教學“反思”策略

波利亞在《怎樣解題》中特別強調要重視解后回顧的環節對應到習題教學，教師也應該十分重視解題后回顧反思的教學環節

(一)學生從“學”的角度反思

解題后，在教師的層層設問下，學生能夠把規律化、本質化的內容進行總結與反思，由“怎樣解”到“為什么這樣解”層層深入這樣不僅能讓習題教學的“成果擴大”，而且能向學生傳遞和分享解題習慣

(二)教師從“教”的角度反思

解題后，教師除了要合理引導學生歸納總結之外，還要從更高的角度引導學生思考：解答了這道習題之后收獲了怎樣的解題經驗？根據這些經驗能不能解決類似的問題？能不能找到這類問題的根本屬性？這道題還可以以怎樣的樣式出現？旨在使學生擺脫習題的束縛，更有效地學習，進而提高解決數學問題的能力

一直以來，教師都十分清楚數學思想在數學學習中的重要作用，與基礎知識與技能相比，數學思想不易被學生理解和接受在習題教學中，若教師直接點明習題中的數學思想，則學生通常沒有感覺，不能在問題解決的過程中慢慢地積累經驗，感觸思想因此，數學思想的教學需要教師為學生創造適合的載體和空間，搭建適合學生展示的平臺，真實地留下學生學習數學思想的足跡

總之，在建構深度學習的道路上，“教”是最大誘因，需綜合考慮，尤其要重視習題教學中學生主體作用的發揮習題教學要注意以下方面：引導學生自己分解問題，聯想知識結構，尋找問題突破口，選擇合理的解題方法；引導學生從不同的角度出發，分析和思考問題，通過一題多解，培養學生的發散性思維，如類比思想、逆向思維等，切忌邏輯不通，思維混亂；引導學生對同一知識點的題型及解題方法進行歸納；引導學生歸納特殊問題的一般化處理方法努力實現深度學習在習題教學中真實發生的目的