課堂留白，讓數學思考走向深度

◎陳德劭

(江蘇省濱海縣第一初級中學西湖路分校,江蘇 鹽城 224500)

學習者在面對不完美之處時，會設法去填補空白，并留下深刻的記憶教師在課堂上也要適當留白，引發學生的填補欲望，調動他們的求知欲望，引導他們去發現、分析、解決問題數學知識嚴謹、抽象，教師要針對學生的差異，持有“靜待花開”之心，留時于生，讓學生去探究、建構，并積極地融入學習中教師要遵循初中生的認知規律，在課堂中適當留白，引發學生補白的熱情，使學生獨立思考、協作探究，經歷發現與創造數學的過程，從而促使他們提升數學素養

教師在留白時要保持適度，對留白次數、難度都要進行控制，為學生留有思考、消化的時間教師的留白能將自主思考的時間還給學生，能調動學生的求知欲望，但如果過于頻繁，學生就會疲于應對教師要抓住重點內容、疑點內容留白，要做到“少而精”，引領學生挖掘深層次的內容教師的留白難度不宜過大，要借助變式、問題串等方式降低難度，為學生設計層層遞進的問題，引發學生的思維攀爬，讓他們通過積極的思考獲得正確的解題思路教師要調控好留白時間，不能一味追求教學進度，在回顧舊知、理解概念等低難度內容時可留時較短，而在拓展、變式等處可給予較長的時間讓學生探究

一、概念處留白，促進深入感悟

數學概念具有一定的抽象性、邏輯性，它是數學系統的重要起點，學生只有理解了數學概念，才能實現對數學知識的掌握數學概念是數學思維的基礎，如果教師照本宣科，直接講授概念，那么學生的思維只會停留在表層

如果教師機械地引入概念，那么學生就難以實現真正理解教師可以為學生設計留白，讓學生通過自學去探尋概念的本質學生可以從自己的生活中尋找數學概念的原型，或與同學開展討論交流，以深入理解數學概念的內涵如在教學“認識三角形”一課時，教師讓學生拿出不同長度的小木棒，讓他們試著圍成一個三角形，在分組操作時，有的學生能圍成一個三角形，而有的學生則不能，教師繼而引出三角形的概念，并在實驗中把“三條線段”“首尾依次連接”“封閉”等關鍵詞準確體現出來，為學生后面學習三角形的三邊關系打下基礎教師在引入概念時留白，可為學生留有實驗探索的時間，能增進學生對概念中關鍵內容的理解

教師在講解數學概念時，要激發學生的補白欲望，引領學生去深度思考，促進學生深度理解數學概念如在學習“合并同類項”一課時，學生對概念中的“相同的字母”“相同字母的指數”中的“相同”理解起來較困難，教師可以針對學生對概念的理解提出問題：這里面的“相同”是指什么？學生經過思考、交流，發現“相同”的本質是字母、指數皆相同，從而他們對“同類項”概念中的“相同”有了更深入的理解教師在講解概念時，可針對學生難以理解的內容進行留白，引發學生思考、探索，讓他們感受“相同”的內涵，從而透徹地理解概念

如果學生對概念的學習只是處于淺層的感知，那么他們就無法順利地運用概念概念的學習是為解決問題而服務的，學生只有真正地理解概念、內化概念，才能順利地運用概念去解決問題教師在設計題目時要刻意留白，引領學生深入探究問題，從而促進他們對概念的內化如在教學“黃金分割”一課時，教師向學生呈現臉型相同、五官基本相同的3張臉的圖片，讓學生說說哪個更美教師引導學生從圖片中發現五官比例的不協調，然后呈現《蒙娜麗娜的微笑》畫作，讓學生理解符合“黃金分割比”的圖片會給人留有美的視覺感受最后教師提出問題：模特如何選擇合適高度的高跟鞋？學生可以運用所學的黃金分割的概念，指出鞋底到肚臍的距離要與身高成黃金分割比(或肚臍到頭頂的距離要與鞋底到肚臍的距離成黃金分割比)學生只有形成應用概念的意識，具有解決實際問題的能力，才能真正內化概念，形成屬于自己的知識教師也要提升應用意識，為學生留有內化的空間，讓學生將所學的知識運用于解決生活問題之中，促進學生對數學概念的深度理解

二、定理處留白，把握來龍去脈

學生不僅要會使用公式，還要“知其所以然”，理解定理的推導過程教師要適時留白，讓學生通過思考去探索定理法則的由來，使學生形成靈活運用定理法則的能力教師要在類比時留白，讓學生根據自己的經驗與方法去探索新知識，實現對所學方法的順利遷移如在教學“探索三角形相似的條件”一課時，教師可引導學生回憶三角形全等的判定方法，讓他們猜測相似三角形的判定方法此時教師可進行停頓式留白，引發學生的熱烈討論，讓學生討論后展示小組交流的結果學生共匯報了四種結果：組一學生指出有兩個角對應相等；組二學生指出有兩組邊對應成比例且夾角相等；組三學生指出有三邊對應成比例；組四學生指出有兩個角對應相等，兩邊對應成比例教師讓學生對各組的匯報結果進行再思考，學生發現第四種結果后面的兩邊對應成比例是多余的數學定理的學習離不開學生的主動發現，教師要針對學生的認知特點，引領他們自主探索，通過類比全等三角形的判定，找到相似三角形的判定條件，滿足學生的探索求知欲望教師留白于學生，讓學生參與小組合作交流，這樣能引發學生的深入思考，促進他們對相似三角形判定的理解

教師要培養學生的應用意識，并適當“留白”，引發學生的頭腦風暴，讓他們有更多探討的空間如在教學“用三角形的相似解決問題”一課時，教師提出問題：學校教學樓高16米，影長25米，旗桿的影長為9米，求該旗桿的高度在學生畫出圖形后，教師讓學生找出其中的相似三角形，并思考為什么相似，判定依據是什么有的學生指出這兩個三角形都有一個直角，有的學生提出還有另外的角對應相等然后教師指出“太陽光線是平行的”，學生頓悟最后教師追問：當我們知道這兩個三角形相似時，該如何做？要用到哪些知識？要用到哪些性質？能列出怎樣的式子？在學生掌握了方法后，教師進行評價式留白，讓學生說說自己收獲了什么教師以一連串的問題，引導學生回憶學過的知識，并停頓留白，引發學生的思考，讓他們運用三角形的判定與性質去解決問題教師在小結時進行評價留白，讓學生說出自己的收獲，使學生對學習內容有更深層次的理解

三、重難點留白，促進深入思考

教師要針對知識的重點處、難點處留白，引發學生的積極思考，促進他們對數學知識的理解，對數學技能的掌握重難點是教材的關鍵內容，也是學生的存疑、易錯之處，教師如果一味要求學生枯燥記憶，往往難以得到良好的教學效果教師要讓學于生，要放手讓學生去探究、思考，并對他們存在疑惑之處加以引導、啟發，從而收到良好的教學效果

在傳統的數學教學中，教師往往注重知識的灌輸，忽視學生探究知識的過程，只讓學生機械地記住結論，使學生難以深度理解教師要在難點知識的學習處為學生留有動手操作的空間，讓他們經歷動手探究的過程，通過實踐、分析、探究實現對知識的深入理解如“圓周角”一課，其中“圓周角定理的探究過程”是教學的難點，教師可先讓學生畫一個圓心角，再畫出同弧所對的圓周角，讓學生說說能畫多少個，再讓學生用量角器量一量圓周角及圓心角的度數，并說說有什么發現學生通過畫圖、度量、分析，發現同弧所對圓周角與圓心角之間的關系學生通過動手操作活動，將習得的理論知識運用于生活實踐中，輕松地突破學習難點，提升動手操作能力

由于知識經驗、思想方法等方面的欠缺，學生往往難以逾越難點內容，故教師要發揮引導者的作用，對學生進行恰當指導，幫助學生跨越“最近發展區”，幫助他們明晰解題思路，促進他們數學素養的提升如在學習分解因式的內容時，教師提出問題：(分解因式)(1)(-2)+2(-2)+1；(2)(+)-4對于第(1)題，學生雖然掌握了分解因式的多種方法，但面對“復合式”往往束手無策，教師要引導學生將“整體代入”思想與因式分解聯系起來，使“復合式”變成“簡單式”，促進學生理解在“整體代入”思想的指導下，學生將(-2)視作一個整體，從而能將原式轉化為一個完全平方式，即(-2+1)，通過進一步分解，將原式分解為(-1)對于第(2)題，學生要善于轉化，將4變為平方的形式，即轉化為(+)-(2)，這樣會很容易地將其分解為(+2+)(-2+)，通過進一步分解，能得到(+)(-)教師要通過留白為學生留有探索復雜問題的空間，并對他們進行恰當的引導，幫助他們降低學習難度，化解學習難點，從而深度理解數學問題

學生是學習的主體，他們應該通過自己的探索形成自主學習的能力但在日常數學學習中，“愈改愈錯”往往會影響學生的學習自信為何會出現“屢錯不改”的現象呢？其實，易錯點也是學生的理解薄弱之處，學生沒有對薄弱處進行完善，未能靜心分析出錯原因，因而會出現“一錯再錯”的狀況故學生要多思考，多探索，要深入探尋問題的本質，尋找其中的錯誤因子，辨析存在的問題，這樣再次面對問題時才能輕松應對教師也要培養學生做題后總結反思的良好意識，讓他們思考這道題中運用了哪些數學方法，出錯的原因是什么，自己對哪些知識點還不能熟悉地運用，這個題目還可以有哪些變式學生只有深入剖析題目，并在思考、剖析中產生頓悟，才能觸及數學問題的本質

四、復習時留白，構建知識網絡

復習是教師通過概念的總結、例題的精講實現對所學內容知識的梳理、關鍵內容的深化，其能促進學生解決問題能力的提升教師要依托問題，引領學生遞進式探索，引發學生的思維攀升，促進學生數學素養的發展教師在復習時留白，能讓學生對復習內容有更深層次的認識，能促進知識的關聯，掀起探討交流的熱潮留白使學生有更充裕的時間去思考，能給學生營造勤學樂思的氛圍，讓學生的創造性思維獲得發展問題的難度決定了留白的時長如在復習“圓”的內容時，教師呈現生活中的圓桌、拱形橋等圖片，讓學生直觀地感受圓在生活中的運用，并提出問題：如何測量這些圓的半徑？我們在不知道圓心的情況下要測量其半徑，有何妙法？教師停頓留白，讓學生去嘗試，并在嘗試后介紹自己的做法有的學生任意畫一個圓的內接三角形，再作其中兩邊的垂直平分線，交點就是圓心，然后通過圓上的一點作圓的切線，過切點作垂線，圓心與切點之間的線段即圓的半徑有的學生用繩子、直尺量出周長，再通過計算求出半徑；有的學生用量角器在圓內作90°的圓周角，其所對應的弦即直徑，通過直徑可求出半徑；有的學生在紙上畫出圓，將圓對折，折痕即直徑，通過直徑可求出半徑……教師以開放性的問題引導學生思考“用什么方法”可得到圓的半徑，引發學生探究，并促使學生將圓的相關知識聯系起來，從而達到復習鞏固的目的

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五、拓展處留白，增進自我創造

數學學習的過程也是學生建構知識、創造發現的過程，教師不僅要關注學生的知識習得，還要關注他們的思維的發展和探究能力的提升教師既要注重基礎的夯實，也要關注學生思維的發展，對所教內容進行必要的拓展留白，以促進學生獨立思維能力的發展教師在開展拓展訓練前，要幫助學生夯實學習基礎，這樣才能實現題目的變式與融合，才能讓學生的思維得到拓展延伸如在學習“三角形的內角和”內容后，學生已經掌握了三角形的內角和與外角和的性質，并可依此解決與三角形的內角、外角有關的運算有這樣一個題目：在△中，∠=80°，∠和∠的平分線相交于點，則∠等于多少度？如果∠的度數未知，試探索∠與∠之間的關系教師對問題進行變式，將“∠，∠的平分線相交于點”轉變為“∠,∠的外角平分線相交于點”，再讓學生探索∠與∠之間的關系通過問題變式，內角平分線問題轉換為外角平分線問題，可實現學生思維的過渡，可幫助學生透徹地理解知識

拓展訓練不是脫離書本、脫離基礎去研究偏題、難題、怪題，而是引領學生通過自主探究、合作交流等方式對教材中的重點內容進行再探索、再發現，從而拓展學生的數學思維，促進學生數學素養的提升教師要精研教材，抓住題目中的關鍵詞進行適當改編，讓學生立足于不同的視角去探尋知識之間的內在關聯，從而促進學生思維的進一步發展，使學生的數學思維能力得到真正提升教師可以運用針對性的拓展訓練幫助學生鞏固所學內容，以促進學生對問題的進一步思考，促進學生掌握數學思想方法如在教學“一次函數”時，教師可將其與學過的“二元一次方程”聯系起來，讓學生動手繪圖，分析兩者的內在關系，建立“數”與“形” 的聯系教師可以將二元一次方程變形為一次函數，也可以將二元一次方程的解與一次函數的圖像建立聯系，引導學生發現兩者之間的對應關系教師在拓展、變式時要為學生留有探究的空間，讓學生通過自思自悟深度理解數學問題

總而言之，在初中數學教學中，教師要善于留白，讓學生開展充分的數學思考，增進他們對問題的理解學生的思維不能滿足于淺層的探索，要通過深度思考探求數學知識的本質，從而促進數學素養的提升