一種新的卡爾曼濾波圖像復原算法

張 琦， 張 慧， 潘 健， 劉松林

(湖北工業大學太陽能高效利用及儲能運行控制湖北省重點實驗室, 電氣與電子工程學院， 湖北 武漢 430068)

隨著科技的不斷發展，數字圖像在醫學、日常生活、軍事、天文學等方面受到更多的關注，逐漸成為人類獲取信息的主要途徑之一[1]。但是圖像在形成、采集、傳輸、存儲等過程中容易遭受以高斯噪聲為主的噪聲干擾，造成圖像退化，為后續圖像進一步處理增加困難[2]。傳統的經典復原方法可以獲得良好的復原效果，但仍存在著算法運行時間長和不能保持復原圖像的邊緣細節等問題[3-9]。1960年，卡爾曼等人提出了適用于多維隨機過程的狀態空間法描述系統，數據存儲量小，過程具有遞推性的卡爾曼濾波法[10]。在卡爾曼濾波的基礎上，學者將卡爾曼濾波應用到不同的場景，包括圖像復原領域,但卡爾曼濾波圖像復原方法不能得到清晰的復原圖像[11-17]。為了解決噪聲干擾問題，對退化圖像進行降噪，且提升算法運算效率，同時對復原圖像的邊緣細節信息進行保留，基于卡爾曼濾波算法無偏估計且以最小方差為準則的特點，本文提出了一種交替卡爾曼濾波圖像復原算法。該算法優勢是不需要估計退化圖像的退化函數，仿真結果表明，該算法能有效地減少噪聲對圖像的干擾，提升算法運算效率，同時保證圖像良好的清晰度。

1 圖像退化-復原模型及評價標準

1.1 圖像退化模型

圖像受到噪聲干擾會產生退化，建立相應的數學模型有助于利用算法消除噪聲干擾，得到與原始圖像特征相近的復原圖像。實際上，建立目標數學模型是相當困難的，但是通過大量的實驗研究發現，大部分退化過程可以模擬成線性模型[2]。因此人們通過在線性區域內加入噪聲干擾，近似模擬出退化圖像的數學模型(圖1)。

圖1 圖像退化-復原的數學模型

一般地，采用線性時不變系統對圖像系統建模，退化圖像g(x,y)的表達如下：

g(x,y)=f(x,y)*h(x,y)+n(x,y)

式中，g(x,y)表示退化圖像，f(x,y)表示原始圖像，h(x,y)表示退化函數，n(x,y)為模擬噪聲干擾，“*”為卷積符號。

1.2 復原圖像的評價指標

一般地，復原圖像的評價指標分為主觀和客觀兩個層面。

主觀評價主要是依靠人眼分辨圖像的清晰度，容易受到復原圖像本身的特征、觀察者自身主觀因素及觀察環境的影響。

與主觀評價不同的是，客觀評價是根據理想圖像和復原圖像的像素、灰度值和峰值信噪比等實際參數的比較，以此判斷復原圖像質量的優劣。

1.2.1峰值信噪比(PSNR)圖像峰值信噪比的大小也可以反映圖像的質量好壞，峰值信噪比大小與圖像質量好壞呈正相關[6]。其表達式如下：

1.2.2均方誤差(MSE)均方誤差是變量差值比較常用的尺度之一，將理想圖像f(x,y)在坐標(x,y)處的灰度值與復原圖像f'(x,y)在坐標(x,y)處的灰度值看作隨機變量，按照均方差最小準則，均方誤差值越小表示復原圖像還原度越高，其表達式如下：

式中，P和Q分別表示圖像長度和寬度上的像素個數。

主觀評價標準通過肉眼觀察，速度快，但隨機性較強；客觀評價標準通過數值計算進行比較分析，速度較慢，評價較為準確。根據二者的特點，將二者結合作為圖像復原程度的評價標準。

2 改進卡爾曼濾波圖像復原算法

2.1 爾曼濾波圖像復原算法

隨機線性離散系統的狀態方程和量測方程如下：

其中αk,k-1表示k-1到k時刻的n×n維非奇異狀態一步轉移矩陣；βk,k-1是k-1時刻的n×p維系統噪聲矩陣；μk是k時刻的m×n維觀測矩陣；Wk-1為k-1時刻的p維系統噪聲；Vk為k時刻的m維觀測噪聲[16]。

假設Wk和Vk都是均值為零的高斯白噪聲，Wk和Vk相互獨立[16]。統計特性如下：

式中，Qk、Rk分別是系統過程噪聲Wk和觀測噪聲的方差，一般地，Qk是半正定的，Rk是正定的，δkj為Kronecker-δ函數[16]。

狀態一步預測方程如下：

(1)

狀態估計方程如下：

(2)

濾波增益方程如下：

(3)

進一步預測均方差方程如下：

(4)

估計均方差方程如下：

Pk=[I-Kkμk]Pk,k-1

(5)

上述方程中式(1)～(2)是濾波計算方程；(3)～(5)是增益計算方程。

卡爾曼濾波的初始化參數值設定會影響濾波效果，即影響圖像復原效果。一般地，設定卡爾曼濾波初始值需要根據工程實踐經驗總結[14]。在工程經驗總結參數范圍內，通過多次仿真試驗，確定較為理想參數值：αk,k-1=1，βk,k-1=0，μk=1，Rk=0.25，Qk=0.25。

2.2 算法步驟與流程圖

由于Kalman濾波復原存在問題，按行或列進行圖像復原，行間或列間沒有關聯,為充分利用復原點四周的像素信息，提升Kalman圖像復原效果，提出交替卡爾曼濾波圖像復原算法。該算法的思路：進行第一次卡爾曼濾波時，其過程是行濾波，即取圖像(矩陣)的行作為輸入值，然后開始迭代運算。在進行第二次卡爾曼濾波時，取經過第一次濾波后得到的圖像(矩陣)的列作為第二次濾波的輸入值。

本算法的詳細步驟(圖2)如下：1) 讀取理想的圖像；2) 若是彩色圖像,需要灰度化處理；3) 為理想的圖像加上噪聲；4) 進行卡爾曼行濾波；5) 進行卡爾曼列濾波；6) 求兩次濾波后圖像的平均圖像；7) 計算步驟3)、4)、5)、6)復原結果圖像的均方誤差和峰值信噪比(圖2)，其中1)～3)為進行研究而增加的圖像。實際應用中主要為4)～7)。

圖2 交替Kalman濾波圖像復原流程

2.3 仿真結果與分析

圖像(矩陣)通過行列的不同順序組合方式有四種結果，改進的卡爾曼濾波復原法根據組合方式的不同進行濾波，分為四類：行-行組合、行-列組合、列-列組合、列-行組合。分析圖3、圖4可得，與施加噪聲干擾圖像(b)相比，4種改進卡爾曼濾波復原圖像中的噪聲點均明顯減少，說明本文提出的方法有較好的降噪能力。與圖(c)，(e)相比，圖(c)，(e)經過行列交替進行圖像復原，復原圖像較清晰，故將退化圖像矩陣的行、列信息交叉進行卡爾曼濾波復原時效果較優，將這種行、列信息交叉進行圖像復原的算法稱為交替卡爾曼濾波復原法。

圖3 Saturn圖帶高斯噪聲干擾圖像與四種改進卡爾曼濾波復原圖像

圖4 Peppers圖帶高斯噪聲干擾圖像與四種改進卡爾曼濾波復原圖像

分析表1可得:同一物體的復原圖像和帶噪聲干擾圖像對比，均方誤差值大幅降低，且復原圖像的峰值信噪比相較帶噪聲干擾圖像獲得了提高，說明改進卡爾曼濾波復原法對圖像具有良好的降噪能力；四種不同行列順序組合形式的卡爾曼濾波復原算法中行列交替卡爾曼濾波復原圖像的均方誤差小于行-行、列-列兩種行列信息不交叉復原的算法，同時相應的峰值信噪比也略大，表明交替卡爾曼濾波復原算法的復原效果更好。由表2知，同一物體的復原圖像進行對比，四種改進卡爾曼濾波復原法運行時間無明顯區別。綜合圖3、表1和表2可以看出: 相比于行列信息不交叉復原算法的濾波復原圖像, 交替卡爾曼濾波復原法的濾波復原圖像較為清晰，效果較好。

表1 帶高斯噪聲干擾圖像與四種改進卡爾曼濾波復原圖像的數據比較

表2 交替卡爾曼濾波復原方法所用時間的對比

交替卡爾曼濾波復原法分為行-列、列-行兩種組合形式，兩者復原效果差別很小，為方便討論，本文選擇行-列組合方式對后面的內容進行分析。

2.4 交替卡爾曼濾波復原方法與其它復原方法的對比

觀察圖5、圖6可知，與帶高斯噪聲干擾圖像相比，三種不同濾波復原圖像中的噪聲點均明顯減少，說明維納復原法、卡爾曼濾波復原法和交替卡爾曼濾波復原法均具有良好的降噪能力。三種復原圖像相比圖(a)含有的噪聲點最少，圖(e)次之，圖(d)最多。因此，三種不同濾波復原法中維納濾波復原法降噪能力較優，交替卡爾曼濾波復原法次之，卡爾曼濾波復原法較差。同時，不難看出，維納濾波復原法的濾波圖像相較于交替卡爾曼濾波復原圖像清晰度較差。綜合分析，交替卡爾曼濾波復原法優于其它復原方法。

圖5 Saturn圖像復原方法的對比

圖6 Peppers圖像復原方法的對比

分析表3可知，對比三種圖像濾波復原方法，均方誤差值方面，卡爾曼濾波復原圖像最大，交替卡爾曼濾波復原圖像次之，維納濾波復原圖像最小；峰值信噪比方面，維納濾波復原圖像最大，交替卡爾曼濾波復原圖像次之，卡爾曼濾波復原圖像最小。

表3 帶高斯噪聲干擾圖像與三種濾波復原圖像的數據比較

相較于維納濾波算法的復原圖像，交替卡爾曼濾波復原圖像的峰值信噪比基本相同， 均方誤差值方面，Saturn圖，兩種復原圖像算法分別為0.0098、0.0058；Peppers圖，兩種復原圖像算法分別為0.0096、0.0084，降噪能力較維納濾波算法略差。

交替卡爾曼濾波復原圖像和卡爾曼濾波復原圖像相比，峰值信噪比差別不大，均方誤差降低50%以上，復原效果更接近理想圖像，降噪能力優于卡爾曼濾波復原方法。由表4可知：在同一幅圖像中算法運行時間長短依次為維納濾波復原法、交替卡爾曼濾波復原法、卡爾曼濾波復原法。

表4 三種圖像濾波復原方法所用時間

交替卡爾曼濾波圖像復原法所需的運行時間較維納復濾波原法相比，占維納濾波復原法中的Saturn圖的1.57%；Peppers圖的1.98%，極大提升了算法運行效率縮短了算法運行時間。在能獲得較好復原效果的情況下，交替卡爾曼濾波復原方法計算時間降為維納濾波復原法計算時間的2%以下。

結合圖4、表3和表4，綜合分析三種濾波復原方法的圖像降噪能力、算法運行效率以及濾波復原圖像的清晰度，交替卡爾曼濾波圖像復原方法優于其他兩種圖像復原方法。

3 結論

本文提出一種交替卡爾曼濾波圖像復原算法，用于復原受高斯噪聲污染的圖像。通過與維納濾波復原結果進行對比，以主觀評價標準和客觀評價標準表明交替卡爾曼濾波復原圖像的結果明顯優于維納濾波復原的結果。仿真結果驗證了該算法能有效地消除噪聲對退化圖像的干擾，提升算法運算效率，同時較為清晰的呈現圖像的邊緣細節信息。