3維不可壓Boussinesq方程在BMO-1空間和各向異性Lorentz空間中的正則性準則

周 沙， 羅虎嘯

(浙江師范大學 數學與計算機科學學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

本文研究如下的 3 維不可壓Boussinesq方程組:

(1)

式(1)中:u=(u1(x,t),u2(x,t),u3(x,t))表示速度;θ=θ(x,t)表示溫度;π=π(x,t)表示壓力;u0和θ0表示初始速度和初始溫度,且在分布意義下▽·u0=0;e3=(0,0,1).Boussinesq方程組是流體力學中一類非常重要的數學模型,它是速度場與溫度場耦合而形成的方程,描述了一種熱力對流現象.該方程組在大氣科學、地球物理科學和海洋環流中有著廣泛應用[1].

當θ=0時,方程組(1)退化為經典的3維Navier-Stokes方程組.Navier-Stokes方程組光滑解的全局存在性和唯一性一直以來是一個公開問題.因此,許多學者給出了解的正則性準則.例如,文獻[2-3]證明:若u滿足經典的Serrin型準則

則解u是正則的.更多關于正則性的結果見文獻[4-6].

(2)

對于3維Boussinesq方程組(1),Ishimura等[8]獲得了第1個爆破準則，即

▽u∈L1(0,T;L∞(R3)).

則解(u,θ)在[0,T]上是正則的.文獻[12]證明:若▽u滿足條件

則解(u,θ)在[0,T]上是正則的.

本文的結果如下:

定理1假定(u,θ)是方程組(1)的一個光滑解,初值(u0,θ0)∈H3(R3).若進一步假定ω=▽×u滿足

(3)

則解(u,θ)在[0,T]上是正則的,即 (u,θ)∈C([0,T];H3(R3)).

注1條件(3)可看作如下正則性條件的對數型改進:

注2文獻[7]考慮的是渦度的2個分量在BMO-1空間中的正則性準則,而本文考慮的是渦度在BMO-1空間中的對數型正則性準則.從形式上看,本文的結果與文獻[7]的結果不同.若把文獻[7]中初值u0的正則性提高到H3,則條件(2)也可以改成相應的對數型準則.

近幾年來,許多學者就Boussinesq方程組(1)關于壓力π的正則性問題進行了研究.例如,文獻[13-14]得到了在不同的Besov空間中π的正則性準則.最近,文獻[15]證明:若π滿足

受上述工作的啟發,本文借助于各向異性Lorentz空間中的一些不等式,將文獻[15]的結果推廣到各向異性Lorentz空間.其中關于各向異性Lorentz空間見下文定義5.

定理2假定(u,θ)是方程組(1)的一個弱解,初值(u0,θ0)∈H1(R3)∩L4(R3).若進一步假定π滿足

(4)

1 基本概念

為方便起見,先來回顧一下3維Boussinesq方程組(1)的弱解定義.

定義1若定義在R3×(0,T)的函數(u,θ)滿足如下條件,則稱(u,θ)是方程組(1)的弱解:

定義2[16]BMO空間由局部可積函數f組成,使得

這里是對R3中所有的球B取上確界.

在BMO空間的基礎上,給出 BMO-1空間的定義.

其范數定義為

下面回憶Lorentz空間和各向異性Lorentz空間的基本定義.

設(X,M,ν)是非原子測度空間.對一個定義在X上的實值或復值的ν測度函數f,它的分布函數定義為

df(σ)=ν{x∈X:|f(x)|>σ},σ>0,

f*(t)=inf{σ:df(σ)≤t}(t>0)是f的遞減重排.

定義4[17]設(p,q)∈[1,∞]2,Lorentz空間Lp,q(X,M,ν)是由‖f‖Lp,q<∞的所有定義在X上的實值或復值的ν測度函數f組成的集合.其中:

設f=f(x1,x2,x3)是一個定義在R3的可測函數,f*(t)=f*1,*2,*3(t1,t2,t3).其中f*1,*2,*3(t1,t2,t3)是f(x1,x2,x3)的多元遞減重排.

定義5[18]設多重指標p=(p1,p2,p3),q=(q1,q2,q3).pi和qi滿足:若0

的所有可測函數f的集合.

2 引 理

下面介紹在定理1證明過程中要用到的重要的引理.

‖Λs(fg)-fΛsg‖Lp≤C(‖▽f‖Lp1‖Λs-1g‖Lp2+‖Λsf‖Lp3‖g‖Lp4).

接下來給出在各向異性Lorentz空間中的H?lder不等式和相關的范數估計.

引理3[20]設1≤p1,p2,q1,q2≤∞,則對于任意的f∈Lp1,q1(Rn),g∈Lp2,q2(Rn),有

‖fg‖Lp,q≤C‖f‖Lp1,q1‖g‖Lp2,q2.

3 定理的證明

定理1的證明根據解的局部存在理論,對于初值為(u0,θ0)∈H3(R3)的方程組(1)在[0,T)上存在唯一解,T>0.因此,為了證明定理1,只需證明

(5)

首先,給出方程組(1)基本的能量估計.為了敘述方便,將方程組(1)中的第1個方程記為(1)1、方程組(1)中的第2個方程記為(1)2.方程(1)1和(1)2兩邊分別與u,θ作內積可得

由Gronwall不等式得

接下來估計ω=▽×u及▽θ.方程(1)1兩邊取旋度,所得方程兩邊與ω作L2內積;同樣地,方程 (1)2兩邊與Δθ作L2內積.把2個式子相加后可以得到

對于I1,根據引理1和Young不等式,有

I1≤C‖ω‖BMO-1(‖▽(▽u)‖L2‖ω‖L2+‖▽u‖L2‖▽ω‖L2)≤

(6)

對于I3,用相同的方法得到

I3≤C‖▽u‖BMO-1‖▽θ‖L2‖Δθ‖L2≤

(7)

對于I2,運用H?lder不等式和Young不等式,有

(8)

因此,結合式(6)～式(8),有

(9)

這里使用了如下的空間嵌入關系和插值不等式:

由條件(3)可知,對于任意的ε>0,存在T0∈(0,T),使得

記

(10)

則式(9)即為

(11)

對式(11)在[T0,t]上運用Gronwall不等式,有

C0exp(2Cεln(e+X(t)))≤C0(e+X(t))2Cε.

(12)

式(12)中,C0是依賴于T0的常數.

下面對‖u‖H3進行估計.在方程(1)1兩邊同時作用Λ3,再與Λ3u作L2內積;同樣地,在 (1)2兩邊同時作用Λ3,再與Λ3θ作L2內積.將2個式子相加,利用divu=0的條件,得到

(13)

對于I11,根據引理 2、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式,有

(14)

結合式(12)和式(14),有

對于I13,用同樣的方法可得到

I13≤C(‖▽u‖L3‖Λ3θ‖L3+‖▽θ‖L3‖Λ3u‖L3)‖Λ3θ‖L3≤

對于I12,由H?lder不等式、Young不等式及式(10)得到

把I11,I12和I13的估計代入式(13),得

(15)

定理1證畢.

定理2的證明根據解的局部存在結果可知,以 (u0,θ0)∈H1(R3)∩L4(R3)為初值的方程組(1)在[0,T)上存在唯一解,T>0.因此,為了證明定理2,只需證明

(16)

首先,對方程(1)2兩邊在R3上積分,利用divu=0的條件,計算出

進一步有

這就得到了θ的L1估計.再對方程(1)2運用最大值估計,得到θ的L∞估計,即

從而有θ的全局先驗估計,即

‖θ(·,t)‖Lp≤‖θ0‖Lp, ?t∈[0,T], 1≤p≤∞.

(17)

運用散度公式和Young不等式,M1可以被估計為

(18)

接下來,為了處理式(18)中不等號右邊的第1項,需要估計‖π‖Lp和‖▽π‖Lp,1

-Δπ=?i?j(uiuj)-?3θ,i,j=1,2,3.

因此,

-Δ▽π=?i?j(ui▽uj+uj▽ui)-?3▽θ,

從而

▽π=RiRj(ui▽uj+uj▽ui)-R3Rθ;

其中:

表示 3 維空間下的里斯變換.利用里斯變換在Lp(1

‖▽π‖Lp≤C(‖|u||▽u|‖Lp+‖θ‖Lp)≤C(‖|u||▽u|‖Lp+‖θ0‖Lp)≤

C(‖|u||▽u|‖Lp+1);

進而,應用引理3、引理4和Young不等式對式(18)中不等號右邊第1項進行估計,得

(19)

這里用到下面的不等式:

(20)

對于M2,運用H?lder不等式和Young不等式得到

(21)

將式(20)和式(21)代入式(17)得到

(22)

下面使用Young不等式,可計算出

為了簡化計算,記

因此,可以將式(22)轉化為

進一步有

運用Gronwall不等式,即有

(23)

結合式(4),可以推斷出

(24)

定理2證畢.

4 結 語

本文是在前人研究成果的基礎上,運用能量方法,得到了3維Boussinesq方程在BMO-1空間和各向異性Lorentz空間下解的2個正則性準則.在本文研究的基礎上,將來還可以進一步研究Boussinesq方程在更優的空間下關于速度的某一方向偏導的正則性準則.